2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：与平行四边形有关的最值与定值问题（六大题型）解析版

重难点24与平行四边形有关的最值与定值问题

m题型解读

国典题精练

【题型一平行四边形中的最值问题】

1.（2024春•雁塔区校级月考）在平行四边形/BCD中，BC=4,NB=60°,过点/分别

作3C,CO的垂线，垂足分别为M、N,连接则"N的最小值为（）

A.V3B.3C.2V3D.2

【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求尸C,4N,EN,/£的长，即可求

解.

【解答】解：如图，过点C作CFL/3于点R过点N作NEL4D于E,

,/四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,AB//CD,NB=ND=60°,

'JCFLAB,ANLCD,

J.AN//CF,NBCF=3Q°,

四边形4FCN是平行四边形，BF=^BC=2,CF=6BF=2后

：.AN=CF=2y/3,

,JANVCD,ND=60°,

：.ZNAD=30°,

ILL

：.EN=~AN=V3,AE=^EN=3,

\'AM±BC,NELAD,

J.AM//EN,

.•.当时，MN有最小值为3,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角

三角形是解题的关键.

2.(2024春•凤城市期末)如图，h//l2,直线/i与直线a之间的距离为4,点/是直线4

与，2外一点，点/到直线的距离为2,点8,。分别是直线A与直线4上的动点，以

点2为圆心，的长为半径作弧，再以点。为圆心，42的长为半径作弧，两弧交于点

C,则点/与点C之间距离的最小值为()

【分析】过C作CK〃/1，过工作交/i于M,交6于N,作CPL/2于尸，得

到CK〃/2，因此/河=2,MN=4,由平行四边形的性质推出，N4BM乌/XCDQ(ASA),

CP=AM=2,得到HN=2,求出N〃=8,由NC2/“，即可求出/C的最小值.

【解答】解：过C作CK〃/1，过/作/8LCK,交4于交4于N,作CP，%于尸，

'：li//l2,

：.CK//l2,

：.AHLli，AH±l2,

.'.AM—2,MN—4,

由题意得：BC=AD,CD=AB,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,/BAM=/QCD,AB=CD,

VZi#/2,

・•・ZABM=/CDQ,

:.XABM9XCDQ(ASA),

：.CP=AM=2,

:,HN=CP=2,

・・・/〃=2+4+2=8,

•；AC2AH,

・••点/与点C之间距离的最小值是8.

故选：B.

A

【点评】本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到NC

求出即可解决问题.

3.如图，在平行四边形48CD中，ZC=120°,/。=4,N8=2,点£是折线8C-CD-

上的一个动点（不与/、8重合）.则△48E的面积的最大值是（）

A.亨B.1C.3V2D.2百

【分析】分三种情况讨论：

①当点E在上时，高一定，底边AE最大时面积最大，②当E在CD上时，如图2,

△N3E的面积不变，③当E在AD上时，E与。重合时，△A8E的面积最大，根据三角

形的面积公式可得结论.

【解答】解：分三种情况：

①当点E在8c上时，£与C重合时，△Z8E的面积最大，如图1,

过/作于凡

•/四边形ABCD是平行四边形,

J.AB//CD,

.,.NC+/8=180

VZC=120

・・・NB=60°,

RtZ\4■中，ZBAF=3G0,

1-

：.BF=-AB=lfAF=同

1广「

此时△4SE的最大面积为万x4xV3=2V3;

11

②当E在CD上时，如图2,此时，ZX/BE的面积=5S°BCD=5X4X百=2百；

③当E在/。上时，E与。重合时，△4BE的面积最大，此时，△4BE的面积=2百，

综上，△/BE的面积的最大值是2仃；

故选：D.

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题.

4.（2024•鼓楼区校级模拟）如图，中，AB=2近,/4PB=90°,在48的同侧作

正△4BD,正和正△APC,则四边形PCDE面积最大值是（）

「3厂

A.1B.2C.2&D.-V2

【分析】先延长EP交8C于点尸，得出尸再判定四边形PCDE平行四边形，根

11

据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=£尸*。尸=。*丞=呼人最后根据

1

a2+b2=8,判断的最大值即可.

