2025届河北省某中学高三年级下册一模考试数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2024〜2025学年度高三年级下学期一模综合素质评价

数学学科

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题(每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)

11

1.已知向量则人在。上的投影向量的长度为()

A.^5B.晒C.10D.20

2.已知(1—2i)a+(3+4i)匕=2+6i,其中a力实数，贝U()

A.a=l,〃=-lB.a=-l,b=l

C.a=-l,b=-lD.a=l,b=l

3.己知sin]e+(]=cos",则tan26=()

至D.26

A.心-B.J3C.

33

「/一、l-2x

4.已知集合4={戈|1083(3%一2)<1},5=<x|[§)<3、则AB=()

5.函数/（%）=25垣］2%+看卜函数8（%）=10821的图象交点个数为（）

A3B.5C.6D.7

6.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技

术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永

磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用

比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（）

A.204万元B.220万元C.304万元D.320万元

7.已知厂是抛物线C:/=4x的焦点，/是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN的斜

率为正数，且与圆A:/+y2—6%+6=0相切，过点N作/的垂线，垂足为P,则尸两的面积为

（）

A.2若B.4C.473D.1673

8.在正三棱锥P—A3C中，AB=2^3,/%=4,若半径为r的球。与三棱锥尸—ABC的六条棱均相

切，则产=（）

A。.273「19君-24c19-873

A.2------o.3-----C.---------D.------------------

3333

二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分,

错选得0分，部分选对得部分分）

9.关于［十—2x的展开式，下列说法中正确的是（）

A.各项系数之和为1

B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为60

D.有理项共有4项

10.已知函数4%）部分图象如图所示，/'（%）是"％）的导函数，则下列结论正确的是（

A.r（3）＜oB.r（-i）＞o

C./（-l）-r（-l）＞0D./⑶-3/⑶＞0

11.已知力（x）=sin2"x+cos2"x（“eN*）,则（）

A.力（九）的最小正周期为兀

B.力（X）在上是单调函数

C.力（X）的图象关于直线x=］对称

D.，〈力（x）〈l

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题（每题5分，共15分）

12.已知一个正四棱台上、下底面的边长分别为1和2,侧棱长为1,则该正四棱台的高为

13.如图，已知E是椭圆土+匕=1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直

43

径作圆N,射线QV与圆N交于点Q,则|人。|的取值范围为.

A

14.如图,一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到（0,1）,而后它接着按图

示在x轴、y轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过“（"©N*）秒时移动的位置

设为Pn，那么经过2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是.

四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并

写在答题纸的相应位置，否则无分数.）

15.在VA3C中，角A、3、C所对的边分别为a、b、c.从下面三个条件中选择两个，使得VA3C存在，

2兀

并回答下列问题：@b+c=2a-,®A=y；③3csin5=4asinC.

（1）求COS5的值；

（2）当a=2时，求VA3C的面积.

16.如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,。，点E是3c边的中点，将△ABD

沿3D折起，使平面平面5CD，连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.已知AZ）=1,

且二面角C—AB—O的平面角的正切值为".

图1图2

（1）求证：ABJ_平面ADC；

（2）计算线段A3的长度；

（3）求二面角5—AD—石的余弦值.

17.焦点在x轴上等轴双曲线E,其顶点到渐近线的距离为弓，直线过点。卜君,0）与双曲线的左、右

支分别交于点A、B

（1）求双曲线£的方程；

（2）若4茴=诙，求直线A8的斜率；

(3)若点8关于原点的对称点C在第三象限，且S”OB〉2s”也，求直线AB斜率的取值范围.

18.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十

进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若左是一个大于1的整数，那么以左为基数的左进制数可以

表示为一串数字符号连写在一起的形式…,其中4，a.7,…，4e{0,1,2,…水—1},且

30,见口馆…01a%=a“k"+…+a1k+4,如22=2x3?+1x3+1，所以22在三进制下

可写为2n⑶.

(1)将五进制数2n⑸转化成三进制数.

