2024-2025学年苏科版七年级数学下册 第9章 图形的变换（3大易错+4大压轴）解析版

第9章图形的变换

01思维导图

目录

【易错题型】...................................................................................1

易错题型一利用平移解决实际问题..............................................................1

易错题型二利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题.............................................3

易错题型三利用旋转的性质求解................................................................8

【压轴题型】..................................................................................11

压轴题型一平移与平行线综合问题.............................................................11

压轴题型二根据成轴对称图形的特征进行求解...................................................15

压轴题型三利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题.............................................19

压轴题型四线段垂直平分线的性质和判定.......................................................27

02易错题型L

易错题型一利用平移解决实际问题

例题：（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部

分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为10机2,

贝.

13

【答案】ytn

【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、利用平移解决实际问题

【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键.根据小路的左边线向右平移1

米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可

得答案.

【详解】解：依题意有3a-3x1=10,

13

解得a=T

13

故答案为：—m.

巩固训练

1.（24-25八年级上•黑龙江齐齐哈尔•开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形A5CD）,A5=60

米，BC=26米.为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1

米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口8所走的路线（图中虚线）长为米.

【知识点】利用平移解决实际问题

【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键.根据平移的性质得出所走路程

为AB+AD—1+3C—1即可解题.

【详解】

解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为：

AB+AD—1+30-1=60+26+26—2=110（米），

故答案为：110.

2.（2024七年级上•上海・专题练习）［探究证明］图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为

a,竖直方向的边长均为历：

在图①中，将线段A4向右平移1个单位长度到用为，得到封闭图形片&与片（即阴影部分）

在图②中，将折线A&A向右平移1个单位长度到片为&，得到封闭图形444星星4（即阴影部分）.请

你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：52=_.

［结论应用］在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封

闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积邑=_.

［联系拓展］如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单

位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的.

【答案】［探究证明］成-"ab-b

［结论应用］"一方

［联系拓展］理由见解析

【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题

【分析】本题主要考查了平移的性质.

［探究证明］阴影部分的平行四边形的底是1,高是即可得阴影面积，进而可答案；

［结论应用］可看成两个平行四边形，它们的底都是1,而两个平行四边形高的和为匕，故可得阴影面积，即

得答案；

［联系拓展］考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为宽是人的长方形，进而得到草

地的面积.

【详解】解：［探究证明］•••平行四边形的面积=底乂高，

:.S]=ab—b,S2=ab—b,

故答案为：ab-b,ab-b；

［联系拓展］空白部分表示的草地面积是：ab-b,理由如下:

1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；

2、将左侧的草地向右平移一个单位；

3、得到一个新的长方形.

在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是6.其水平方向的长变成了1,所以草地的面积就是：/。-1）=必-6.

易错题型二利用轴对称的性质求解折叠问题的多解题

例题：（24-25七年级上•江苏扬州•期末）如图，点E是长方形纸片A8CD边上的一点，在边CD上任取

两点F、G,连接所、EG,将NBEG对折，使点8落在直线EG上的点夕处，得折痕EM；将—AEF对

折，点A落在直线所上的点A处，得折痕EN.如果NFEG=50。，则NMEN=°.

D_________________C

----------------j

【答案】65。或115。

【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题

【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

问题.分两种情形：当点G在点厂的右侧；当点G在点尸的左侧，根据^<2的=4£尸+44£0+/回或

ZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG,求出ZAEF+ZMEG即可解决问题.

【详解】解：当点G在点尸的右侧，

AEB

由折叠的性质得，ZNEF=-ZAEF,ZMEG=-ZBEG,

22

ZNEF+ZMEG=1ZAEF+；NBEG=1(ZAEF+NBEG)=；(/AEB一/FEG),

ZAEB=180°,NFEG=50。,

ZNEF+ZMEG=1(180°-50°)=65°,

ZMEN=ZNEF+ZFEG+ZMEG=65°+50°=115°；

当点G在点尸的左侧，

AEB

由折叠的性质得，ZNEF=-ZAEF,ZMEG=-ZBEC

22

ZNEF+ZMEG=-ZAEF+-ZBEG=1(ZAEF+NBEG)=1

22

vZAEB=180°,NFEG=50。,

ZNEF+ZMEG=1（1800+50°）=115°,

ZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG=115°-50°=65°,

综上，/MEN的度数为65。或115。，

故答案为：65。或115。.