【解答】解：如图，延长EP交2C于点厂，

VZAPB=90°,/APE=NBPC=6Q°,

；・NEPC=150°,

AZCPF=180°-150°=30°,

:・PF平分/BPC,

又♦:PB=PC,

：.PFLBC,

设尸中，AP=a,BP=b,

11

贝lj。尸=5。尸=丞，a2+b2=(2V2)2=8,

•・・AAPE和△45。都是等边三角形，

：.AE=AP,AD=AB,ZEAP=ZDAB=60°,

:.NEAD=NPAB,

在△"£＞和△尸43中，

AE=AP

Z.EAD=(PAB,

AD=AB

•・•△EAD//\PAB(SAS)f

:.ED=PB=CP,

同理可得：AAPBmADCB(&4S),

：.EP=AP=CD,

四边形PCDE是平行四边形，

11

四边形PCDE的面积=EPXCF=ax56=~ab,

又：(a-b)2=a2-2ab+b2^0,

：.2ab^a2+b2^8,

1

.\5a6W2,

即四边形PCDE面积的最大值为2.

故选:B.

D

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形

的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.

5.在等边△力BC中，40为边2C的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这

两个三角形拼成一个平行四边形，如果4B=2,那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线

长度的最大值是.

【答案】V13

【分析】分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可.

【详解】解：••・在等边△ABC中，4B=2,为边BC的中线，

■■.BD=CD=^BC=/B=1,

；.AD=\AB2-BD2=V22-l2=V3,

如图，有三种情况.

图1图2图3

在图1中，对角线NC=2；

在图2中，过点/作NEMD交40的延长线于E,

在中，AE=AD+DE=AD+A'C=2V3,A'E=CD=\,

■■AA'^AE2+A'E2=V12+1=V13；

在图3中，过点B作BFLCD交CD的延长线于F,

在瓦ABBC中，BF=AD=®CF=DF+CD=2CD=2,

:.BC=7BF2+CF2=VT+4=V7,

•­•V13>V7>2,

・•・对角线长度的最大值是W3，

故答案为：V13.

【点睛】本题考查图形的拼接，平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，已知/xoy=60°，点/在边OX上，OA=4.过点N作/C_LOT于点C,以NC

为一边在NXOY内作等边三角形N2C,点P是△4BC围成的区域（包括各边）内的一点，

过点P作PD〃Oy交OX于点。，作PE〃OX交OY于点£.设。。=a,OE=b,则a+2b

的最大值与最小值的和是.

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形尸是平行四边形，得

EP=OD=a,在RtZVffi•尸中，NEPH=30°,可得EH的长，计算0+26=2。/7,确认

最大和最小值的位置，可得结论.

【解答】解：如图1,过尸作物，。丫交于点H

图1

,JPD//OY,PE//OX,

：.四边形EODP是平行四边形，NHEP=ZXOY^60

：.EP=OD=a,

RtZVffi尸中，/EPH=3G,

11

:,EH=~EP=54,

1

."+26=2（7+6）=2（EH+EO）=2OH,

1

当尸在/C边上时，8与C重合，此时08的最小值=。。=5。4=2,即a+26的最小值

是4；

当尸在点3时，如图2,0c=2,AC=BC=2Q

RtZ\CHP中，ZHCP=30°,

:.PH=M，CH=3,

则所的最大值是：OC+CH=2+3=5,即（a+26）的最大值是5,

图2

；.4Wa+26W5,

4+5X2=14.

故答案为：14.

【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定

和性质，有难度，掌握确认。+26的最值就是确认O”最值的范围.

7.（2024春•前郭县期末）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题.

如图，口4BCD的对角线/C和3。相交于点O,即过点。且与边AB、CL（分别相交于

点£和点足求证：OE=OF；

【结论应用】若/ADB=90°,AB=5,AD=3,则四边形/。房的面积为,EF

的最小值为—.

