2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：正方形的性质与判定的综合（八大题型）解析版

重难点18正方形的性质与判定的综合运用

八大重难点题型

m知识梳理

▲知识点一：正方形的定义

・定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

几何语言：•••平行四边形48CD中，AB=BC,乙4=90。，

.•・四边形48co是正方形.

★1、正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；

★2、正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形是

特殊的矩形又是特殊的菱形.

▲知识点二：正方形的性质

★1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即

①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；

②角：四个角都是直角；

③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.

★2、正方形的面积计算

①边长的平方；②对角线平方的一半；

★3、正方形特有的性质：

①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形

的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

②周长相等四边形中，正方形的面积最大.

▲知识点三：正方形的判定

★1、正方形判定方法:

定义法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形.

四边形法

对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

平行四边形法

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.

有一组邻边相等的矩形是正方形.

矩形法

对角线相互垂直的矩形是正方形.

有一个角是直角的菱形是正方形.

菱形法

对角线相等的菱形是正方形.

★2、平行四边形、矩形、菱形、正方形间转化关系和包含关系

m题型解读

国典题精练

【题型一利用正方形的性质求角度】

【例题1】（2024秋•竞秀区期中）如图，在正方形N5CD外侧，作等边三角形4DE,

AC、3E相交于点尸，则为（)

D

A.15°B.30°C.45°D.55°

【分析】根据等边三角形和正方形的性质可知ZBAE^150°,再利用三角形的

内角和定理可得答案.

【解答】解：:四边形/BCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

「△NDE是等边三角形，

：.AD=AE,ZDAE=60°,

:.AB=AE,/B4E=150°,

1

Z.ABEA=AABE=-（180°-150°）=15°.

故选：A.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，

熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键.

【变式1-1】（2024秋•文山市期末）如图，四边形43CD是正方形，延长到点£,使

AE=AC,则N5C£的度数是（）

C.32.5°D.22.5

【分析】由ZABC=90°,得N5/C=N5G4=45°,由得/E=N

ACE=675：则N5CE=67.5°-45°=22.5°,于是得到问题的答案.

【解答】解：,・•四边形是正方形,

:・AB=CB,N4BC=90°,

AZBAC=ZBCA=45°,

U：AE=AC,

：./E=/ACE,

VZE+ZACE=1SO°-45°=135°,

：.2ZACE=135°,

；・NACE=67.5°,

:./BCE=615°-45°=22.5°,

.♦./BCE的度数是22.5°,

故选：D.

【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由

/E=/C求得N/CE=67.5°是解题的关键.

【变式1-2】（2024秋•新城区期末）如图，在正方形4BCD中，K为对角线AD上一点,

连接CE,/BCE=7Q°,则NE4D为()

C.20°D.30°

【分析】先根据S4S证出四△CED,可得NEAD=NECD,根据正方形的对角线性

质以及/3CE=70°可求N3EC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求NECD的度

数，最终可求出的度数.

【解答】解：：正方形/BCD

:.NADE=NCDE=NEBC=45°,AD=CD,

,:DE=DE,

：./\AED^^\CED(S4S),

ZEAD=ZECD,

又；/BCE=W°,

/.ZBEC=65°,

ZBEC=ZCDE+ZECD,

即65°=45°+ZECD,

:.NECD=20°,

:.NEAD=20°.

故选：C.

【点评】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角

与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化.

【变式1-3】（2024秋•凤翔区期中）如图，四边形/BCD是正方形，延长3c到点E,使

CE=AC,连结交CD于点尸，则等于（）度.

A.112.5B.125C.135D.150

1

【分析】首先根据正方形的性质得到乙BC/=4%/=5"CD=45。，然后根据三角形外

1

角的性质和等边对等角求出==万乙4cB=22.5。,然后利用三角形内角和定理求

解即可.

【解答】解：・.•四边形是正方形，CE=AC,

：.ZBCD=90°,

1

：.Z.BCA=/.FCA=^BCD=45°,

■:CE=AC,

1

：.LE=/.CAE=^ACB=22.5。，

/.Z^FC=180°-ZCAF-ZACF=\S0°-45°-22.5°=112.5°.