(2)对于任意两个不同的”+1位二进制数a/*…01ao⑵，bJ*…岫4=6a=1,记

X=如厂同.

i=0

①若”=3,求随机变量X的分布列与数学期望；

②证明：E(X)〉g

19.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数

y=/(x)满足如下条件：①在闭区间可上的图象是连续的；②在开区间(。力)上可导，则在开区间

(a,9上至少存在一个实数使得了』)—“")='偌)成立,人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

b-a

(1)已知/(%)=2%+，+M111%,\/。,/2£(1,3)且〃</?,

(i)若:㈤一〃’)〉1恒成立,求实数机的取值范围；

a-b

(ii)当—1<加<0时，求证：2/⑷；/㈤〉(.

(2)已知函数g(x)=xln~+ae*—x(a〉0)有两个零点，记作占,马，若0<2石<%，证明：

X

>32

参考答案

一、单项选择题(每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)

1.已知向量"O'3)，”=(-2,4),则b在。上的投影向量的长度为()

A.逐B.V10C.10D.20

【答案】B

【解析】

\a'b\

【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式^^计算即可.

H

【详解】由题可知。0=—2+12=10，卜|=^^^=标，

则b在a上的投影向量的长度为—=当=痴.

同M

故选：B

2.已知(1—2i)a+(3+4i)匕=2+6i,其中a力为实数，贝|()

A.a^l,b--lB.a=-l,b=l

C.a=-l,b=-lD.a=l,b=l

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数相等求参数的值.

【详解】因为(1—2i)a+(3+4i)〃=2+6i,

所以(a+3b)+(—2a+4Z?)i=2+6i,

a+3b=2

所以《解得。=-18=1,

-2a+4Z?=6

故选:B.

3.己知sin=cos。，则tan26=(

A.且B.6273

D.2G

3"T"

【答案】B

【解析】

【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解.

【详解】由sin(e+2[=cos。可得^^Esine+^cose=cos。，

I6J22

即tan0-,

3

2x正

“2tan6^3n-

斫ritan20=-------=-------7=A/3

所以1-tan2^（指丫.

1—l—3J

故选：B

4.已知集合4=卜|1083（3%一2）＜1},5

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合A,3,利用交集的运算求出结果.

25

【详解】A={x|log3（3x-2）＜1}={x|log3（3x—2）＜log33}={x|0＜3x-2＜3}=

3?3

故选：A.

5.函数/(x)=2sin12x+?)与函数g(x)=log2_x的图象交点个数为()

A.3B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.

77r1

不,2作出周期函数/(%)的图象,

再通过两点法(1,0),(4,2)作出单调函数g(x)=log,x的图象,

因为4e,所以通过图象可判断它们有3个交点,

故选：A.

6.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技

术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永

磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用

比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为()

A.204万元B.220万元C.304万元D.320万元

【答案】A

【解析】

【分析】设引进设备〃年后总盈利为了(〃)万元，设除去设备引进费用，第几年的成本为4,构成一等差

数列，由等差数列前〃公式求得第〃年总成本，这样可得总盈利了("),由二次函数性质可得最大值;

【详解】设引进设备〃年后总盈利为/(〃)万元，设除去设备引进费用，第〃年的成本为凡万元,

则由题意，知｛4｝为等差数列，前〃年成本之和为24〃+\x8万元，

故/(n)=100〃一[24〃+4〃(77-1)+196]=—4〃2+80n-196=-4(n-10)2+204,〃eN*，

所以当”=10时，/(〃)1mx=204,

即总盈利的最大值为204万元.

故选：A.

7.已知厂是抛物线C:/=4x的焦点，/是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线引V的斜

率为正数，且与圆+6x+6=0相切，过点N作/的垂线，垂足为尸，贝I尸WV的面积为

()

A.20B.4C.4石D.166

【答案】C

【解析】

【分析】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和同求出

直线7W的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点N坐标，从而知道,.P7W的面积.