巩固训练

1.（24-25七年级上•上海•期末）如图，已知长方形纸片ABCD,AB=10,AD=x,AD<AB.先将长方形纸

片ABCD折叠，使点。落在48边上，记作点折痕为AE,再将沿。E向右翻折，使点A落在

射线。7?上，记作点A.若翻折后的图形中，线段瓦>=3区4',则尤的值为.

【答案】4或半

【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、折叠问题

【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点H在A3延长线上时，当点H在A3上时，两种情况用含x的

代数式表示出8。的长，再根据AD'+BD'=AB=10建立方程求解即可.

【详解】解：当点A在延长线上时，由折叠的性质可得AD=AD=x,AD=AD=x,

33

BD'=-AD'=-x,

44

'：AD'+BD'=AB=1O,

3

x+—x=10,

4

._40

••x——：

7

当点A在A3上时，由折叠的性质可得=MAD=W%,

•：BD=3BA',

33

・・.3O'=—AO'=—x,

22

•/ADf+BDf=AB=10.

3

・・XH---X=10,

2

x=4；

综上所述，X的值为4或半40

故答案为：4或半.

2.（24-25八年级上•全国・期末）已知RSABC,ZC=90°,AC=3,BC=4,将它的一个锐角翻折，使该锐

角顶点落在其对边的中点。处，折痕交另一直角边于点E,交斜边于点R贝IUCDE的周长为.

【答案】5或?

【知识点】折叠问题

【分析】本题考查图形的翻折变换，掌握相关知识是解题关键.折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性

质、折叠前后图形的形状和大小不变.分两种情况讨论：当锐角ZB翻折时，点8与点。重合，当锐角NA

A翻折时，点A与点。重合，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：如图，当锐角NB翻折时，点8与点。重合，

根据折叠可知：DE=BE,

:。为AC的中点

113

:.CD=-AC=-X3=-

2229

311

CveF=CD+CE+DE=CD+CE+BE=CD+BC=—+4=—；

'DE22

如图，当锐角NA翻折时，点4与点。重合,

根据折叠可知：DE=AE,

•。为的中点

:.CD=-BC=-x4=2,

22

GCDE=CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=2+3=5；

故答案为：万或5.

3.（24-25八年级上•安徽合肥・期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,Z5=60°,M,N分别是边AC,AB

上的动点，沿着直线MN将AAAN对折，点A、的对称点是点4.若#N〃BC,则NCMN的度数为

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义

及性质

【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题

的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论.分两种情况：当A，在A3下方时，当H在A3下方时，分别

画出图形，求出结果即可.

【详解】解：当H在A3下方时，如图所示:

:.ZA'NB=ZB=60°,

根据折叠可知，3G=ZANG=|x(180°-60°)=60°,

ZANM=180°-60°=120°,

ZCMN=ZANM+ZA=120°+3CP=150°；

当A在AB下方时，如图所示：

:.ZANA=ZB=60°,

根据折叠可知，ZANM=NANM=；x60。=30°,

:.ZCMN=ZANM+ZA=300+30°=60°；

综上分析可知，此时NOW=150。或60。；

故答案为：150或60.

易错题型三利用旋转的性质求解

例题：（24-25九年级上•湖北武汉•期中）如图，将将VA5c绕点A顺时针旋转一定角度得到VADE,且点E

落在线段上

⑴旋转中心是点，旋转角是和:

(2)当旋转角为26。时，求NAED的度数.