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握利用正方形的性质解决问题.

【变式1-4】（2024秋•太原期中）如图，点E.尸分别是正方形内部、外部一点,

四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，则/C8E的度数等于

【分析】先由四边形48co是正方形，AB=AD=BC,ZABC^90°,再由四边形NDFE

与四边形8CFE均为菱形，^AD=AE,BC=BE,贝I］所以乙48£=60°,

则NC5E=30°.

【解答】解：・・•四边形45CO是正方形,

；・AB=AD=BC,ZABC=90°,

・•・四边形/OFF与四边形BCFE均为菱形，

'：AD=AE,BC=BE,

：・AB=AE=BC,

/\ABE是等边三角形，

ZABE=60°,

:・/CBE=/ABC-/ABE=90°-60°=30°,

故答案为：30。.

【点评】此题重点考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证

明△/BE是等边三角形是解题的关键.

【变式1-5】（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形/BCD中，点E,尸分别在

AD,AB±,满足。£=/尸，连接CE,DF,点尸，0分别是DP,CE的中点，连接

PQ.若N4D户=a.则NPQE可以用a表示为（）

A.aB.45°-aC.45°--D.3a-45°

【分析】连接根据正方形的性质先证明9乌△£＞（7£,得出/DCE=a,DF=

CE,进而得出。0=尸。，ZPDQ=90°-2a,根据三角形的内角和表示出/尸0。即可求

解.

【解答】解：连接。0,如图:

ED

A

•・•四边形45CD是正方形,

：.AD=CD,ZA=ZCDE=90°,

■:AF=DE,

:.AADF咨ADCE(SAS)f

：.DF=CE,NADF=/DCE=cc,

•・•点P。分别是。RC£的中点，

11

：.PD=-DF=DQ=-CEf

：.ZDPQ=ZDQP,ZCDQ=a,

：.ZPDQ=90°-2a,ZDQE=2af

180°-(90°-2a)

ZPQD=-----------------------=45°+a,

；・NPQE=45°+a-2a=45°-a,

故选：B.

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正

方形的性质是解题关键.

【题型二利用正方形的性质求线段长】

【例题2】(2023秋•简阳市期末)如图，正方形48CD的边长为6,点£是对角线NC上

一点，且N£=2CE,则的长度为()

A,,D

B

A.4B.2V2c.2V3D.2V5

【分析】过£作瓦LLC。于尸，由正方形/BCD的边长为6,可得C0=6,AC=42CD=

6VLN4CZ)=45°,而ZE=2CE,故"=2vL根据△EFC是等腰直角三角形,

CE

求出所=。/=71=2,DF=CD-CF=4,再用勾股定理可得答案.

【解答】解：过E作瓦UCD于R如图：

,/正方形ABCD的边长为6,

：.CD=6,AC=y^CD=6五,ZACD=A5°,

'：AE=2CE,

11

/.CE=~AC=x6V2=2V2,

'JEFLCD,ZACD=45°,

LEFC是等腰直角三角形，

CE

:.EF=CF=^=2,

:.DF=CD-CF=6-2=4,

在RdDEF中,

DE=\lEF2+DF2=V22+42=2V5;

故选：D.

【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形

性质及等腰直角三角形三边的关系.

【变式2-1】（2024秋•府谷县期末）如图，在正方形/BCD中，点G在8c边上，连接

AG,OEL/G于点E,BFL/G于点尸，若2F=4,DE=9,则斯的长为（）

A.5B.8C.12D.2

【分析】由正方形的性质得4B=D4,NBAD=90°,由。于点E,AFU/G于点

F,得N4FB=NDE4=90°,则/BN尸=//DE=90°-ZDAE,即可根据“44S”证

明ZXBAF也A4DE,得BF=4E=4,AF=DE=9,则斯=4F-/E=5,于是得到问题的

答案.