【分析】【教材原题改编】由四边形4BCD是平行四边形，得到。8=。。，AB//DC,因

止匕/匹。=/尸£＞。，又NBOE=/DOF,即可证明△2£。0/\。尸。，得至I」。£=。下.

【结论应用】由勾股定理求出8。的长，求出△48。的面积，由△8£。g/\。月9,得到

四边形NDFE的面积=448。的面积=6,当即，AB时，斯的值最小，由三角形面积

公式即可求出EF的最小值为2.4.

【解答】【教材原题改编】证明：,••四边形是平行四边形，

：.OB=OD,AB//DC,

：.ZEBO=/FDO,

,：/BOE=/DOF,

：.ABEO^ADFO,

：.OE=OF.

【结论应用】解：：/4D2=90°,AB=5,AD=3,

:.BD=7AB2—BD2=4,

1

AABD的面积=]40・3。=6,

:△BEO名△DFO,

...四边形/。网的面积=的面积=6,

当即，N2时，斯的值最小，

11

•；AABD的面积=-AD-BD=-AB-FE,

：.3X4=5FE,

：.EF=2A,

的最小值为2.4.

故答案为:6,2.4.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积，关键

是由ABEO沿△DFO,得到四边形4D尸E的面积=/\48。的面积；当EF_L4B时，E尸的

值最小，由三角形的面积公式，即可求解.

【题型二矩形中的最值问题】

1.（2024•内江模拟）如图，矩形48。中，Z5OC=120°,8。=12,点P是ND边上一

动点，则OP的最小值为（）

1

【分析】由矩形的性质可得。4=OB=OC=OZ）=580=6,由等腰三角形的性质可求/

O4D=NOD4=3G°,由直角三角形的性质可求解.

【解答】解：•..四边形/BCD是矩形，

1

：.OA=OB=OC=OD=~BD=6,

VZBOC=nO°=ZAOD,

：.ZOAD^ZODA^30a,

当OPL4D时，0尸有最小值,

.'.OP=~OD—3,

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键.

2.（2024春•靖江市校级月考）如图，矩形4BCD中，CD=5,5c=12,点P为对角线AD

上一动点，PELBC于点E,PFLCD于点尸，则线段所长的最小值为（）

AD

【分析】作CGL3D于点G,连接尸C,可证明四边形PEC尸是矩形，所以EA=CP,则

11

ZECF=90°,0）=5,BC=12,求得助=13,由负氏力二万乂13CG=]X5X12,求

606060

得CG=百，由CP2CG,得跖之运，则所的最小值为石，于是得到问题的答案.

【解答】解：作CGL5Z）于点G,连接尸C,

•・•四边形45CQ是矩形，PE_LBC于点、E,PFLCD于点F,

：.ZECF=ZPEC=ZPFC=90°,

・・・四边形MB是矩形，

:,EF=CP,

VCZ)=5,BC=\2,

•«BD=7CD?+BC2=V52+122=13,

11

・・・S"s=5x1306=5x5x12,

60

：.CG=—,

*：CP》CG,

60

：.EF>—,

60

・・・M的最小值为百,

【点评】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与

方法，正确地作出辅助线是解题的关键.

3.（2024春•晋安区期末）如图，在矩形45cZ）中，45=4,40=6,点尸在4。上，点。

在上，&AP=CQ,连接。尸，QD,则尸C+。。的最小值为（）

A.8B.10C.12D.20

【分析】连接BP,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取

AE=AB=4,连接尸E、CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE\CE,再根据勾股定理求解即

可.