【答案】(1)A,/DAB,/CAE

(2)77°

【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、等边对等角

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，

(1)根据旋转的性质即可得到结论；

(2)根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)解：,•・将VABC绕点A顺时针旋转一定角度得到VADE,

二旋转中心是点A,旋转角是和—C4E,

故答案为：A,/DAB,/CAE；

(2)将VABC绕点A顺时针旋转一定角度得到VADE,

:.ZCAE=26°,AE=AC,ZAED=ZC,

ZAEC=ZC=1x(180°-26°)=77°,

:.ZAED=ZC=7T.

巩固训练

1.(24-25九年级上•全国•阶段练习)如图，三角形A3C逆时针旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C

在4D上.

⑴指出旋转中心；

⑵若NB=21。，ZE=26°,求出旋转的度数；

⑶若AB=5,CD=3,则AE的长是多少？为什么？

【答案】⑴旋转中心为点A

(2)133°

(3)2,理由见解析

【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用

【分析】(1)结合图形找到旋转中心即可；

(2)根据题意求得一瓦1C的度数即可求得旋转角；

(3)禾佣旋转的性质得到AE=AC,AD=AB即可求得答案；

本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：由图可得，旋转中心为点A；

(2)解：VZB=21°,ZACB=ZE=26°,

：.ZBAC=180°-21°-26°=133°,

二旋转的度数为133。；

(3)解：由旋转性质知：AE=AC,AD^AB,

AE=AC=AD-CD^AB-CD^5-3=2.

2.(23-24七年级下•湖南衡阳•期末)如图，已知四边形ABC。是正方形，点E在OC上，将VADE经顺时

针旋转后与AABF完全重合，再将线段AF向右平移后与DH完全重合.

(D旋转的中心是」旋转角度是」

(2)试猜想线段AE和DH的数量关系和位置关系,并说明理由.

【答案】(1)点A;90°

⑵AE=DH；AE1.DH

【知识点】利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解、两直线平行同位角相等、找旋转中心、旋转角、

对应点

【分析】本题考查了旋转和平移这两种图形变换，掌握相关性质是解题关键.

(1)根据旋转的定义即可求解；

(2)由旋转的性质可得：AE=AF,ZEAF=ZDAB=90°；由平移的性质可得：AF=DH,AF//DH,

据此即可求解.

【详解】(1)解：；将VADE经顺时针旋转后与NIB尸重合，

二旋转的中心为点A,NBAD为旋转角,

•••四边形ABCD是正方形，

ZBAD=90°；

(2)解：AE=D7/且理由如下：

由旋转的性质可得：AE=AF,ZEAF=ZDAB=90°,

由平移的性质可得：AF=DH,AF//DH,

:.AE=DH,

":AF〃DH,

：.ZEGH=ZEAF=90°,

，AE±DH.

03压轴题型

压轴题型一平移与平行线综合问题

例题：(24-25八年级上•湖南长沙•阶段练习)如图，VA5C沿2C方向平移到ADEF的位置.

(1)若N3=40。,/尸=50。，求NA的度数；

(2)若8F=12,EC=6,求平移的距离.

【答案】(l)ZA=90。

⑵3

【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解

【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.

(1)根据平移的性质，得到NACB=/尸=50。，再根据三角形内角和定理即可求解；

(2)由平移的性质得出3c=。，进而可证3E=CF,即可求解.

【详解】(1)解:由平移可知△ABC经△DEF,

ZACB=ZF=50°,

ZA=180°-ZB-ZACB=90°.

(2)由平移可知△ABC且△£>EF,

BC=EF,

，BC-EC=EF-EC,

：.BE=CF={BF-EC）：2=3,

平移的距离BE为3.

巩固训练

1.（23-24七年级下•云南曲靖•阶段练习）如图，已知点E在直线钻、CD之间，连接隹、CE.

图1图2图3

【感知】如图1,若44£=40。，NECD=5。。,则NAEC=_；

【探究】如图2,猜想MLE,々CD和之间的数量关系，并说明理由：

【应用】如图3,若平分/54E,将线段CE沿CD方向平移至PG,若/4£。=80。，FH平分NDFG,

求ZAHF的度数.