【解答】解：•..四边形/BCD是正方形，

：.AB=DA,NBAD=90°,

于点E,2A_L4G于点尸，BF=4,DE=9,

:.NAFB=NDEA=9Q°,

:.NBAF=/ADE=90°-/DAE,

在48/尸和△/£>£■中，

YBAF=^ADE

Z.AFB=乙DEA,

AB=DA

:.△BAF4AADE(AAS),

:.BF=AE=4,AF=DE=9,

：.EF=AF-AE=9-4=5,

故选：A.

【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明42/斤四

△4DE是解题的关键.

【变式2-2】（2024秋•淄川区期末）如图所示，在正方形45CD中，。是对角线4C、BD

的交点，过。作。£，。£分别交45、BC于E、F,若4£=4,CF=3,则跖的长为

()

【分析】先利用证明△BEOgaCFO,故得BE=FC,进而得出NE=8凡在RtA

BEF中利用勾股定理即可解得EF的长.

【解答】解：•••四边形N3CZ）是正方形，

：.OB=OC,NOBE=NOCF=45°,ACLBD,

又：OE_LOF,

AZEOB+ZBOF=9Q°=ZBOF+ZCOF,

：.ZEOB=ZCOF,

:.△BEO空△CFO（ASA）,

:.BE=CF=3,

又；AB=BC,

：.AE=BF=4,

：.RtABEF中，M='BE?+BF2=V32+42=5.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判

定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键

是选择恰当的判定条件.

【变式2-3】（2024秋•南明区月考）如图，。为正方形4BCD对角线/C的中点，44CE

为等边三角形.若N2=2,则DE的长度为（）

A.B.V6C.V6—V2D.2

1

【分析】由四边形NBC。是正方形，得/2=3C=2,ZABC=90°,OA^OC^~AC,

利用勾股定理求出NC的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解

决问题.

【解答】解：•.•四边形是正方形，

1

：.AB=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=~AC,

...由勾股定理得：AC=7AB2+BC2==2VL

•.•△/CE为等边三角形，

.'.AC=AE=EC=2五,

AC_

:.AO=OC=OD=~^=近,OE^AC,

：.ZAOE=90°,

由勾股定理得：OE=\lAE2-AO2=V6，

：.DE=OE-OD=V6-V2，

故选：C.

【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是

解题的关键.

【变式2-4】（2023秋•莱西市期末）如图，已知四边形/BCD和四边形CEFG均为正方形,

且G是的中点，连接若/B=4,则4E的长为

【分析】过点后作皿/，/。交BC于点N,交/。于点则MN=4,再证明ABCG出

△NEC,得出NE=BC=4,再利用勾股定理即可解答.

【解答】解：过点E作近0L4D交8c于点N,交4D于点则AW=4,

四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，

：.CG=CE,Z5=90°=ZCNE,NGCE=9Q°,

：.ZGCB=ZCEN,

:.△BCGQ&NEC(ASA),

1

:.NE=BC=4,CN=BG=~AB=2,

:.ME=8,AM=BN=2,

；.4E=V82+22=2V17，

故答案为：2717.

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助

线构造直角三角形是解题关键.

【变式2-5】(2024秋•朝阳区校级期末)如图，正方形/5CD的边长为7,点K是48上

的一点，且/£=3,将正方形沿。E翻折，点/落在点G处，延长EG交2C于点尸,

则CF的长是.

【分析】连接根据将正方形沿DE翻折，点/落在点G处，可证得RtZXOG/名患△

DCF(HL),有CF=GF,设CF=Gb=x,可得(7-3)2+(7-x)2=(3+x)2,即可解

得答案.

【解答】解：连接如图:

:将正方形沿DE翻折，点A落在点G处，

：.EG=AE=3,DG=AD=CD,ZDGE=ZA=90°,

AZDGF=ZC=90°,

,:DF=DF,

：.RtAZ)G^RtADCF(HL),

：.CF=GF,

设CF=GF=x,贝i|AF=7-x,EF=3+x,

'：BE2+BF2=EF2,

：.(7-3)2+(7-X)2=(3+x)2,

14

解得x=m，

14

；.C尸的长为三.

14

故答案为：y.

【点评】本题考查正方形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质，能利用勾股

定理列方程解决问题.