【解答】解：如图，连接5尸，

在矩形45c。中，AD//BC,AD=BC=6,

'：AP=CQf

：.AD-AP=BC-CQ,

:・DP=QB,DP//BQ,

・・・四边形DPBQ是平行四边形，

：.PB//DQ,PB=DQ,

则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，

在A4的延长线上截取4£=45=4,连接尸E,

贝!JBE=2/B=8,

•；PA2BE,

・・・P4是BE的垂直平分线，

:・PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

连接CE,贝lj?C+0D=尸C+?5=尸。+尸E2CE,

••CE—7BE2+B(J2~+&-10,

：.PC+PB的最小值为10,

即PC+Q。的最小值为10,

【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练

掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE是解

题的关键.

4.（2025•花山区校级一模）如图，在矩形/BCD中，AB=3,AD=2,加■为4。的中点，N

为BC上一动点，点夕、D'分别是点8、。关于直线的对称点，连接"D'交

MN干点、E,则CE的最小值为（）

A.嗜B.V13-2C.乎D.V13-3

【分析】连接BE,DE先根据折叠得到点E在8。上，即当时，CE最小，然后

根据勾股定理得到BD长，再利用面积法求出CE的最小值即可.

【解答】解：由折叠得/EM=ZB'EN=ZBEN,

...点2、E、Z）共线，即点E在上，

...当时，CE最小，这时，

•：ABCD是矩形，

AZBAD=90°,

BD--7AB2+4/)2=732+22—■V13，

11

又S^BCD=2BCXCD=-BDXCE,

.”BCXCD3X26Vi3

•・CE=BD-V13-^3-，

所以CE的最小值为6f

故选：A.

【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，关键是相关性

质的熟练掌握.

5.（2024春•灌南县期中）如图，矩形/BCD中，Z50C=120°,BD=12,点P是AD边

上一动点，则OP的最小值为.

【分析】先由矩形的性质可得O/=O8=OC=OD=58D=6,再由等腰三角形的性质可

求/CMD=/OD4=30°,然后由直角三角形的性质可求解.

【解答】解：•..四边形/BCD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD=U,

1

：.OA=OB=OC=OD^~BD=6,

VZBOC^nO0=NAOD,

：.ZOAD=ZODA=30°,

当OPL4D时，O尸有最小值，

1

：.OP=~OD=3>,

故答案为：3.

【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知

识；掌握矩形的性质是解题的关键.

6.（2024•平遥县二模）如图，在矩形48CD中，AB=6,/。=8,点E为直线8c下方一

点，且以2c为斜边在矩形的外部作直角三角形3EC,点尸是CD的中点，则即的最大

值为.

AD

【分析】取3c中点。，连接。£,。凡根据矩形的性质可求OC,C尸的长，根据勾股

定理可求。尸的长，根据直角三角形的性质可求。£的长，根据三角形三边关系可求得当

点。，点E,点歹共线时，所有最大值，即?

【解答】解：如图，取8C中点O,连接OE,OF,

:四边形/BCD是矩形，

：.AB=CD=6,AD=BC=8,ZBCD=90°,

;点尸是中点，点。是8c的中点，

；.C尸=3,CO=4,

：.OF=y/CF2+OC2=5,

:点。是R3CE的斜边8c的中点，

.•.O£=OC=4,

:根据三角形三边关系可得：OE+OF>EF,

当点。，点E,点B共线时，斯最大值为OE+CE=4+5=9.

【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找

到当点。，点E,点尸共线时，所有最大值是本题的关键.

7.如图1,矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，0A=3,

0C=2,过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P,且点P不与点B、C重合，过点P作

①求直线AP的函数解析式；

②在x轴上另有一点G的坐标为（2,0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N,使aCMN

的周长最小，并求出△GMN周长的最小值.

（2））如图2,过点E作EFIIAP交x轴于点F,若以A、P、F、E为顶点的四边形是平行四边

形，求直线PE的解析式.

【分析】（D①根据题意可求P（l,2），用待定系数法可求直线AP解析式；

②作点G关于y轴的对称点G（-2,0）,作点G关于直线4P的对称点G"（3,1）,连接

交y轴于点N,交2P于M,根据两点之间线段最短，可得此时△GMN的周长最小，利用勾

股定理即可求得△GMN周长的最小值；

（2）作PM14D于M,可证=由题意可证△PDM三△EDO（AAS）,可求

EO=PM=2,OD=DM=AM=1,即可得E点，P点坐标，即可求直线PE解析式.