【答案】感知：90°；探究：ZBAE+ZECD=ZAEC,理由见解析；应用：40°

【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解

【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：

感知:过点E作EFZMB,由平行线的性质得出NBAE=N1,证出CD//EF,由平行线的性质得出N2=N£>CE,

据此可得ZAEC=ZS4E+ZDCE,再代值计算即可；

探究：仿照感知方法求解即可；

应用：由平移的性质得到/ECD=NGED,再由角平分线的定义得到

NDFH=g/DFG=g/DCE，根据探究的结论证明

证明ZA5=N2A?/+NDFH=g（NBAE+NDC£T）,再木艮据ZA£C=Za4E+ZDCE,可得结论.

【详解】解：感知：如图所示，过点E作防〃

•••ZBAE=Z1,

VAB//CD,EF//AB,

：.CD//EF,

:.N2=NDCE,

•・•ZAEC=Z1+Z2,

ZAEC=ZBAE+ZDCEf

•••NBA石=40。，48=50。,

・•・ZAEC=90°,

故答案为：90°；

探究：ZBAE+ZECD=ZAEC,理由如下:

如图所示，过点E作防〃45,

，Zfi4E=/l,

VAB//CD,EF//AB,

：.CD//EF,

:.N2=ZDCE,

NAEC=N1+N2,

:./BAE+/ECD=ZAEC；

应用：由平移的性质可得CE〃/G,

:.ZECD=ZGFD,

••・AH平分/84£,FH平分NDFG,

ZBAH=-ZBAE,ZDFH=-ZDFG=-ZDCE,

222

ZAHF=/BAH+ZDFH=+ZDCE),

,?ZBAE^-ZDCE=ZAEC=80°,

：.ZAHF=-x80°=40°.

2

2.（23-24七年级下•河南信阳•期末）已知点。在射线。4上.

AAAD

⑴如图①，CD//OE,若NAQB=90。，NOCD=120。，求N3QE的度数;

（2）在①中，将射线OE沿射线03平移得o'*（如图②）若=探究NOC。与40%的关系（用

含a的代数式表示）；

（3）在②中，过点。'作03的垂线，与NOCD的平分线交于点P,（如图③）若NCPO'=90。，探究—AO3与

NBOE的关系.

【答案】（1）150。

⑵ZOCD+4OE'=360。—a

⑶ZAOBn/BOE'

【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解

【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线

是解决问题的关键.

（1）先根据平行线的性质得到一AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得/BQE的度数；

（2）如图②，过。点作。尸〃8,根据平行线的判定和性质可得NOCD、/BO'E'的数量关系；

（3）由已知推出C尸〃03,得到NAO3+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,根据（2）ZOCD+ZBO'E'=360°-ZAOB,进而推出=.

【详解】（1）解：；CD〃OE,

ZAOE=ZOCD=120°,

ZBOE=360°-ZAOE-ZAOB=360°-90°-120°=150°；

（2）解：ZOCD+Z,B（JE=360°-a；理由如下:

证明：如图②，过。点作。产〃8,

图②

*.•CD//O'E',

OF//<7E',

：.ZAOF=180°-Z.OCD,ZBOF=ZE'O'O=180°-ABO'E',

/.ZAOB=ZAOF+NBOF=180。-NOCD+180°-ABO'E'=360°-(ZOCD+ZBO'E')=a,

：.NOCD+NBOE=360°-6z；

(3)解：ZAOB=ZB(yE'.理由如下：

"?NCPO'=90。，

PO'±CP,

PO'LOB,

：.CP//OB,

：.?PCO?AOB180?,

2ZPCO=360°-2ZAOB,

：CP是NOC£>的平分线，

二ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,

：由(2)知，ZOCD+ABO=360°-cr=360°-ZAOB,

：.360°-2ZAOB+NBOE=360°-ZAOB,

ZAOB=NBOE'.

压轴题型二根据成轴对称图形的特征进行求解

例题：如图，VABC和VADE关于直线对称，2c与DE的交点厂在直线上.

(1)图中点C的对应点是点的对应角是」

(2)若OE=5,BF=2,则b的长为」

⑶若NBAC=108。，ZBAE=30°,求的度数.