【详解】由题意可知b(1,0),l:x=-\,

'''(x-3)+y~=3>A(3,0),r-A/3>

如图：设点〃为引V与圆A的切点，

则|AH|=G，AH±FN,|AF|=2

:.SinNHFA=^=叵,则=km=tanZHFA=y/3,

FA23

直线7W:y=G(%_l),

联立方程组，—即3f—10x+3=0,解得x=!(舍去)或l=3,

/=4x3

/.iV(3,273),.•.|ZW|=3-(-l)=4,

••SPFN=^\PN\yn=1X4X273=473.

故选：C.

8.在正三棱锥P—ABC中，AB=2上,PA=^,若半径为r球。与三棱锥P—ABC的六条棱均相

切，则/=（）

A。R.2V3「19石-24n19-873

A.2------D.J-----U.---------U.--------

3333

【答案】D

【解析】

【分析】取VA3C的中心E，连接PE，即可得到PEJ_平面ABC,且与棱均相切的球的球心。在？E

上，连接AE并延长交8C于。，连接过。作交外于点尸，设球。的半径为厂，则

OD=OF=r,设。E=/（0</<26），再利用勾股定理得到方程求出"即可得解.

【详解】取VABC的中心E，连接尸石，则尸平面ABC,且与棱均相切的球的球心。在？E上.

连接AE并延长交3C于。，则。为5c的中点，AD1BC,连接

因为PEL平面ABC,BCu平面ABC,所以PEL6C,又ADIPE=E,AD,PEu平面OEQ,

所以BC,平面OED,

又ODu平面OED,所以3CLOD,

过。作交B4于点E,设球。的半径为广，

则OD=Ob=r,因为AB=2A/LPA=4,所以AD=42国-网*=3，AE=^AD=2,

ED=-AD=1,

3

由勾股定理得PE=y/p^-AE2=V16-4=273，

AE1

在RtME中，sinZAPS=—=—,所以NAPE=30°,

AP2

设OE=/（0<f<26），则。0=20尸=2r,

因为厂=00='瓦）2+0石2=〃+i,从而/+2"+1=26

9/?（9/iY19-8y/3

所以"2—乂（负值已舍去），所以户=2-2+1=

3I3J3'

故选：D.

p

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问

题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距

离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理

求得球的半径

二、多项选择题(每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，

错选得0分，部分选对得部分分)

9.关于—2x的展开式，下列说法中正确的是()

A.各项系数之和为1

B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为60

D.有理项共有4项

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案.

【详解】对于A,令x=l时，则［9―2x］展开式中各项系数之和为1,故A正确；

6x5x4

对于B,第二项二项式系数C；=6,第四项的二项式系数=-------=20,第二项与第四项的二项式系

3x2x1

数不相等，故B错误；

丫16-r

对于C,-2%展开式的通项为C：(—7=)6-(-2力‘=(-2)，晨/〒:(r=0,1,2,3,4,5,6)

)

令-竽+一。，r=2,展开式中的常数项为(—2)2葭=4x15=60,故C正确;

丫1-3+卫

对于D,-2%展开式的通项为©其下)6-，(一2%丫=(—2)「C":2,('=0』,2,3,4,5,6),当

)

r=0,2,4,6时，—3+2eZ,所以展开式的有理项共有4项，故D正确.

2

故选：ACD.

10.己知函数了(%)的部分图象如图所示，了'(龙)是〃尤)的导函数，则下列结论正确的是(

B./(-1)>0

C./(-l)-r(-l)>0D./(3)-3/(3)>0

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数/(力的图象确定在A,B处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负,

逐项判断即可得结论.

【详解】由/(%)的图象在点8处的切线斜率小于0,即/故A正确；

表示/(X)的图象在点A处的切线斜率，故/'(-1)<0,故B错误；

由图可知/(—1)>0,/，(-1)<0,故—1)>0,故C正确；

直线OB的斜率小于/(X)的图象在点3处的切线斜率，

即〃3)-〃0)<r⑶,所以〃3)—3/'(3)<0,D错误.