【题型三利用正方形的性质求周长或面积】

【例I题3】（2022秋•汉台区期末）如图，正方形/BCD的边长为8,在各边上顺次截取

AE=BF=CG=DH=6,则四边形的面积是（）

BFC

A.34B.36C.40D.100

【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积，进行计算即可.

【解答】解：:正方形/BCD的边长为8,在各边上顺次截取/石=2尸=。6=。8=6,

BE=AH=DG=CF=8-6=2,

1

四边形EFGH的面积为：82--x2x6x4=64-24=40；

故选C.

【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，正确的识图，利用割补法求面

积是解题的关键.

【变式3-1】（2024春•南岗区校级月考）正方形一条对角线长为2五，则周长为（）

A.4B.4V2C.8D.8企

【分析】根据对角线长求出边长，即可求出周长.

【解答】解：设正方形的边长为“，

•••对角线长为2五,

：.2a2=（2V2）2,

解得：。=2或-2（不符合题意，舍去），

.•.正方形的周长为8,

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键.

【变式3-2】（2024秋•遂川县期末）如图，在正方形N3CD中，点、E,尸分别在和4D

边上，BE=2,AF=6,AE//CF,则△4BE的面积为（

A.6B.8C.12D.16

【分析】先根据正方形的性质可得：AD//BC,AB=BC,ZB=90°,证明四边形NECF

是平行四边形，可得CE=/F=6,由此计算N8=3C=8,最后由直角三角形的面积公式

可得结论.

【解答】解：•・•四边形是/SCO是正方形，

：.AD//BC,AB=BC,ZB=90°,

'：AE//CF,

・・・四边形AECF是平行四边形，

：・CE=AF=6,

■:BE=2,

:.BC=BE+CE=2+6=8,

：.AB=8f

VZ5=90°,

11

・•・LABE的面积=万・45・5£=5乂8><2=8.

故选：B.

【点评】本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，

熟练掌握相关知识是解答的关键.

【变式3-3】（2024秋•裕华区校级期末）我们都知道，四边形具有不稳定性.老师制作了

一个正方形教具用于课堂教学,数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如

图），若正方形道具边长为10c加，ZD'=30°,则四边形的面积减少了（）

AD

A'D'

BC

A.50cm2B.50V2cm2C.lOOcw2D.lOOVzcm2

【分析】过点HLBC于H,由题意得四边形BCD'是菱形，根据含30度直角三

角形的性质求出⑷H,分别求出正方形N8CD的面积和菱形HBCD'的面积，即可得

的答案.

【解答】解：：四边形48。是正方形，AB^lOcm,

，正方形/BCD的面积=100c%2,AB=BC=CD=AD=\Ocm,

由题意知HB=BC=CD'=A'D'=10cm,

四边形HBCD'是菱形，

BC=ZD'=30°,

过点卬H_LBC于H,

：.ZA'HB=90°,

1

.".A'H=~A'B=5cm,

菱形BCD'的面积=80/'"=10X5=50(cm2),

;正方形/BCD的面积-菱形HBCD'的面积=50c/,

四边形的面积减少了50cm2.

故选：A.

AD

A'D'

,**1T9

..JI/

BHC

【点评】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，含30度直角三角形的性质,

证得四边形BCD'是菱形是解决问题的关键.

【变式3-4】(2024秋•天府新区期末)如图，点C是正方形ADE厂内一点，连接/C,

FC,且以NC为斜边在NC下方作RtZs/BC,且N48C=90°,若8c=4,

48=3,CF=12,则正方形4D斯的面积为.

【分析】先在Rt448C中，由勾股定理求出/C=5,进而在RtZk/C/中，再由勾股定理

求出/尸=13,进而可得正方形/£)£尸的面积.

【解答】解：在RtZ\N8C中，BC=4,AB=3,NC为斜边，

由勾股定理得：AC=VfiC2+AB2=5,

\'AC±FC,

ZACF=90°,

...△ZCF是直角三角形

又：C尸=12,AC=5,

由勾股定理得：/尸=W;F2+ac2=13,

正方形/£>£尸的面积为：//2=169.