【答案】(1)区/D

(3)39°

【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：

(1)观察图形可直接得出答案；

(2)根据成轴对称的两个图形的全等性可得△ABC二ZVIDE,根据全等三角形对应边相等即可求解；

(3)根据/BAC=108。，ZBAE=30°,推出NC4E=108。-30。=78。，根据对称性得到=,推

出NE4F=』/C4E=39°.

2

【详解】(1)解：：VABC和VADE关于直线对称，

图中点C的对应点是点E,—3的对应角是,D；

故答案为：E,ZD.

(2)解：；VABC和VADE关于直线肱V对称，

△ABC=△ADE,

BC=DE=5,

•/BF=2,

：.CF=BC-BF=3.

故答案为：3.

(3)解：VABAC=108°,ZBAE=30°,

：.ZC4E=108o-30°=78°,

根据对称性知，ZEAF=ZCAF,

：.ZEAF^-ZCAE^39°.

2

巩固训练

1.(23-24七年级上・山东东营・期末)如图，VABC与山印关于直线ACV对称，其中NC=90。，AC=8cm,

DE=10cm,BC=6cm.

(1)线段AD与MN的关系是什么?

(2)求/尸的度数；

(3)求VABC的周长

【答案】(1)MV垂直平分AD

(2)90°

(3)24^

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键.

(1)利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可；

(2)利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可；

(3)利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算VA5C的周长即可.

【详解】(1)解：与ADEF关于直线对称，

•*.MTV垂直平分AD；

(2)解：与ADEF关于直线对称，

/.△ABC=ADEF,

：.ZF=ZC=90°；

(3)解：；VABC与ADEF关于直线跖V对称，

AABC=ADEF,

AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm,

DE=AB=10cm,

VABC的周长=BC+AC+AB=6+8+10=24cm.

2.(23-24八年级上•新疆昌吉•期末)已知点P在/MON内.如图1,点尸关于射线的对称点是G,点P

关于射线QV的对称点是连接。G、OH,OP.

图1图2

⑴若NMON=50。，求/GOH的度数

(2汝口图2,若。尸=6,当APAB的周长最小值为6时，求/MON的度数.

【答案】(1)100°

(2)30°

【分析】本题考查了轴对称的性质：

(1)利用轴对称的性质得NGOM=NMOP,ZNOP=ZNOH,进而可求解；

(2)作点P关于对称点E,作点P关于ON对称点/，连接AE,OE,BF,OF,根据轴对称的性质

得R4=E4,PB=FB,EO=PO,FO=PO,ZEOM=ZPOM,ZFON=ZPON,则APAB的周长为

PA+PB+AB=EA+FB+AB,当瓦4民尸共线时，APAB的周长有最小值，进而可得

OE=OF=EF=OP=6,进而可得NEC不=60。，进而可求解；

熟练掌握轴对称的性质及准确找到APAB的周长的最小值时的位置是解题的关键.

【详解】(1)解：・.・点P关于射线的对称点是G,

NGOM=NMOP,

・・•点P关于射线ON的对称点是H,

:.ZNOP=ZNOH,

-,-ZMON=50°,

Z.GOH=2ZMON=100°.

(2)作点尸关于QW对称点E,作点P关于。N对称点尸，连接AE,OE,BF,OF,如图：

F

根据轴对称的性质得：PA=EA,PB=FB,EO=PO,FO=PO,NEOM=NPOM,ZFON=ZPON,

，△PAB的周长为R4+PB+AB=E4+跳+AB,

当及4民厂共线时，AP4B的周长有最小值，

1."OP=6,APAB的周长最小值为6,

:.OE=OF=EF=OP=6,

；.VEOb为等边三角形，

/.ZEOF=60°,

AMON=-NEOF=30°.

2

压轴题型三利用轴对称的性质求解折叠问题的综合题

例题：(24-25七年级上•上海长宁・期末)已知：如图①长方形纸片ABCD中，AB<AD.将长方形纸片ABCD

沿直线AE翻折，使点8落在AD边上，记作点F,如图②.

