2025届苏科版中考数学第三轮冲刺专项练习：函数综合问题（附答案）

【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习

（函数综合问题）

一、单选题

1.如图1,已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P,Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC

运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是lcm/s.设P,Q同时出发，

t（s）时，△BPQ的面积为y（cm?）.已知y与t的函数关系图象如图2（曲线0M为抛物线的一部分），

有下列结论：①AD=BE=5cm；②cos/4BE=（；③当0<t<5时，y=^t2；④当t=胃时，

△ABES^QBP其中正确的结论是（）

A.①②B.③④C.①③④D.①②③④

2.二次函数y=ax2+bx+c(awO)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0；②3b+2c<0；

③m（am+b）+b<a；④（a+c）2<b2；其中正确结论的个数有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4

3.如图，反比例函数y仅>。）的图象经过口。ABC的顶点C和对角线的交点E,顶点A在x轴上,

若口OABC的面积为18,则k的值为（）

A.8B.6C.4D.2

4.成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车

游玩，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（bVa）,再前进c千米，则他离起

点的距离s与时间t的关系的示意图是（）

5.如图，正比例函数yl=mx,一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=，的图象在同一直角坐标

系中，若y3>y2>yl,则自变量x的取值范围是（

A.x<-1B.-IVXVO或x>1.6

C.-l<x<0D.xV-1或0<x<l

6.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=2t2+mt+=,

8

若小球经过:秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.

4

7.一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC

组成。为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间

为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大

致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：(

A.A30>BB.BfAfCC.B30->CD.C3B>0

8.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后

把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为X,两个三角形重

叠面积为y,则y关于x的函数图象是()

9.已知二次函数y=x2-2x+c的图象沿x轴平移后经过(-1,yl),(5,y2)两点若yl>y2,则

图象可能的平移方式是()

A.向左平移5单位B.向左平移3单位

C.向右平移1单位D.向右平移2单位

10.在平面直角坐标系xOy中，过点A(-5,0)作垂直于x轴的直线AB,直线y=x+b与双曲

线y=-B相交于点P(xl,yl)、Q(x2,y2),与直线AB相交于点R(x3,y3).若yl>y2>y3

时，则b的取值范围是()

A.b>4B.b>4或b<-4

onon

C.--<b<-4或b>4D.4<b<—或b<-4

55

二、填空题

11.如图，一次函数y=2x与反比例函数y(k>0)的图象交于A,B两点，点P在

X

以C(一2,0)为圆心，1为半径的。C上，Q是AP的中点，己知OQ长的最小值为《，则k的

值为

12.如图，平面直角坐标系中，点A(-3,-3)，B(l,-1)，若抛物线y=ax2+2x-l(a0)与

线段AB(包含A、B两点)有两个不同交点，则a的取值范围是

13.抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=l,且经过点(-1,0).若关于x的一元二次方程x2+bx+c

-t=0(t为实数)在-l<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是

14.如图，抛物线y=x2+bx+c(c>0)与y轴交于点C,顶点为A,抛物线的对称轴交x轴于点E,

交BC于点D,tanZAOE=|.直线OA与抛物线的另一个交点为B.当OC=2AD时，c的值

是

15.若关于x的方程x2-2ax+a-2=0的一个实数根为X121,另一个实数根x24-l,则抛物线y

=-x2+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值是.

16.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为C(Lk),与y轴的交点在(0,

2)、(0,3)之间(不包含端点)，则k的取值范围是

17.如图①，四边形ABCD中，AB〃CD,ZADC=90°,P从A点出发，以每秒1个单位长度的速

度，按AfB玲C玲D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，4PAD的面积为S,S关

于t的函数图象如图②所示，当P运动到BC中点时，4PAD的面积为

18.抛物线y=ax2+bx+3(awO)过A(4,4),B(2,m)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为

d,满足0<dU,则实数m的取值范围是

19.如图，一段抛物线y=-x(x-3)(0<x<3),记为Cl,它与x轴交于点0,A1；将C1绕点A1

旋转180。得C2,交X轴于点A2；将C2绕点A2旋转180。得C3,交X轴于点A3；...如此进行下

去，得到一条"波浪线”.若点P(37,m)在此"波浪线”上，则m的值为

20.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=：仅>0)与正比例函数y=kx,y=：x(k>1)的

图像分别交于点A、B,若/AOB=45。，则AAOB的面积是

y

三、综合题

21.已知：关于x的二次函数y=-K+ax(a>0),点A(n,yl)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)

都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.