【解答】（1）解：①•.•矩形CMBC,。4=3,0C=2,

二力（3,0）,40,2）,B（3,2）,Z.B=Z.BAO=Z.BCO=-Z.COA=90°,

AOWBC,AO=BC=3,CO=AB=2,

•・•△P4B为等腰直角三角形

.-.BP=AB=2,

;.CP=BC-BP=3-2=1,

2）,

设直线AP的解析式丫=心+人过点4（3,0）、点P（l,2）,

（3k+b=0

k+b=2'

1

解得：上,

二直线ZP的解析式y=-%+3；

②作点G关于y轴的对称点G（—2,0）,作点G关于直线4P的对称点G"（3,1）,连接G（"，交y

轴于点N,交力P于M,此时aCMN的周长最小，

・・.4O=OG'+4。=2+3=5,AG"=1,

在RtZk4G（〃中，G'G"=y/AGf2+AG"2=V52+l2=V26,

：.Z.PMD=ZEOD=90°,乙PM。=NPM4=90。,

・•・四边形尸COM和四边形/BPM都是矩形，

-BCWOA,

・••乙CPD=CPDA,Z-APB=Z.PAD,

又・・2CP0=/.APB,

：.Z-PDA=/.PAD,

:,PD=PA,

.-.DM=AMf

•・•四边形P4E尸是平行四边形，

：.PD=ED,

在△POM和△E。。中，

ZPMD=Z.EOD

乙PDM=乙EDO,

PD=ED

△PDM=△EDO（AAS）,

.-.DM=DO,PM=EO,

,-,OD=DM=MAf

-PM=AB=2,0A=3f

・・.0E=2,CP=OM=2,

••・E（0,-2）,尸（2,2）,

设直线PE的解析式y=mx+n,

.[n=-2

''l2m+荏=2，

（m=2

',In=-2'

•,・直线PE的解析式y=2x-2.

图2

【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，轴对

称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形判定和性质,

两点之间线段最短.灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

【题型三菱形中的最值问题】

1.如图，将两张长为5,宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠

部分成为一个菱形.当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4,把一个矩形绕两个矩形

重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中,

周长的最大值是（

A.8B.10C.10.4D.12

【分析】由矩形和菱形的性质可得NE=EC,N2=90°,由勾股定理可求/E的长，即

可求四边形/EC尸的周长.

【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，

•四边形/EC尸是菱形

：.AE=CF=EC=AF,

在1中，AE2=AB2+BE2,

：.AE2=1+C5-AE）2,

：.AE=2.6

二菱形/ECF的周长=2.6X4=10.4

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股

定理求线段的长度是本题的关键.

2.（2024秋•南关区校级期中）如图，E是口/BCD的8C边的中点，尸是对角线/C上一

点.若BC=CD=2,NDCB=60°,则P2+PE的最小值是()

E

B

A.1B.2C.V3D.4

【分析】找出3点关于NC的对称点。，连接。£交NC于P,则。£就是P8+PE的最小

值，求出即可.

【解答】解：：四边形N8CD是平行四边形，BC=CD=2,

：.EJABCD是菱形，

连接8。，交/C于O,连接。E交/C于尸，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得8、。关于NC对称，则尸。=尸8,

PE+PB=PE+PD=DE,

即DE就是PE+PB的最小值.

•.•四边形/BCD是菱形，

:./DCB=/DAB=60°,DC=BC=2,

...△DC8是等边三角形，

,:BE=CE=\,

C.DEVAB（等腰三角形三线合一的性质）.

在RtZUOE中，。E=yJCD2-CE2=V22-l2=百.

即PB+PE的最小值为百.

故选：C.

【点评】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P

点的位置是解答本题的关键.