3—0

故选：AC

11.E^X,(x)=sin2"x+cos2"M"eN*),则()

A.力(九)的最小正周期为兀

B.%(%)在］；,鼻］上是单调函数

C.力(司的图象关于直线％=方对称

D--fn(X)-1

【答案】BCD

【解析】

3+cos4Y

【分析】对于A：整理可得力(x)=--------，即可得最小正周期；对于B：整理可得

4

力(%)=35诂4%-35也2兀+1,结合复合函数单调性分析判断；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：

分析易得叁是函数力(x)的一个周期，进而结合导数求解值域.

【详解】因为/(x)=sin2"x+cos2"x.

对于A,因为力(x)=sin4x+cos4x=^sin2x+cos2x1-2sin2%cos2x=l-^sin22x

1Il-cos4x3+cos4%

=l——x--------=--------,

224

所以人(%)的最小正周期为7=曰=],故A错误；

对于B,因为力⑴=sin6x+cos6x=sin6x+^l-sin2冗J-3sin4x-3sin2x+L

令/=sin2xe[；,l],可得g«)=3/—3/+1,其图象开口向上，对称轴为/=；,

可知y=g⑺在&』)内单调递增，且/=城大在内单调递增，

(JTJT\

所以力(X)在[“5上是单调函数，故B正确；

对于C,力(兀一%)=[sin(兀一+[cos(兀一=(sinx)2n+(-cosx)2n

22n

=sin"x+cosx=fn(x),

所以函数力(x)的图象关于直线X对称，故c正确；

—2〃一2Az

对于D,因为＜[]+%)=sin+cos^+x^=(cosx)2?+(-sinx^n

22n

=sin"x+cosx=fn(x),

所以函数力(x)为周期函数，且5是函数力(X)的一个周期，

只需求出函数力(x)在o,|上的值域，即为函数力(%)在R上的值域，

由fn(%)=sin"'%+cos2"x,

则fn(x)-2zisin2n_1xcosx-2ncos2n_1xsinx=2zisinxcosx^sin2/1-2x-cos2n_2x

(7171)、历

当工£■时，0<cosx<——<sinx<B故siYi%>cos?"<%，

jrjr

此时力函数力（X）上单调递增,

当x£时，0<sinx<<cosx<1，sin271-2x<COS2H-2X，

jr

此时力'（x）＜0,函数力（》）在0,-上单调递减,

兀

所以当xe0q］时，力"）皿=力

又因为〃0）=唱卜1,则/OOyi，

则函数力（力的值域为故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先得到是函数力（X）的一个周期，进而结合导数分析函数

力（1）在。弓上的值域，即为函数力（%）在R上的值域，进而求解即可.

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题（每题5分，共15分）

12.己知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,侧棱长为1,则该正四棱台的高为

【答案】—

2

【解析】

【分析】根据正四棱台的性质与勾股定理可以得到.

【详解】根据题意可得如图所示图形，则AC=夜，AG=2夜=CG=i,

过A作AG，4G于点G,过c作于点”，

则4G=G”岑，所以C"?即该正四棱台的高为噌

D

X,EFB\

故答案为：注Ji.

2

22

13.如图，已知尸是椭圆土+匕=1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直

43

径作圆N,射线ON与圆N交于点Q,则|AQ|的取值范围为_______.

一

A

【答案】「2-6,2+百］

【解析】

【分析】由题意求得点。轨迹，根据轨迹判断计算|AQ|的取值范围.

【详解】F'椭圆右焦点，连接尸尸，如图所示:

。以分别为"',仪的中点，|。M=；归尸］,PE为直径，|NQ|=Jpb|,

|Oe|=|ON|+|2Ve|=1M+||PF|=|(|Pr|+|PF|)=2,

所以点。轨迹是以。为圆心2为半径的圆，A(0,-6)在圆内，

所以|AQ|的最小值为2—百，最大值为2+君，即W。|的取值范围为［2-/,2+石］.

故答案为：［2—石,2+小］

14.如图,一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到(0,1),而后它接着按图

示在x轴、＞轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过〃(〃eN*)秒时移动的位置

设为Pn，那么经过2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是.