(1)当AD=10,AB=6时，求线段ED的长度;

(2)设仞=10、AB=x,如果再将尸沿直线EP向右起折，使点A落在射线ED上，记作点G,若设线

4

段ED=§OG,请根据题意画出图形，并求出工的值；

(3)设=AB=b,AAEF沿直线砂向右翻折后交CD边于点H,连接FH,当以飞/时,求f的

值.

【答案】(1)4

(2)2或7子0，图见解析

(3』

3

【知识点】折叠问题

【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

(1)根据折叠的性质可得AF=AB=6,从而求出结论；

(2)根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和。G,根据

题意列出方程即可求出结论；

(3)过点"作于用。和6表示出“的和S四边形ABCD，结合已知等式即可求解;

【详解】(1)解：由折叠的性质可得AF=A5=6,

VAT>=10,

FD=AD-AF=10-6=4-,

(2)解：若点G落在线段ED上时，如图1所示,

图1

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

：.FD=AD-AF=W-xf

：.DG=FD-FG=10-2xf

4

・.・FD=-DG,

3

4

A10-x=-(10-2x),

解得％=2；

若点G落在线段田的延长线上时，如图2所示,

由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x,

：.FD=AD-AF=10-xf

：.DG=FG-FD=2x-10,

4

FD=-DG,

3

4

/.10-x=j(2x-10),

70

解得尤=五；

综上，x的值2或7三0；

(3)解:如图3所示，过点反作于

:,HM=FD,

由题意可知：AF=AB=b,EF=AB=b,

：.FD=AD-AF=a-b,

：.HM=a-b,

...S/FE=；EF-HM=；b(a_b),S四边形=ADAB=血

••^^HFE_1

S四边形ABCD5

•.•_z______i，

ab5

整理得，3a=5b9

,a_5

••——.

b3

巩固训练

1.(23-24七年级上•福建漳州•期末)点O,E分别是长方形纸片ABCD边AB,AD上的点，沿OE,0c翻

(2：)如图2,当点夕落在/EOA'的内部时，若NAOE=36。，ZBOC=64°,求NA'OB'的度数；

(3)当点A,笈落在NCOE的内部时，若NCOE=a,求NAO?的度数(用含1的代数式表示).

【答案】(1)90°

(2)20°

(3)180°-20或20-180°

【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题

【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键.

(1)由折叠的性质，得至UZAOE=ZArOE,ZBOC=ZB'OC,根据ZAOE+ZA'OE+ZBOC+ZB'OC=180°,

NCOE=ZAOE+ZB'OC即可求解；

(2)由折叠的性质，得到ZAOE=ZA'OE,ZBOC=ZB'OC,根据ZAOE+ZB'OC=ZAOE+NBOC=100°,

ZCO£=180°-(ZAC>E+ZBOC)=80o,根据ZA'O3'=ZA'OE+N?OC-NCOE即可求解；

(3)由折叠的性质，得到NAOE=NA'OE,ZBOC^ZB,OC,分当点?在NA'OE内部时，当点？在NA'OE

外部时，两种情况得出结论.

【详解】(1)解：由折叠的性质，得到NAOE=NA，OE,ZBOC=ZB'OC,

：.ZAOE+ZAOE+Z.BOC+ZB'OC=180°,

ZA,OE+ZB,OC=90°,

Z.COE=NA'OE+ZB'OC=90°；

(2)解：由折叠的性质，得到NAOE=NA'OE,ZBOC=ZB'OC,

VZAOE=36°,ZBOC=64°,

：.ZAOE+ZB'OC=ZAOE+ZBOC=100°,ZCO£=180°-(ZAO£+ZBOC)=80°,

ZAOB'=ZAOE+ZB'OC-ZCOE=20°；

(3)解：；COE=a,

AZAOE+ZBOC=180°-ZCOE=180。一a,

由折叠的性质，得到NAOE=NAOE,NBOC=NB'OC.