(1)yl=y2,请说明a必为奇数；

(2)设a=ll,求使yl<y2<y3成立的所有n的值；

(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使AABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，

求n的值(用含a的代数式表示)；如果不存在，请说明理由.

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点，与y

轴交于点C(0,2),对称轴x=l,与x轴交于点H.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)直线y=kx+l(Q0)与y轴交于点E,与抛物线交于点P,Q(点P在y轴左侧，点Q在

y轴右侧)，连接CP,CQ,若△CPQ的面积为V5，求点P,Q的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段

GK绕点G顺时针旋转90。，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存

在，请说明理由.

23.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x

轴下方，且使△OCAS^OBC

(1)求线段0C的长度；

(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图，点A是直线y=-2x与反比例函数y=手(m为常数)的图象的交点.过点A作x轴

(2)已知点P(0,n)(0<n<10),过点P作平行于x轴的直线，交直线y=-2x于点C(xl,

yl),交反比例函数y=?(m为常数)的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3),

若x1Vx3Vx2,结合函数的图象，直接写出xl+x2+x3的取值范围.

25.疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑〃手写板〃，其进价、售价和每日销量如

下表所示:

进价(元/个)售价(元/个)销量(个/日)

A型400600200

B型8001200400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型

手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个.销售时保持每天销售总量不

变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元.

(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)要使每天的利润不低于元，求出x的取值范围；

(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元(0<a<100)给受"新冠疫情"影响的

困难学生，若当304x440时，每天的最大利润为元，求a的值.

26.如图，点P(x,yl)与Q(x,y2)分别是两个函数图象Cl与C2上的任一点.当a4x4b时，

有-1<yl-y2<1成立，则称这两个函数在a<x<b上是"相邻函数"，否则称它们在a<x<b上是"非

相邻函数”.

例如，点P(x,yl)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+l与y=2x-l图象上的任一点，当-3Sx

4-1时，yl-y2=(3x+l)-(2x-l)=x+2,通过构造函数y=x+2,并研究它在-3Vx4-1上的性质，

得到该函数值的范围是1,所以T4yl-y241成立，因此这两个函数在-34X4-1上是"相邻

函数

(1)判断函数丫=3*+2与丫=2*+1在-2640上是否为"相邻函数"，并说明理由；

(2)若函数丫=*2<与y=x-a在04x42上是"相邻函数"，求a的取值范围；

27.已知二次函数y=ax2—6ax+5a(a为常数)的图象为抛物线C.

(1)求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点；

(2)设抛物线C交x轴于点A、B,交y轴于点D,若^ABD的面积为20,求a的值；

(3)设点E(2,4)、F(3,4),若抛物线C与线段EF只有一个公共点，结合函数图象，直接

写出a的取值范围.

28.根据完全平方公式可以作如下推导（a、b都为非负数）

Va-2Vob+b=（痴-Vb）2>0/.a-2Vob+b>0

a+b>2y[ab'2y[ab

其实，这个不等关系可以推广，竽>恒正

a2+a2+a3_____

---------------2为吃a2a3

OT+a+a+a,,_______

---------2----3」弋4用2a3a4

党―力1a2…%（以上an都是非负数）

我们把这种关系称为：算术一几何均值不等式

例如：x为非负数时，x+->2[x^=2,则x+三有最小值.

X7XX

再如：X为非负数时，X+X+>3^1X-X-=3.

我们来研究函数：

（1）这个函数的自变量X的取值范围是；

（2）完成表格并在坐标系中画出这个函数的大致图象;

11

X-3-2-1123

42

1112

y8—38—4-59-

31643

（3）根据算术一几何均值不等式，该函数在第一象限有最值，是

(4)某同学在研究这个函数时提出这样一个结论：当x>a时，y随x增大而增大，则a的取值

范围是

29.平面直角坐标系中,抛物线Cl：yl=x2-2mx+2m2-l,抛物线C2：y2=x2-2nx+2n2-l,

(1)若m=2,过点A(0,7)作直线I垂直于y轴交抛物线Cl于点B、C两点.