【分析】根据粒子在第一象限的运动规律得到数列通项的递推关系，对运动规律的探索知4,4.4(其中

4表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标)中,奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，即可求得.

【详解】设粒子运动到A，4:4(其中4表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标)时所用的时间分别为

%,贝!!6=2,a2=6,〃3-12,a4=20,an-an_x-In.

q一2=2x2,〃3一2=2x3,%一生=2x4,an-an_x=2〃，

相力口得4—%=2（2+3+4++H）=/I?+〃一2,

所以4=〃（"+1）,

X44x45=1980,故运动1980秒时它到点乙（44,44）,

又由运动规律知A，4.4中,奇数点处向下运动，偶数点处向左运动.

故到达44（44,44）时向左运动39秒到达（5,44）,即运动2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标.

故答案为（5,44）.

【点睛】本题主要考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细观察，细心总结规律，是难题.

四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并

写在答题纸的相应位置，否则无分数.）

15.在VA3C中，角A、8、。所对的边分别为a、b、c.从下面三个条件中选择两个，使得VA3C存在，

2兀

并回答下列问题：①Z?+C=2Q；②人二三；③3csin5=4〃sinC.

（1）求COS5的值；

（2）当〃=2时，求VA5C的面积.

【答案】（1）cosB=—

4

⑵

3

【解析】

【分析】（1）选①②，可知角或结合A=@可推出矛盾；选②③，由正弦定理得

3

42

出sinB>l,由此可推出矛盾；选①③，由正弦定理推出6=—a,结合已知条件可得出c=—a,可知VA3C

33

存在，然后利用余弦定理可求出cos3的值；

（2）求出sin8、c的值，结合三角形的面积公式可求得VA3C的面积.

【小问1详解】

若选择①②，由Z?+c=2a可知，b<a<c^c<a<b,因此3W或AW5,

结合A=—可知，选择①②时，VABC不存在；

3

若选择②③，由3csin6=4asinC利用正弦定理可得3sinCsin5=4sinAsinC,

又因为Ce（O,7i）,贝KinC>0,可得sin5=3sinA=±•且=迪〉1，显然不成立,

）3323

即选择②③，VA3C也不存在；

若选择①③，由3csin6=4asinC利用正弦定理可得3sinCsin5=4sinAsinC,

/、44

又因为Cc（。,兀），则sinC>0,可得$1115=耳$111人，即。二§〃,

由b+c-2a,可得c=所以Z?+c>〃，a+b>c,a+c>b,此时VABC存在,

3

4

22

a+-a162

〃2**_r29—a

所以可得cosB=--------------

2ac2ax2a4

3

【小问2详解】

41i---------------------------------

由〃=2可得c=一，由cosB=—可得siaB=A/1-COS2B=

34

所以VA3C的面积为5=,005垣3=!*2、3*巫=边5.

22343

16.如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,8。£）。，点E是边的中点，将△A3。

沿3D折起，使平面ABDL平面5CD,连接AE,AC,DE，得到如图2所示的几何体.已知AZ）=1,

且二面角C—AB—D的平面角的正切值为痛.

图1图2

（1）求证：ABJ_平面ADC；

（2）计算线段A3的长度；

（3）求二面角5—AD—石的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵行

⑶I

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性质得出A3,再利用线面垂直的判定可证结论；

（2）利用二面角可求CD=",根据三角形相似可得的长度；

（3）建立坐标系，求解平面法向量，利用法向量可求答案或者利用三垂线法作出二面角平面角，利用三角

形知识可得答案.

【小问1详解】

因为平面平面3CD,平面ABDc平面

又3D，DC,DCu平面3CQ,所以DC,平面ABD.

因为ABu平面AB。，所以OCLAB.

又因为折叠前后均有ADSA3,DCcADAOu平面ADC.,

所以A3J_平面AOC

【小问2详解】

由（1）知A3,平面ADC,所以二面角C—AB—。的平面角为NCLD.

又。平面ABD，ADu平面ABZ），所以£）CJ_AD.