3.（2024•安徽一模）如图，在边长为2的菱形/5CD中，N/=60°,点M是边的中

点，点N是48边上一动点，将沿儿W所在的直线翻折得到MN,连接H

C,则卬C长度的最小值是（）

D,

A.V7B.V7-1C.V3D.2

【分析】根据题意，在N的运动过程中4在以M为圆心、为直径的圆上的弧

上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时“、/'、C三点共线，得出

A1的位置，进而利用锐角三角函数关系求出TC的长即可.

【解答】解：如图所示：：舷4’是定值，A'C长度取最小值时，即H在MC上时，

过点M作MFLDC于点F,

:在边长为2的菱形/BCD中，ZA=60°,M为40中点，

：.2MD=AD=CD=2,ZFDM=60°,

:.NFMD=30°,

11

：.FD=-MD=

.".FAf=Z>AfX—=—,

22

:.MC=7FM2+CF2=V7，

：.A'C=MC-MA'=V7-1.

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出，点位置是解

题关键.

4.（2024春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形/BCD的边长为8,点M是对角线/C上的

一动点，且/4DC=120°,则M4+MB+MD的最小值是（）

D,

A.4V3B.8V3C.8+V3D.4+4V3

【分析】过点。作于点£,连接8。，根据垂线段最短，此时。£最短，即

MA+MB+MD最小,根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长,进而可得结论.

【解答】解：如图，过点。作。于点E,连接5D,

:菱形488中，ZADC=nO°,

:./DAB=60°,AD=AB=DC^BC,

是等边三角形，

AZMAE=30°,

：.AM=2ME,

"：MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,

根据垂线段最短，此时。E最短，即M4+MB+MD最小，

:菱形48cA的边长为8,

'.DE=yJAD2—AE2=V82-42=4V3，

，2£>£=8百.

：.MA+MB+MD的最小值是8百.

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱

形的性质，等边三角形的判定与性质.

5.（2024春•青县期末）如图，在菱形/BCD中，Z£>=135°,AD=3近,CE=2,点、P

是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值.

【分析】先作点E关于/C的对称点点G,再连接BG,过点3作28，。于X,运用勾

股定理求得84和GH的长,最后在RSHG中,运用勾股定理求得BG的长,即为PE+PF

的最小值.

【解答】解:作点E关于NC的对称点点G,连接尸G、PE,则尸E=PG,CE=CG=2,

连接2G,过点8作AF/_LCZ>于〃，则N8S=NCB/f=45°,

:四边形/BCD是菱形，AD=3V2,

：.BC^AD=3VL

RtASZ/C中，BH=CH=BC-sin乙BCH=BC-sinz450=3五x孝=3,

：.HG=HC-GC=3-2=1,

Rt/XBHG中，5G=y/BH2+HG2=V32+l2=V10,

•.,当点尸与点8重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），

：.PE+PF的最小值是

故答案为：Vio.

【点评】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理.

6.（2024春•兴宁区校级期中）如图，四边形N3CD是菱形，0c=4,02=3,DH_LAB于

点”，点E是上一点，且ND=5D£,点尸是。〃的中点，点尸是线段8。上一动

点.点P在运动过程中，PE+P尸的最小值为

D

1__________

【分析】如图，在DC上取川=/)C,由菱形可推知。/=。片，尸/=尸£,CD=y]OD2+OC2y

24121

=5,进一步由菱形面积求得。”二三-,DF=—,Rt△产Z)/中，DI=—DC=1,FI=

_________1313

y/tFD2+DI2=—^所以PE+PF=PF+PI》FI,故最小值为三­.

1

【解答】解：如图，在。。上取川=不。。，

・・♦四边形45cZ）是菱形，为轴对称图形,

:・DI=DE,PI=PE,

'：OD=3,OC=4,

:•CD—7OD?+。。2=,32+42—5,

:,AB=CD=5,

1

.,S菱形48co=5".8"="8'DH,

1

.,.5x6x8=SDH,

24

解得0"=—,

112

：.DF=^DH=—,

・・•四边形48C0是菱形，

J.AB//CD.