①如图2,当点3'在NA'OE内部时，

ZA'OB'=ZAOE+ZB'OC-ZCOE,

ZA'OB'=(180°-cr)-a=180。-2a；

②如图3,当点？在NA，OE外部时,

DC

A'

E

Ao

图3

,/ZAOB'=ZCOE-(ZA'OE+AB'OC),

ZA,OB,=a-(180°-6Z)=2a-180°.

综上，NA'O?的度数为180。—2a或2a-180。.

2.(23-24七年级上•河北石家庄•期中)(学习情境•动手操作)综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形

纸片ABC。，如图1,其中E点在边4。上，F、G分别在边AB、CD上，分别以政、EG为折痕进行折叠并

压平，点A、。的对应点分别是点A和点。

甲同学的操作如图2,其中NFEG=120。；

乙同学的操作如图3,A落在即'所在直线上；

丙同学的操作如图4,A落在EG上，次落在所上.

图1

【阅读理解】

⑴求出图2中ZAED的度数；

(2)图3中/FEG=；

(3)求出图4中NFEG的度数；

(4)若折叠后NA'ED=〃。，直接写出/FEG的度数(用含"的代数式表示).

【答案】(1)60。

(2)90°

⑶“EG=60。

,,,业心180°+ri°180°—n°

(4)ZFEG的度数为-------或-------

【知识点】利用邻补角互补求角度、折叠问题

【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关

键.

(1)根据折叠的性质可得以即+=+即可求解.

(2)根据折叠的性质得/4EF=/A£F,DEG=ZD'EG,从而可得2(NA'砂+ND'£G)=180。，即可求

解.

(3)根据折叠的性质可得NAEF=NA'ED'="EG,再由NAEF+NA'ED'+/DEG=180。，即可求解.

(4)分两种情况：①当三角形A砂与三角形DEG不重叠时，②当三角形A'EP与三角形DEG重叠时，

先表示出ZAEF+ZDEG的度数，再根据/AEF+"EG+NA'EF+NZy£G+NA'ED'=180。和

NFEG=ZAEF+NDEG+NA'EZX进行求解即可.

【详解】(1)解：因为/FEG=120。，

所以ZAEF+NDEG=180°-NFEG=180°-120°=60°,

由折叠的性质得：ZAEF=ZA'EF,ZDEG=ZD'EG,

所以ZAEF+NDEG=ZAEF+ND'EG=60°,

所以ZAED1=ZFEG-(ZAEF+AD'EG)=120°-60°=60°；

(2)解:90。由折叠的性质得：ZAEF=ZA'EF,ZDEG=ZD'EG,

所以ZAEF+ZDEG=ZA'EF+ND'EG,

因为ZAEF+/DEG+ZA'EF+ZD'EG=180°,

所以2("EF+ZD'EG)=180°,即ZA'EF+ZD'EG=90°,

所以NFEG=ZAEF+ZD'EG=90°；

(3)解：由折叠的性质得：ZAEF=ZAED',ZDEG=ZAED',

所以ZAEF=ZAED'=NDEG,

因为ZAEF+ZAED'+ZDEG=180°,

所以60。，即NFEG=60。；

(4)解：/FEG的度数为2或\.分两种情况进行讨论：

①当三角形AEF与三角形DEG不重叠时，如图1所示:

图1

由折叠的性质得：ZAEF=ZA'EF,NDEG=ND'EG,

所以ZAEF+ZDEG=ZA'EF+ND'EG,

因为NA£/+NDEG+NA'跖+ZD'EG+NA'ED'=180。,即2(ZA'EF+ZD'EG)+n°=l80°,

ZA'EF+ZD'EG=180°~"°,

2

1QAO_„oiono,力。

所以ZFEG=ZAEF+ZD'EG+ZA'ED'=-----------+n°=------------；

22

②当三角形A'砂与三角形D'£G重叠时，如图2所示：

由折叠的性质得：ZAEF=ZAEF,/DEG=/DEG,

所以ZAEF+ADEG=ZAEF+ZD'EG=ZFEG+ZA'ED',

又因为ZAEF+ZDEG+ZFEG=180°,

所以NFEG+ZAED'+ZFEG=180°,即2NFEG=180°-ZA,£D,=l80°-if,

所以/FEG=18°；一废.