依题意tanNCAD=----=，因为AD=1,所以CD='J6-

AD

设AB=x（x＞。）,则30=6+i.

依题意△ABDsA、5Z）C.所以=,即一=—,.

ADBD1V?TT

解得x=0.

故AB=母，BD=6BC=yjBD-+CD2=3.

【小问3详解】

法1：如图所示，建立空间直角坐标系。-孙z.

则0（0,0,0）,B（AO,O）,C（0,A/6,0）,EA（6

巴[2半2。JI.

所以。E=

33J

由（1）知平面5AD法向量〃=（0,1,0）.

设平面ADE的法向量加=（尤,y,z）,

A/3A/6

——XH-----y=0

m-DE=022

由＜，得《

m-DA=0GA/6

——xd-----z=0

[33

令x=瓜,得＞=—Z=-M，所以m=

n-m1

所以cos〈凡加〉==一片.所以二面角5—AD—石的余弦值为;.

\n\'\m\Zz

法2：因为。C1.平面ABQ,过点E作EF//DC交BD于F,则石户1.平面ABQ.

因为ADu平面ABZ），所以所1AD.

过点/作EGLAD于G,连接GE,所以平面EEG,因此ADLGE.

所以二面角5—AD—石的平面角为/成法.

由平面几何知识求得EF=LCD=&,FG=gAB泻,

22

所以石6=」石产+g=后所以cos/EGF=^^=—

EG2

所以二面角5—AD—石的余弦值为g.

17.焦点在x轴上的等轴双曲线E,其顶点到渐近线的距离为弓，直线过点。卜石,0)与双曲线的左、右

支分别交于点A、B

(1)求双曲线E的方程；

(2)若4茴=弗，求直线的斜率；

(3)若点8关于原点的对称点C在第三象限，且S&OB〉2s求直线AB斜率的取值范围.

【答案】(1)X2-/=1

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为交列方程，求解即可;

2

(2)由向量共线得交点A8的坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线的斜率;

(3)将图形中三角形的面积关系转化为依＞5AP,即可得%〉5%〉0,结合根与系数的关系可解得斜

率的取值范围.

【小问1详解】

设等轴双曲线E的方程为/—y2=「2,其渐近线方程为y=±X,

,,aV2

故〒=——解得＜2=1所以双曲线E的方程为M—J?=1.

V22

【小问2详解】

由题意，过点尸卜追,0）的直线AB斜率存在且不为0,可设其方程为x=〃y-石,

设4（菁,弘）,5（9,％），由4以=序，得4%=%，

联立卜2=7一逃，整理得STy2—2也ny+4=0,

x-y=1

由韦达定理得：%+%=2产：=5%，%丁2二F―7—,

n-1九一1

联立解得〃=±J?,经验证均满足题意，所以直线A3的斜率为土乎.

【小问3详解】

点C在第三象限，如图所示，故直线48的斜率是正数，

由SAAOB>2s△人尸。，得SABC>4sAPC,

所以AB>4AP，则%>5AP,则%>5%>0,

由仪±直­，得三〉史，

%%%%7厂T5

所以贝1」七/>］，

1130

又因为直线A3交两支两点，故直线的斜率左.€（0,1）,

所以史＜左＜1.

6AD

18.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十

进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若左是一个大于1的整数，那么以左为基数的左进制数可以

表示为一串数字符号连写在一起的形式%%./•・4/.），其中4,4i，…，aoe{O,l,2,---,^-l},且

。“片0,4册_1…01a%=a,,k"++…+a1k+4,如22=2x3?+1x3+1，所以22在三进制下

可写为2n⑶.

（1）将五进制数2n⑸转化成三进制数.

⑵对于任意两个不同的”+1位二进制数a,/*…4ao⑵，优优-i…幽）⑵，4=1＞“=1,记

X=加厂用.

z=0

①若〃=3,求随机变量X的分布列与数学期望；

②证明：E（X）〉g

【答案】（1）2002（3）

（2）①分布列见解析，E（X）=y:②证明见解析

【解析】

【分析】（1）将五进制数转化为十进制数，将十进制数转化为三进制数可得结果.