①求BC的长；

②若抛物线C2与直线I交于点E、F两点，若EF长大于BC的长。求出n的范围；

(2)若m+n=k(k是常数),

①若mxn，试说明抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线上；

②求yl+y2的最小值(用含k的代数式表示).

30.已知，抛物线y=ax2+bx+c(awO)的顶点为A(s,t)(其中sxO).

(1)若抛物线经过(2,7)和(-3,37)两点，且s=l.

①求抛物线的解析式；

②若n>l,设点M(n,yl),N(n+1,y2)在抛物线上，比较yl,y2的大小关系，并说明理

(2)若a=2,c=-2,直线y=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c的交于点P和点Q,点P的横坐标为h,

点Q的横坐标为h+3,求出b和h的函数关系式；

(3)若点A在抛物线丫=x2+3x+c上，且24s<3时，求a的取值范围.

31.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x、y轴交于A、B两点，将直线AB沿着

V轴翻折，交x轴负半轴于点C.

(1)求直线BC的函数关系式；

(2)点P(0,t)在y轴负半轴上，Q为线段BC上一动点(不与B、C重合).连接PA、PQ,

PQ=PA

①若点Q为BC中点，求t的值;

②用t的代数式表示点Q的坐标和直线PQ的函数关系式；

③若M(2m,n-8),N(t3+2t2—2m,n)在直线PQ上，求n的取值范围.

32.如图，二次函数y=-K+bx+8的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点B的坐标

为(2,0)，点D(0,2)在y轴上，连接AD.

(1)b—；

(2)若点P是抛物线在第二象限上的点，过点P作PFLx轴，垂足为F,PF与AD交于点

E.是否存在这样的点P,使得PE=7EF?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P在抛物线上，且点P的横坐标大于4过点P作PH/AD,垂足为H,直线PH

与x轴交于点K,且SAHKA=；SAPHA，求点p的坐标.

33.已知，抛物线y=axJ2amx+am2+2m-5与x轴交于A(xl,0),B(x2,0)(xl<x2)两点，顶

点为Po

(1)当a=l,m=2时，求线段AB的长度；

(2)当a=2,若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；

(3)若a=-1当2m-54XW2m-2时，y的最大值为2,求m的值。

34.黄冈市某高新企业制定工龄工资标准时充分考虑员工对企业发展的贡献，同时提高员工的积

极性、控制员工的流动率，对具有中职以上学历员工制定如下的工龄工资方案.

I.工龄工资分为社会工龄工资和企业工龄工资；

II.社会工龄=参加本企业工作时年龄一18,

企业工龄=现年年龄一参加本企业工作时年龄.

III.当年工作时间计入当年工龄

IV.社会工龄工资yl(元/月)与社会工龄x(年)之间的函数关系式如①图所示，企业工龄工

资y2(元/月)与企业工龄x(年)之间的函数关系如图②所示.

请解决以下问题

(1)求出yl、y2与工龄x之间的函数关系式；

(2)现年28岁的高级技工小张从18岁起一直在深圳实行同样工龄工资制度的外地某企业工

作，为了方便照顾老人与小孩，今年小张回乡应聘到该企业，试计算第一年工龄工资每月下降多

少元？

(3)已经在该企业工作超过3年的李工程师今年48岁，试求出他的工资最高每月多少元？

35.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A

在点B的左侧)，与y轴交于C点；一次函数y2=mx+n(m<0)的图像为直线/.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)当l<x<2时，-m4月4-“，试说明：抛物线G的顶点不在直线/上；

(3)设a=-3，直线/与线段AC交于D点，与y轴交于E点，与抛物线G的对称轴交于F点，

当A、C两点到直线/距离相等时，是否存在整数n,使F点在直线BE的上方?若存在，求n的值;

若不存在，请说明理由.

36.如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C,顶点是D.

(1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标；

(2)在X轴上取点F,在抛物线上取点E,使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,

求点E的坐标；

(3)将此抛物线沿着过点(0,2)且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动

点，过E作x轴的垂线，交x轴于G,交直线I：y=-qx-：L于点F,以EF为直径作圆在直线I上截

得弦MN,求弦MN长度的最大值.