综上所述：NFEG的度数为I'。；相或180；相.

3.(24-25七年级上•广东江门•阶段练习)实践与探究：

图1

图2图3图4

⑴如图1,将彩带沿MC翻折，点A落在A处，若NA'CB=120。，则ZA'CM=°；

(2)若将彩带沿MC,NC同时向中间翻折，点A落在A处，点8落在？处：

①当点A,B',C共线时，如图2,求NNCN的度数；

②当点A,B',C不共线时：

(i)如图3,若401=110。，求NA'CB'的度数；

(ii)如图4,设ZNCM=a,^CB'=/3,直接写出a,6满足的关系式.

【答案］⑴30

⑵①ZAO/=90°；②(i)ZA'CB'=40°,(ii)2a+£=180。

【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题

【分析】本题考查折叠的性质，几何图形中角度计算，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键.

(1)先根据补角的性质求出NWC4,再根据折叠前后对应角相等得出NA'CW=NACW,即可得出

ZA'CM^-ZA'CA-,

2

(2)①根据折叠前后对应角相等可得NACM=ZAC",ZB'CN=NBCN,即可求解；

②(i)先计算出NACM+/BCV,进而得出NA'C4+/EC3=2(ZACM+N3CN),则NA，。'

=180°-(Z4,C4+ZB,CB)；(ii)参照(i)中作法，根据ZA，C4+180。=ZA'CB'求解.

【详解】(1)解：•••NA'CB=120。,

ZACA=180°-ZACB=180°-120°=60°,

由折叠知，ZA'CM=ZACM,

：.ZA'CM」=L60。=30°,

22

故答案为：30；

(2)解：①由折叠知，ZACM=ZACM,ZB'CN=ABCN,

：.ZA'CM=-ZA'CA,NB'CN=-NB'CB,

22

ZArCA+ZB'CB=180°,

ZNCM=ZA'CM+NB'CN=g(NAC4+ZB(CB)=1x180°=90°；

②(i)•••ZNCM=110°,

ZACM+ZBOV=180°-Z?/CM=180°-110°=70°,

由折叠知NA，CM=NACM,ZB'CN=ZBCN,

ZACA=2ZACM,ZB'CB=2ZBCN,

ZACA+ZB'CB=2(ZACM+NBCN)=2x70。=140°

ZAf=180°-(ZArC4+ZB'CB)=180°-140°=40°；

(ii),:NNCM=a,

ZACM+ZBCN=1800-ZNCM^180°-a,

由折叠知NA，CM=NACM,ZB'CN=ZBCN,

■.ZACA=2ZACM,NB'CB=2ZBCN,

ZA;CA+NB'CB=2(ZACM+ZBC7V)=2(180°-a)=360°-2a

■：ZA'CA+ZB'CB-1800=ZA'CB',

360°-2a-180°=^,

2tz+/?=180°.

压轴题型四线段垂直平分线的性质和判定

例题：(24-25八年级上•江苏扬州・期中)如图，在VABC中，AB的垂直平分线4交AB于点Af,交BC于点、

D,AC的垂直平分线4交AC于点N,交BC于点E,4与相交于点。，VADE的周长为12,请你解答

下列问题：

(1)求BC的长；

(2)试判断点。是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由.

【答案】⑴BC=12；

(2)点。在边BC的垂直平分线上，理由见解析

【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到他=9，AE=CE,再根据VADE的周长为12即可得到结

论；

(2)连接。4、OB、OC,根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论；

本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键.

【详解】(D解：•••《垂直平分AB，4垂直平分AC,

/.AD=BD,AE=CE,

：VADE的周长为12,

AD+DE+AE=12,

：.BD+DE+CE=n,

BC=12：

(2)解：点。在边3c的垂直平分线上，理由,

连接。4、OB、OC

A

；《垂直平分AB,4垂直平分AC,

/.OB=OA,OA=OC,

：.OB=OC,

点。在边BC的垂直平分线上.

巩固训练

1.(24-25八年级上