故答案为：169.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用

勾股定理进行计算是解决问题的关键.

【变式3-5】（2024秋•路北区校级期末）如图，小明同学将边长为5c加的正方形塑料模

板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点/

处，两条直角边分别与CD交于点R与C8延长线交于点E,则四边形NEC尸的面积

是______.

【分析】利用ASA判断出丝△，/万；得到四边形/ECF的面积与正方形48co面积

相等，结论可求.

【解答】解：：四边形N3CD是正方形，

:.NBAD=NABC=ND=90°,AB^AB.

：.ZDAF+ZBAF=90°.

VZEAF=90°,

/.ZEAB+ZBAF=90°.

：.NEAB=ZDAF.

在和RtA/^D中,

(^EAB=AFAD

\AB=AD

{/.EBA=/-D=90°

，RtAEA8之RtAFL4。(ASA).

S^EAB=S&FAD•

四边形4ECF=S四边形/BCF+SA/BE

:，S四边形NECF=S四边形4BCK&NQB=S正方形/BCD=52=25(cm").

故答案为：25cm2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质.利用面积割补法求

不规则图形的面积是解题的关键.

【题型四利用正方形的性质进行证明】

【例题4】(2024秋•茂南区期末)如图，在正方形N8CD中，£是边48的中点，F是边

8c的中点，连接CE、DF.求证：CE=DF.

【分析】欲证明CE=D尸，只要证明△CEBgZV)尸C即可.

【解答】证明：..Z8C。是正方形，

：.AB=BC=CD,ZEBC=ZFCD=90°,

又,：E、尸分别是43、8c的中点，

:.BE=CF,

在△CE8和△DFC中,

(BC=CD

=4DCF,

[BE=CF

：./\CEB^/\DFC,

：.CE=DF.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方

形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型.

【变式4-1】(2024秋•澄迈县期中)如图，在正方形/BCD中，点E是边上一点，且

点E不与点3、C重合，点厂是A4的延长线上一点，且/尸=C£.求证：ADCE必

【分析】根据正方形的性质证明NC=ND/尸，再根据S/S证明结论即可.

【解答】证明：由题意可知，四边形/BCD是正方形，

：.DC=DA,NC=/BAD=90°,

AZDAF=1SO°-ZBAD=1SO°-90°=90°,

：.ZC=ZDAF,

在△DCE和尸中，

(DC=DA

]AC=ADAF,

[CE=AF

：./\DCE^/\DAF(S4S).

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定

是解题的关键.

【变式4-2】(2024秋•永丰县校级期末)如图，在正方形/BCD中，点尸在边AD上,

且不与点/,。重合，点〃在边N8上，且不与点8重合，连接8P、CH,BP与

CH交于点E.若BP=CH,求证：BP±CH.

【分析】由“印/'可证RtzXNBPgRtABCE,可得/BCH=NABP,由余角的性质可得结

论.

【解答】证明：•.•四边形/8CD是正方形，

：.AB=BC,ZA=ZABC=90°,

在RtAABP和RtABCH中,

(AB=BC

kBP=CH'

：.〈HL),

NBCH=ZABP,

ZABP+ZCBP=90°=ZBCH+ZCBP,

:.NCEB=90°,

：.BP±CH.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的

关键.

【变式4-3】(2024秋•双牌县期末)如图，四边形/BCD,3EFG均为正方形，连接CE,AG.

求证：CE—AG.

【分析】由正方形的性质得出/8=C8,ZABC=ZGBE=90°,BG=BE,得出//8G=N

CBE,由WS证明△48G注△C5E,得出对应边相等即可；

【解答】证明：・・•四边形458、BEFG均为正方形,

：.AB=CB,ZABC=ZGBE=90°,BG=BE,

：.ZABC+ZCBG=ZGBE+ZCBG,

・•・/ABG=/CBE,

在A/BG和△C5E中，

AB=CB

Z-ABG=乙CBE,

BG=BE

:.△ABG"4CBE("S),

：.AG=CE.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质,

证明三角形全等是解决问题的关键.