37.在平面直角坐标系xOy中，点A、8的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=-x2+(m-

2)x+2m的图像经过点A、B,且m满足2a-m=d(d为常数).

(1)若一次函数yi=kx+b的图像经过A、B两点.

①当a=1、d=-1时，求k的值；

②若力随x的增大而减小，求d的取值范围.

(2)当d=-4且aH-2、a”4时，判断直线与x轴的位置关系，并说明理由；

(3)点4、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于

点C、D,线段CO的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由.

38.已知抛物线yl=a(x-xl)(x-x2)(axO,xlxx2)与x轴分别交于A(xl,0)、

B(x2,0)两点，直线y2=2x+t经过点A.

(1)已知A、B两点的横坐标分别为3、-1.

①当a=l时，直接写出抛物线yl和直线y2相应的函数表达式；

②如图，已知抛物线yl在3Vx<4这一段位于直线y2的下方，在5Vx<6这一段位于直线

y2的上方，求a的取值范围；

(2)若函数y=yl+y2的图象与x轴仅有一个公共点，探求x2-xl与a之间的数量关系.

39.如图，已知关于x的二次函数y=x2+mx的图象经过原点O,并且与x轴交于点A,对称轴为

直线x=l.

(2)若关于x的一元二次方程x2+mx=n(n为常数)有两个不相等的实数根，求n的取值范围；

(3)若关于x的一元二次方程x2+mx-k=0(k为常数)在-2Vx<3的范围内有解，求k的取

值范围.

40.已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3(a*0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C,

且对称轴为直线x=-2.

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1,设4PAD的面积为S,令W=t・S,当0<t<4时，W是否有最大值？如果有，

求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

图1

探究二：如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtZiAOC相似？如果存在，求点P的

坐标；如果不存在，请说明理由.(参考资料：抛物线y=ax2+bx+c(arO)对称轴是直线)

2a

一

7W

图2

答案解析部分

1.【正确答案】C

2.【正确答案】D

3.【正确答案】B

4.【正确答案】D

5.【正确答案】B

6.【正确答案】A

7.【正确答案】C

8.【正确答案】B

9.【正确答案】D

10.【正确答案】D

1L【正确答案】8

12.【正确答案】a<或a<-2

9o

13.【正确答案】-4<t<5

14.【正确答案】q或孑

15.【正确答案】y

16.【正确答案］《<k<4

17.【正确答案】5

18.【正确答案】mV3或m“

19.【正确答案】2

20.【正确答案】3

2L【正确答案】(1)解：：点A(n,yl)、B(n+1,y2)都在二次函数y=-x2+ax(a>0)的

图象上，

22

•'■y1--n+an,y2--(n+l)+a(n+1).

Vyl=y2,

n2+an=-(n+1)2+a(n+1),整理得:a=2n+l.

：n为正整数，.二a必为奇数.

(2)解：当a=ll时，Vyl<y2<y3,

22

：.-n+lln<-(n+l)+ll(n+1)<-(n+2产+n(n+2).

化简得：0410-2。W18-4。廨得：n<4.

:n为正整数，,11=：1、2、3、4.

（3）解：存在.

假设存在，则AB=AC,

如图所示，过点B作BN_Lx轴于点N,过点A作ADJ_BN于点D,CE_LBN于点E,

VxA=n,xB=n+l,xC=n+2,AD=CE=1.

在RtAABD与RtACBE中，AB=BC,AD=CE,

ARtAABD^RtACBE（HL）.

，NBAD=/CBE,即BN为顶角的平分线.

由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称.

ABN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，

•n+1=---------=2•n---1

•,2x（-1）2…"2■

存在n,使AABC是以AC为底边的等腰三角形，n=^-l.