（2）①求出〃=3时，”+1位的二进制数的个数，确定X的所有可能取值，求出相应取值的概率，得到

分布列和数学期望；

②求出〃+1位的二进制数的个数，确定X的所有可能取值，求出相应取值的概率，得到分布列和数学期

望，即可证明结论

【小问1详解】

由题意得，将五进制数21%）转化为十进制数为2n⑸=2x52+1x5+1=56,

：56=2x33+0x3?+0x3+2,56=2002（3）,

...五进制数2n⑸转化成三进制数为2002（3）.

【小问2详解】

①若”=3,则〃+1位的二进制数有1000（2），U11⑵，1100（2），1°1°⑵，100%），1011⑵，

110%），1110伺，共8个，从8个数中任选2个，共有C；=28种情况.

n

•••X=X\at-b\,：.X的所有可能取值为1,2,3.

1=0

当x=l时，若选择1000（2），可以从1001（2），1。1。（2），11°0⑵中任选1个，共有3种情况,

若选择1111（2），可以从101%）,1101⑵，1110（2）中任选1个，共有3种情况,

若选择no。。，可以从noi⑵，11io（2）中任选1个，共有2种情况,

若选择loio⑵，可以从nio。，ion⑵中任选1个，共有2种情况,

若选择100%）,可以从110%），ion⑵中任选1个，共有2种情况,

3

共有3+3+2+2+2=12种情况，故尸（X=l）==

287

当X=3时，100。⑵和111%），uoo（2）和i°ii⑵，i°io⑵和110%），1001⑵和1110（2）满足要求，共

41

有4种情况，故P（X=3）=诋

7

P（X=2）=l----=-,

'7777

•••随机变量X的分布列为

②：〃+1位二进制数01ao⑶的4=1，

根据二进制数中0的个数可得，”+1位二进制数一共有C：+C：+C；+…+C：=2"个,

:+an-2T-------bq+为<〃，.，.X的可能取值为1,2,3,…，几.

当X=m（m=l,2,3,…,小时，二进制数2T…％为（2）,…她侬有m位取值不同，^n+1-m

位取值相同,

除去。“=2=1,从剩余的〃位中选择加位，二进制数1T…6％(2)，…4%⑵在这洸位上数字

不同，其余〃一冽位，两者均在同一位置数字相同,

nr\n

由于x=Z|q-4，故共有种情况，

i=0A2

C：・2"

・A2Cm

，随机变量X的分布列为

X123n

123：

pcncncnC

2"-l2n-l2"-12"-l

、，"m-nl.(I)!

=-------------=H,-------------------------------=nC^1eN\1<m<,

"(m-1)!-1)-(m-l)^j!

•••£(乂)=1义9+2><品+...+〃><缶=±(1C；+2C；+3C：+…+y)

乙_L乙J,乙_L乙J.

n

=Ui(Ml+C"+C"…+C：：；)=.>展

2

・•・E(x)>g

19.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数

y=/(x)满足如下条件：①在闭区间可上的图象是连续的；②在开区间(。力)上可导，则在开区间

(。力)上至少存在一个实数使得〃?一〃")=广仔)成立,人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

(1)已知/(x)=2%+—+Mnx,Va,b«1,3)且avb,

(i)若/㈤一〃’)〉1恒成立,求实数机的取值范围；

a-b

2〃a)+/S)上(2a+b

(ii)当一1〈加V。时，求证:>f

33

(2)已知函数g(x)=xlnJ+ae*—x(a〉O)有两个零点，记作为,马，若0＜2西＜马，证明：

X

9+2巧＞32

【答案】(1)(i)[0,+«);(ii)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】⑴⑴法一：构造函数"(x)=/(x)—x=x+L+疝n%,利用函数单调递增，贝U

X

"'(x)=l-4+320在(1,3)上恒成立，然后转化为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中

XX

值定理知，恒成立。丸«叫,使得〃")一〃。=/'(%),将问题