【变式4-4】(2024秋•观山湖区校级月考)如图，在正方形48co中，对角线/C,AD相

交于点。，点E,厂是对角线AD上的两点，且DE=BF.连接/E,CE,AF,CF.

(1)证明：AADE咨ACBF；

(2)若AB=4五,BF=2,求四边形/ECP的周长.

【分析】(1)由正方形对角线性质可得//。£=/。?尸=45°,再由S/S可证也

△CBF；

(2)由正方形性质及勾股定理可求得8O=ZC=8,DO=BO=4.再证明四边形/ECF

为菱形，因为。E=8尸=2,所以可得。£=2,在Rt/VIOE中用勾股定理求得/£=2点,

进而四边形AECF的周长为4DE,即可求得答案.

【解答】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：ZADE=ZCBF=45°,

在△NDE和/中，

AD=BC

^ADE=Z.CBF,

DE=BF

:.△ADE妾MBFCSAS）；

（2）解：,:AB=AD=4匹

•*-BD=VXB2+AD2=J（4A/2）2+（4V2）2=8,

由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC=BD=8,00=20=4,OA=OC=4,

又,：DE=BF=2,

：.0B-BF^OD-DE,

即OE=OF=4-2=2,

故四边形/ECF为平行四边形.

VZDOC=90°,

四边形NECF是菱形，

：.AE=7A。2+E02=742+22=2V5.

；.4。£=8心

故四边形NECF的周长为8V5.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质,

熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键.

【变式4-5】（2024秋•虞城县期中）四边形/BCD是正方形，E、尸分别是DC和C8的延

长线上的点，MDE=BF,连接/£、AF、EF.

（1）求证：AADE当4ABF；

（2）若BC=24,DE=8,求点/到E尸的距离.

【分析】（1）利用&4s证明/即可；

（2）过点N作/G_L所于点G,用勾股定理求出NE,AF,证明所为等腰直角三角

1厂

形，根据等腰直角三角形性质得出4G=EG=FG=~EF=8V5.

【解答】（1）证明：二•四边形/BCD是正方形,

：.4D=AB,ND=NABC=9Q°,

而尸是C3的延长线上的点，

AZABF=90°,

在△/£)£■和△/8尸中

AD=AB

乙D=AABF=90°

DE=BF

:.△ADE/AABF(&4S)；

(2)解：过点/作NG,跖于点G,如图所示:

'：BC=24,

：.AD=24,

在中，DE=8,/。=24,

：.AE=y/AD2+DE2=8V10-

,：AADE^AABF,

：.AE=AF,NDAE=NBAF,

：.ZDAE+ZBAE^ZBAF+ZBAE,即NEAF=/2/D=90°,

AAEF为等腰直角三角形，

EF=VXF2+AE2=16V5，

'：AG±EF,

1「

：.AG=EG=FG=-EF=8心

即点/到防的距离为：8V5.

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的

判定和性质，掌握正方形的性质和全等三角形的证明方法是解题的关键.

【变式4-6】（2024•海口模拟）如图，已知正方形4BCD的边长是2,NEAF=m°,将/

E4尸绕点/顺时针旋转，它的两边分别交2C、CD于点E、F,G是C2延长线上一点,

且始终保持BG=DF.

(1)求证：AABGmLADF；

(2)求证：AG±AF；

(3)当即=3E+D尸时：

①求m的值；

②若厂是CD的中点，求BE的长.

(分析[(1)在正方形ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,NBAD=NC=ND=/ABC=Z

ABG=90°.已知8G=DR所以得出△4BG之△/£)品

(2)由得出/G/8=/E4D,从而得到/G/F=/

FAD+ZBAF^ZBAD=90°,得出结论/G_L4F；

(3)①：由△/BGg△/£>/,AG=AF,BG=DF.得到EF=BE+DF,EF=BE+BG=

1

EG.AE=AE,得出A/EG丝△/斯.所以NE4G=NE4F,ZEAF=~ZGAF^45°,

即a=45；

②若尸是CD的中点，则。尸=CF=3G=1.设BE=x,贝l]C£=2-x,EF=EG=

2

l+x.在Rt^C斯中，利用勾股定理得出BE的长为7

【解答】

解：(1)证明：在正方形/BCD中,

AB=AD=BC=CD=2,

/BAD=NC=ND=NABC=/ABG=90°.