22.【正确答案】（1）解：由对称轴x=l得点B坐标为（-2,0）,

4a-2b+c=0

将A、B、C坐标代入，得：\16a+4b+c=0,

c=2

a=--

解得:

c^2

...抛物线的函数表达式为丫=-如+黄+2；

(2)解：如图，当x=0时,y=l,：.E(0,1),则CE=1,

H

图i

设P、Q的横坐标分别为m、n,

VACPQ的面积=jxlx(n-m)=即n-m=2Vs,

联立方程组\y=~4X+2X+2,整理得：-；/+《-幻X+I=O,

(y^kx+142

则：m+n=2-4k,mn=-4,

由(n-m)2=(m+n)2-4mn得：(2V5)2=(2-4k)2-4x(-4),

解得：k=l或k=0(舍去)，

工直线PQ的表达式为y=x+l,

将k=l代入_)2+(,k)x+1=0中，得X2+2X-4=0,

解得：x=-1±Vs，

P(-1-Vs，~Vs),Q(T+Vs，Vs);

(3)解：存在，理由：

VA(4,0),C(0,2),

二・直线AC的表达式为y=-1+2,

联立方程组卜=一涉2,解得：r,

Vy=x+1V=-

V3

AG(||),

33

设K(1,t)在抛物线上的对应点为R,过G作x轴的平行线交对称轴于M,交过R与y轴平行线

于N,如图，

\K

由/RGK=90°,GR=GK得△KMG^^GNR,

则GM=NR=1-1,MK=GN=|j-t|,

...点R的纵坐标为|,则R(t-1,1),

将R坐标代入抛物线的表达式中，得：

^=-^(t-l)2+^(t-l)+2即3干-12t+1=0,

解得：f=空运，

3

...点K坐标为(1,竺堂)或(1,匕堂).

33

23.【正确答案】(1)解：由题可知当y=0时，a(x-1)(x-3)=0,

解得：xl=l,x2=3,即A(1,0),B(3,0),

OA=1,OB=3

VAOCA^AOBC,

AOC：OB=OA：OC,

.•.OC2=OA»OB=3,

则oc=V3；

(2)解：：C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线,

；.OC=BC,

...点C的横坐标为|,

又oc=仃，点C在X轴下方，

.,.C(-,-3)，

22

设直线BM的解析式为y=kx+b,

r（3k+b=0

把点B（3,0）,C（-,-史）代入得：］3..V3,

22l-k+b=

<22

解得：b=-0,k=F,

.1.y=?x-0,

又♦.•点c（:,-3）在抛物线上，代入抛物线解析式，

22

解得：a=也,

3

.••抛物线解析式为y=竽X2-竽x+2g；

（3）解：点P存在，

设点P坐标为（X,竽X2-竽x+20）,过点P作PQ±x轴交直线BM于点Q,

...PQ=渔X-V3-(—x2-—x+2V3)=--x2+30x-30，

3333

当4BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，

SABCP=-PQ(3-x)+-PQ(x--)=-PQ=-3x2+些x-些，

2224244

当X=-时，S4BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为("-也

2a448

24.【正确答案】（1）解：由题意得，可知点A的横坐标是-2,

由点A在正比例函数y=-2x的图象上，

...点A的坐标为（-2,4）,

又•••点在反比例函数的图象上，

Ay=-X

，4=，

即m=-4.

(2)解：•.•过点P(0,n)作平行于x轴的直线，交直线y=-2x于点C(xl,yl),交反比例函数

y=(m为常数)的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3),如图，

.•.4<n<10,

由(1)知，反比例函数解析式为：y=-勺

X

・••当"4时，把n=4代入y=-2x,得，X1=-2fx2=-2

xl+x2+x3=-2-2-2=-6；

同理，当n=10时，x1=-5,x2=-1

439

Axl+x2+x3=-5——2=-一，

55

39

<xl+x2+x3<-6.

5

25.【正确答案】(1)解：由题意得，y=(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)

=-10x2+800x+,(0«x“0且x为整数)

(写0Vx“0且x为整数，不扣分)

(2)x的取值范围为20<x<40.

理由如下：y=-10x2+800x+=-10(x-40)2+,

当丫=时，-10(x-40)2+=212000,

(x-40)2=4000,x-40=+20,

解得：x=20或x=60.

要使yz,

得20<x<60；

V0<x<40,

.,.20<x<40；

(3)解:设捐款后每天的利润为w元，则

w=-10x2+800x+-(400-x)a=-10x2+(800+a)x4--400a,

对称轴为乂=誓=40+1，

V0<a<100,

：,45>40+—>40,

20

:抛物线开口向下，当30Vx“0时，w随x的增大而增大，

当x=40时，w最大，

.,.-16000+40(800+a)+-400a=,

解得a=35.