AZFDI=ZAHD=90°,

1

在Rt△即/中，DI=-DC=lf

FI=VFD2+DI2=J噂『+12=y,

PE+PF=PF+PI^FI,

13

J.PE+PF的最小值为石-.

13

故答案为：y.

【点评】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线,

构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键.

7.(2024春•潮阳区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，四边形/8CO

是菱形，点/在x轴的正半轴上，点/的坐标为(8,0),NC=60°,点〃在边2C上

移动(不与8、C重合)，点N在边N5上移动(不与/、8重合)，在移动的过程中保持

CM+AN=8.

(1)连结。攸，ON,求/MON的大小；

(2)求△OMN周长的最小值及此时点N的坐标；

(3)在(2)的结论下，若尸为平面内一点，当以点O,N,A,P为顶点的四边形为平

行四边形时，请直接写出点尸的坐标.

【分析】(1)由“S4S1”可证△COM也/XBON,可得OM=ON,ZBON=ZCOM,即可

求解；

(2)可证△MON是等边三角形，可得△0W周长=3(W,当。攸_L3C时，△(?九W周

长有最小值，由等边三角形的性质可求解；

(3)分三种情况讨论，由平行四边形的性质列出等式，即可求解.

【解答】解：(1)连接2。,

:四边形/8CO是菱形，点/在x轴的正半轴上，点/的坐标为(8,0),ZC=60°,

；.AO=BA=BC=8,△台。。和△N03是等边三角形，

：.CM+BM=S,AN+BN=S,BO=CO,ZABO=ZC=60°=ZAOB,

'：CM+AN=S,ZC=60°,

：.BN=CM,

:.△COM"ABON(W),

：.OM=ON,ZBON=ZCOM,

：.ZMON=ZBOM+ZBON=ZBOC=60°；

(2)'：OM=ON,NMON=60°,

.•.△MON是等边三角形，

.♦.△OMV周长=3(W,

.•.当(W_L3C时，△OMN周长有最小值，

VAOSC是等边三角形，

1

CM=BM=~BC=4,OM=而CM=4百，

...△OMV周长的最小值为12百，点8坐标为(4,4五),

:BN=CM=4,

...点N为48的中点，

.•.点N(6,2百)；

(3)设点P(x,y),

由题意可得：点N(6,2百)，点/(8,0),点O(0,0),

当40为对角线时,

(8+0=6+%

由题意可得:

(2V3+y=0+0,

x=2

解得:

y=-2百'

...点尸（2,-2V3）.

当NN为对角线时,

8+5=x+0

由题意可得:

+0=y+0'

解得:仁之

:.点P（14,2百），

当。N为对角线时，｛otX'o+y

.（x=-2

•.ly=2后

...点P（-2,2打），

综上所述：点P的坐标为（2,-2V3）或（-2,2V3）或（14,2百）.

【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关

键.

【题型四正方形中的最值问题】

1.（2024春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形48c。中，点〃为对角线AD上

一动点，ME工BC于E,W_LCO于尸，则E尸的最小值为（）

A.3&B.6V2C.3D.2

【分析】连接MC,证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF=MC,当MC_L

时，取得最小值，此时△BCW是等腰直角三角形，得出〃。=争。=3五，即

可得出结果.

【解答】解：连接MC,如图所示:

:四边形/BCD是正方形，

AZC=90°,ZDBC=45°,

于E,于F

四边形MEC尸为矩形，

：.EF=MC,

当MCL2D时，MC取得最小值,

此时△8CM是等腰直角三角形，

：.MC=号BC=6X亨=3vL

；.跖的最小值为3五；

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质

以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键.

2.（2024春•潼南区期末）如图，正方形/BCD的对角线NC,8。相交于点O,点尸是8C

上任意一点,PEL8D于点于点F,若AC=2五,则EF的长的最小值为（)

C.V2D.亨

【分析】如图，连接。尸、EF,根据已知条件和正方形的性质可以得到当所最小就是

。尸最小，然后利用垂线段最短即可求解.