•;BG=DF,

在△45G和△40尸中，

AB=AD

乙ABG=乙ADF,

BG=DF

•MABG沼AADF(MS)；

(2)证明：•：AABG名AADF,

:・/GAB=/FAD,

：.ZGAF=ZGAB+ZBAF

=NFAD+NBAF=NBAD=90°,

：.AG±AF；

(3)①解：LABG会LADF,

：.AG=AF,BG=DF.

•:EF=BE+DF,

：.EF=BE+BG=EG.

•；AE=AE,

在△4£G和△%环中.

AG=AF

EG=EF,

AE=AE

：.AAEG%AAEFCSSS).

：.ZEAG=ZEAF,

1

AZEAF=-ZGAF=45°,

即加=45；

②若产是CD的中点，贝IJ。/=W=5G=1.

设BE=x,贝(JC£=2-x,EF=EG=l+x.

2

在RtZ\C£尸中，CE2+CF2=EF2,即(2-x)2+12=(1+x)2,得％=

2

：・BE的长为

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的

性质，解题的关键是根据三角形全等求出相等的角与边.

【题型五正方形判定的条件】

【例题5】（2023秋•太原期末）若口/BCD中对角线NC、8。相交于点。，则下列说法正

确的是（）

A.当。/=。。时，CJABCD为菱形

B.当N5=N。时，口/BCD为正方形

C.当N4BC=90°时，EJABCD为矩形

D.当时，口8。£）为矩形

【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得出结论.

【解答】解：当。4=0。时，平行四边形/BCD是不一定是菱形，故选项4不符合题意;

当48=40时，口48co不一定为正方形，故选项3不符合题意；

当//5C=90°时，口18。。为矩形，故选项C符合题意；

当/CLAD时，口48co为是菱形，故选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们

各自的判定方法.

【变式5-1】（2024秋•管城区校级期中）如图，已知四边形/BCD是平行四边形，下列说

法正确的是（）

A.若AB=AD,则口48。是矩形

B.若4C=BD,则口4BCD是菱形

C.^AC±BD,则口/BCD是正方形

D.^ABLBC,则口/BCD是矩形

【分析】根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答.

【解答】解：4、由四边形/BCD是平行四边形结合N5=4D,可得口/BCD是菱形，不

符合题意；

B、由四边形/8CD是平行四边形结合/C=3D,可得口/BCD是矩形，不符合题意；

C、由四边形/3CZ）是平行四边形结合/CL8D,可得口/BCD是菱形，不一定是正方形，

不符合题意；

D、由四边形N3C。是平行四边形结合/8L8C,可得口/BC。是矩形，符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定

定理是解题的关键.

【变式5-2】（2024秋•莲池区校级期中）下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对

角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互

相垂直的平行四边形.其中一定是正方形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】分别根据平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项进行逐一判断

即可.

【解答】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，正确，符合题意；

②两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，符合题意；

③有一个角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；

④对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；

⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟知

平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理是解答此题的关键.

【变式5-3】（2024秋•深圳月考）下列说法正确的有（）

①一组对边平行的四边形是平行四边形；

②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

④两条对角线互相垂直的矩形是正方形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的性质判断即可.

【解答】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；

②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形，故不符合题意；

③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故符合题意；

④两条对角线互相垂直的矩形是正方形.故符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握

正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键.

【变式5-4】（2024秋•东明县校级期末）如图，在△NBC中，点。，E,尸分别在边8C,

AB,CA±,S.DE//CA,DF//BA.下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果48/C=90°,那么四边形NED尸是矩形；

③如果4D平分N5/C,那么四边形/切尸是菱形；

④如果且那么四边形NEZW是正方形.

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DF//BA,得出

/£。尸为平行四边形，得出①正确；当NBAC=90°,根据推出的平行四边形尸，利

用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若/。平分N2/C,得到一对角相

等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得/£/£>=/£",利

用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由

AB=AC,AD±BC,根据等腰三角形的三线合一可得40平分/A4C,同理可得四边形4EO尸

是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数.