26.【正确答案】(1)解：是"相邻函数

理由如下：y「y2=(3x+2)-(2x+1)=x+l,构造函数y=x+2.

Vy^x+l在-24x40上随着x的增大而增大，

当x=0时，函数有最大值1,当x=-2时，函数有最小值-1,即-1<y<l.

•1Vy】-力4】•

即函数y=3x+2与y=2x+l在-2<x<0上是“相邻函数〃.

(2)角军：Y1-Y2=(x2-x)-(x-a)=x2-2x+a,构造函数y=x2-2x+a.

y=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1),顶点坐标为(1,a-1)

又丁抛物线y=x2-2x+a的开口向上，

・：当x=1时，函数有最小值a-1,

当x=0或x=2时，函数有最大值a,EPa-1<y<a,

丁函数y=x2-x与y=x-a在0«x«2上是〃相邻函数〃，

1Y1-Y21,即L7,

.：0<a<1.

27.【正确答案】(1)证明：•.•二次函数y=ax2—6ax+5a,

；.△=(-6a)2-4ax5a=15a2>0,

不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点；

(2)解:当x=0时，y=5a.

D(0,5a),

当y=0,时x=l或5,

:.A、B的坐标为(1,0),(5,0),

由(1)得，AB=5—1=4.

VAABD的面积为20,

x4x|5a|=20,

解得a=±2.

(3)解：①当a>0时，如图1,EF与抛物线不可能有公共点;

临界点为点E、F,

当抛物线过点E时，即x=2,y=ax2-6ax+5a-3a=-3a=4,解得：a=-|,

当抛物线过点F时，BPx=3,y=ax2-6ax+5a-3a=-4a=4,解得：a=-l,

4

--<a<—1.

3

28.【正确答案】(1)XAO

(2)解：对于函数y=-+x2

X

当x=_1时，y=-+(-l)2=-2+l=-l

—1

当x=-1时，y=-+l2=2+1=3

1

因此，补全表格如下：

11

X-3-2-1123

42

i112

y8—3-18—4-359-

31643

(4)a>l

29.【正确答案】(1)解：①当m=2时，抛物线C1的解析式为：yl=x2-4x+7,

令y=7,即x2-4x+7=7,解得xl=O,x2=4,

；.BC的长为：4-0=4.

故4.

②抛物线C2：y2=x2-2nx+2n2-l中令y2=7,

即：x2-2nx+2n2-l=7,解得：xl=什彳+n，x2=--n

•\EF=2后彳，

VEF大于BC,

>4，

解得：-2<n<2,

故-2<n<2.

(2)解：①联立抛物线Cl和C2

„„(Yi=x2-2mx+2m2-1

22

•Iy2=x-2nx+2n-1'

整理有：2(m-n)x=2(m+n)(m-n),

又mhn,；.m-nh0,等式两边同时除以m-n

.,.x-m+n=k,

故Cl和C2交点的横坐标是常数k,

•••抛物线Cl与抛物线C2的交点始终在定直线x=k上.

②由题意知：

yl+y2=(x2-2mx+2m2-l)+(x2-2nx+2n2-l)

=2x2-2(m+n)x+2(m2+n2)-2

=2x2-2kx+2(m2+n2)-2.

将2x2-2kx+2(m2+n2)-2看成是一个新的函数用y3来表示,

即：y3=2x2-2kx+2(m2+n2)-2,

当其对称轴x二g时，y3有最小值，

将x二g代入，其最小值为：-+2伽2+e-2，

又m+n=k,n=m-k,

m2+n2=m2+(m-k)2=2m2-2mk+k2,

・••当m二g时，止匕时n=1,rr?+M有最小值为：f,

故-++2(m2+n?)-2的最小值为：|/c2-2.

故留一2.

30.【正确答案】(1)解：①:抛物线经过点(2,7)和(-3,37)两点，且顶点为A(s,t),

4a+2b+c=7(a=2

9a-3b+c=37,解得：\b=_4,

--=1Ic=7

{2a

故抛物线的解析式为：y=2x2-4x+7=2(x-1)2+5.