【解答】解：如图，连接OP、EF,

•.•正方形/BCD的对角线/C,2。相交于点0,点尸是BC上任意一点，PELBD于点、

E,P7LLNC于点凡

四边形0EP尸为矩形，

：.EF=OP,

.•.斯最小时0P最小，

当OP,8c于P的时候OP最小，

而当。尸，8C时，P为3c的中点,

1

：.OP=~BC,

■:AC=25

则8C=2,

：.OP=\,

尸的长的最小值为1.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题.

3.（2024秋•长丰县校级期末）如图，在矩形/BCD中，NB=4,3c=8,点E在3c边上,

且3E=3,尸为边上的一个动点，连接£尸,以跖为边作正方形EFG”,且点〃在

矩形N3CD内，连接CH,则CH的最小值为（）

A.3B.4C.V8D.V10

【分析】过点〃作"70，2c于点过〃点作P0〃8C,分别与/夙CD交于点尸、

点0,证明△4EF也△〃”£,得BE=MH=3,BF=ME,设8F=x,根据勾股定理用x

表示CH,再解析式特点求得CH的最小值.

【解答】解：过点〃作„8。于点连接C4,

：.EF=HE,/尸£77=90°,

AZBEF+ZMEH=ZMEH+ZMHE=90°,

：.ZBEF=ZMHE,

:四边形/BCD是矩形，

AZ5=90°=ZEMH,

:.ABEF沿AMHE(AAS),

:.BE=HM=3,BF=EM,

设BF=EM=x,贝l|CM=BC-BE-EM=8-3-x=5-x,

CH=7cM2+HM2=V(5-x)2+32=J(5T)2+9,

：0WxW4,

.•.当x=4时，有最小值为c〃=VI5

故选：D.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，关键

是证明三角形全等，确定〃点运动的轨迹.

4.(2024•科尔沁区模拟)如图，在边长为6的正方形N8CD中，点£、F、G分别在边45、

AD、CD上，EG与BF交于点/,AE=2,BF=EG,DG>AE,则DI的最小值等于()

A.V5+3B.2V13—2C.2、10—三D.2V2+3

【分析】过点E作于点取的中点O,连接O/、OD,根据证明RtA

BAF”MEMG,可得N4BF=/MEG,所以再证明NE7F=90°,由直角三角形斜边上

1

的中线等于斜边的一半可得由8-aw。/,当。、D、/共线时，。/有最小

值，即可求的最小值.

【解答】解：如图，过点E作瓦I/，。。于点河，取BE的中点O,连接a、OD,

•・•四边形45CZ)是正方形，

:・AB=AD,ZA=ZD=ZDME=90°,AB//CD,

・•・四边形t是矩形，

：.EM=AD=ABf

■:BF=EG,

ARtA^F^RtAWG(HL),

：.ZABF=AMEG,NAFB=NEGM,

'：AB//CD

：.ZMGE=ZBEG=ZAFB

NABF+NAFB=90°

：.NABF+NBEG=90°

AZE/F=90°,

：.BF.LEG；

•••△E/5是直角三角形，

1

：.OI=~BEf

\9AB—6,4E=2,

:・BE=6-2=4,OB=OE=2,

OD-OIWDI,

.•.当。、D、/共线时，ZV有最小值，

1

,：IO=-BE=2,

.,.OD=ylAD2+AO2=2v,

.\7D=2V13-2,即。/的最小值为2疝一2,

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三

边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几

何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题.

5.（2024•永寿县模拟）如图，在△4BP中，AP=2五,BP=4,分别以NP、48为边向外

作正方形/和正方形/BCD,连接。P,当。P取最大值时，48的长是.

【分析】如图①，连接BN、NP,证明尸丝ZXNBN（S4S9,则当8N最大时，。尸最

大，此时2、P、N三点共线，如图②，过