【解答】解：'JDE//CA,DF//BA,

四边形NED尸是平行四边形，选项①正确；

若/9C=90°,

.••平行四边形尸为矩形，选项②正确；

若4D平分4B/C,

/.ZEAD=ZFAD,

5LDE//CA,

：.NEDA=NFAD,

：.ZEAD=ZEDA,

：.AE=DE,

...平行四边形/即尸为菱形，选项③正确；

^AB=AC,ADLBC,

：.AD平分/R4C,

同理可得平行四边形NED尸为菱形，选项④错误，

则其中正确的个数有3个.

故选：C.

【点评】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性

质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质.

【变式5-5】（2024•黑龙江一模）平行四边形N5CD的对角线NC与AD相交于点。，且

ACLBD,请添加一个条件：,使得平行四边形/BCD为正方

形.

【分析】先判定平行四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形时正方形；对角

线相等的菱形是正方形；即可得出结论.

【解答】解：••,口/BCD的对角线NC与3。相交于点O,且ZCL8。，

:.EJABCD是菱形，

当/B4D=90°时，口ABCD为正方形;

当/C=AD时，匚IABCD为正方形;

故答案为：ZBAD=90°或4C=8。.

【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定；熟记正方形的判定方法是解题的关键.

【变式5-6】（2024秋•城关区校级期中）如图，平行四边形4BCD中，过/作5c

于〃，交BD于E,过C作CN_L4D于N,交.BD于F,连结NRCE,那么：

①△N8E咨△CD尸；

②四边形AECF是平行四边形；

③当时，四边形NEC尸是菱形；

④当M、N分别是3C、4D中点时，四边形NMCN是正方形.

则下列结论中正确的有.

【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定

理逐项判定即可.

【解答】解：：四边形/BCD是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,ZABC=ZCDA,

：.ZABE=ZCDF,

'：AM±BC,CNLAD,

：.ZBAE+ZABC=90°,ZDCF+ZCDA=90°,

ZBAE=ZDCF,

:.AABE/ACDFCASA）,故①正确；

：.AE=CF,

,JAM//CN,

四边形NEW是平行四边形，故②正确；

连接/C,如图：

当45=40时，四边形ABCD是菱形，

J.ACLBD,BPACLEF,

V四边形AECF是平行四边形，

四边形NECF是菱形，故③正确；

'：AM±BC,CNLAD,AD//BC,

：.ZAMC=ZMCN=ZCNA=900,

四边形/MCN是矩形，

当V、N分别是3C、40中点时，不能证明两边相等，如图:

故④错误；

正确的有①②③，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查菱形，矩形，正方形判定，涉及平行四边形，全等三角形等知识，解

题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理.

【题型六正方形的判定的证明】

【例题6】（2022•邵阳）如图，在菱形N8CO中，对角线NC,8。相交于点O,点£,F

在对角线上，S.BE=DF,OE^OA.求证：四边形/ECF是正方形.

【分析】先证明四边形NEC尸是菱形，再证明斯=/C,即可得出结论

【解答】证明：；四边形N2CD是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

四边形/ECF是菱形；

'：OE=OA=OF,

：.OE=OF=OA=OC,即EF=AC,

菱形4ECF是正方形.

【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础.

【变式6-1】（2024秋•太原期末）如图，已知矩形/BCD中，ZBAD和N4DC的平分线

交于BC边上一点£点尸为矩形外一点，四边形/助尸为平行四边形.求证：四边形

4EZ）尸是正方形.

【分析】由矩形的性质得出4B4D=NCD4=90°,证出由正方形的判定可得

出结论.

【解答】证明：••,四边形/BCD是矩形，

AZBAD=ZCDA=90°,

；AE,DE平分/BAD与NCDA,

11

Z.EAD=-/.BAD=45°,乙EDA=-zCDX=45°,

ZEAD=ZEDA,

：.AE=DE,

VZEAD+ZEDA