②由①知：抛物线的对称轴为x=1,且a>0开口向上，

...抛物线在x=l的右侧y随着x的增大而增大，

而n>l,点M(n,yl),N(n+1,y2)均在对称轴的右侧，且n+l>n,

•,沙2>力；

(2)解：若a=2,c=-2,则抛物线为：y=2x2+bx-2,点P、Q在抛物线上，

贝U。(〃，2A2+bA-2),Q(力+3,2(A+3)2+b(A+3)-2),

同时点P、Q也在直线y=2x+m上，则P(h,2A+mQ(A+3,2(A+3)+m),

而无论点P、Q在抛物线上还是在直线上，它们纵坐标的差值是相等的，故有：

2(h+3产+b优+3)—2—(2fi+b/i-2)=2(A+3)+m—(2A+m),

整理得：b=-4A-4;

故b和h的函数关系式为b=-4ft-4;

(3)解：设抛物线y=a(x-5尸+t,

•.•抛物线经过点(0,c),

c=as2+t,即c-t=as2,①

又：点A在抛物线y=x2+3x+c,则t=$2+3s+c,即c-t--s2-3s,②

由①②可得：as2--s2-3s,且sxO,

s-------i

a+1

'：2<s<3,即2<--<3,

a+1

解得：-1<a<-2.

故当2Vs<3时，a的取值范围-|<a<-2.

31.【正确答案】(1)解：：直线y=-x+6分别与x、y轴交于A、B两点，

可得A(6,0),B(0,6),

:点C和点A关于x轴对称，

；.C(-6,0),

设BC的解析式为y=kx+b,

将B,C两点代入得A八

解得：k=l,b=6,

・・・BC的解析式为：y=x+6；

(2)解：①：Q为BC中点，

.♦.Q的坐标为(-3,3),

过Q点作QEJ_y轴,

.'.E的坐标为(0,3),

；.QE=3,EP=3-t,OP=|t|,OA=6,

PQ=PA,

：7QE2+EP2=y/OP2+0A2，

即Js2+(3-t)2~J/t」+62,

解得t=-3；

②设Q(a,a+6),

由题意得：62+t2=a2+(a+6-t)2>

解得=t，a2=-6(舍)，

Q.(t,t+6),

设直线PQ函数关系式为y=kx+b,

将Q,p代入得L”八，

解得卜4,

直线PQ函数关系式为y=；x+t；

③：点M(2m,n-8),N(t3+2t2—2m,n)在直线PQ上,

由②可得PQ函数关系式为y=.x+t,

(n-8=^(2m)+t

]n=“t3+2^-2m)+t

消去m得n=3t2+7t+4,

•・・Q为线段BC上一动点(不与B、C重合)，

.\-6<t<0,

Vn=3t2+7t+4,

.，・对称轴为t=--,

6

An的最小值为：n=3x-7x:+4=，

JOb1Z

当t=-6时，n=3x36-7x6+4=70,

当t=0时，n=4,

***n的取值范围是：<n<70.

32.【正确答案】(1)-2

(2)解：由(1)y=-x2-2x+8,.•《点坐标(-4,0),B点坐标(2,0),

・・・D点坐标为(0,2),

...AD解析式为丫=1x+2,

设P(t,-t2-2t+8),

；.EF=1+2,PE=-t2-|t+6,

若PE=7EF,则有干-|t+6=7(1+2),

解得t=-2或t=-4(舍去)，

，P点坐标为(-2,8),

故存在这样的点P,使得PE=7EF,点P的坐标为(-2,8)；

(3)解：如图，延长AD交抛物线于T,过P作PF_Lx轴于F,交AD于E,

①若P在直线AT上方,

.*0A=4,0D=2,ZAOD=90°,

*.AD=y/0A2+OD2=2V5,

・・AH_LPH,

\ZFAD+ZAEF=90o,ZEPH+ZPEH=90°,ZAEF=ZPEH,

\ZFAD=ZEPH,

42V5/l…PH

\cosZFAD=—=—=cosZEPH=——

2V55PE

PH=等PE,

2V5V5

cosZF=—PF,

52

3

=PH,

*,^AHKA'^^APHAHK=-PH,2

・1/5CL3~