2025届素养拓展之数式规律-重点题型专练（含答案）

素养拓展之数式规律一重点题型专练

总述:

数式规律问题的一般解题步骤:

1.观察特征，初步分类:

数据类型判断：区分整数数列、分数数列、算式组合等类型。

整数数列：关注相邻数的差、商或倍数关系。

分数数列：分别分析分子、分母的变化规律。

算式组合：拆解为数字、符号、运算三部分分别观察。

特殊标记：圈出数列中的奇数项、偶数项或特殊数字（如平

方数、立方数）。

2.分析规律，建立模型：

一般是作差法与作商法和平方或立方等方法。

3.验证猜想，确定通项：

代入验证：将〃=1,2,3,…代入猜想的通项公式，检查是否符合原

数列。

逻辑推导：用数学方法或代数变形证明规律的普适性。

一般的解题策略：通常运用“观察-分析-验证”的系统性思

维；通过细致对比数据特征、灵活运用分析方法，将具体数式转

化为通用数学表达式。

试卷第1页，共14页

常见的数字规律和求和公式:

an数列

(自评

6R1.2.3.4t-,nK)

92n2.4.6.队-・.2n(Mt)

2n-11.iL5.7,-・2n1(fftt)

④/1.4,9.25.一.*

n

⑤22,4,8.16,-4r

«<s>r-11.i.7.15,

用(2)0,2,6.12.20,“・.n(n-1)

n1.3.7.13.21.n(n-1)*1

列

2.6.12.20.■・

122>3.3>4.4*5,■・n(n*1)

R(N+1)____

口1.3,6.10.—―（求和数列）

2

3n3.6,9.12.（等曜故列,公星d*3）除量■旧犯项之星）

⑪

4n-31»i.9,13,-（IWU列，公l!d"）

自谶1*2*3*~

!2

②2*466♦…♦2n«n(n*1)

求正奇数1*3*5*7

如

自然It的平方

**④6

式

自然Ufi外z方["♦31

6

题型1数式规律一数（式）列型

2468

1.按照一定规律排列的式子：—,—,土，土，…，第"个式子是（）

491625

2.观察分析下列数据：0,一也,2,-V6,2垃,-丽，2日…,根据数据排列的规

律得到的第10个数据的值是（）

A.3B.-372C.275D.-2>/5

3.填空：

（1）按一定规律排列的一列数依次为：-2,5,-10,17,-26…，按此规律排列下去，这列数中

试卷第2页，共14页

第6个数是,第"个数（〃为正整数）是.

（2）按一定规律排列的一列数依次为：1,-3,6,-10,15…，按此规律排列下去，这列数中第7

个数是,第〃个数（力为正整数）是.

,11,11,11,11

4.设/=1+京+尹9=1+>+铲,%=1+铲+不,…=1+/+（〃+］）2,其中“为正整数,

则®的值为.

5.观察下列三行数并按规律填空：

-2,4,-8,16,-32,,…①

0,6,-6,18,—30）,（2）

-1,2,-4,8,-16,,…③

取每行数的第10个数，计算这三个数的和.

6.数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在

规律，既能提升观察力，又能提升数学素养.

例如：给定一列式子，并规定：％=1,a2=x,an+2=^^（〃为正整数），

Q3+Ix+1+1x+2

a2xx

x+2

a

4+1x+2x+2_2,

a,x+1x+1x

照此规律，解答下列问题:

⑵若詈=3,求的的值；

（3）求。2026,a2027,“2028的最小值.

题型2数式规律一数表型

7.将偶数按下表排成5列（）

第1第2第3第4第5

试卷第3页，共14页

列列列列列

第1

2468

行

第2

16141210

行

第3

18202224

行

第4

32302826

行

.......

根据上面排列规律，2008应在（）

A.251行，第五列B.251行，第四列

9.将自然数按以下规律排列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1451617

第二行23615

第三行98714

第四行10111213

第五行

试卷第4页，共14页

表中数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应，数5与。,3）对应，数14与（3,4）对应,

根据这一规律探究.

（1）有序数对（6,3）对应的数为、

（2）数2024对应的有序数对为.

10.填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律，根据图中数字的规律,

x+y=.

1234567

89|10O12-1314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

⑴根据规律，数24位于第4行第3歹U,那么数100位于第一行第一列;

⑵数表中第〃行第1列的数是」

⑶如图，字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出

横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为H.S?.

①猜想H.S?之间的关系

②任意平移字型的位置，，与S2之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由;

若不成立，请举例说明.

12.我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”，它是中国重要的文化遗产之一.“河图”和

“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字.观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下

列问题:

试卷第5页，共14页

(1)请按照图1“洛书”中的顺序把数字1-9填入图2对应的正方形空格中；

(2)我们把图2叫作一个“三阶”幻方.不难发现：“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数

字之和都相等.若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”,

中间的数称为“中心数"，贝『‘幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系.

①如图3,已知他=-2,c=-7,幻方的“中心数"e=-l,则。的值为；

②如图4,A、B、C、D、E、尸是含有字母/的整式，E=4t,C=t+3,若幻方的“中

心数“D=m,B=-6t+m,且切为常数，求加的值.

题型3数式规律一数阵型

13.如图，这是一个按某种规律排列的数阵:

1V2第1行

V32V5V6第2行

V72723VioVTT273第3行

V13V14V154V17372V19275第4行

根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是()

A.476B.V97C.7®D.3而

14.将全体正偶数排成一个三角形数阵:

2

46

81012

14161820

2224262830

按照以上排列的规律，第10行第5个数是()

A.98B.100C.102D.104

15.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，按照数的排列规律，第10行第5个数

是.

BOSMB

试卷第6页，共14页

16.将正整数从1开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐弯处，3在第

二个拐弯处,5在第三个拐弯处,7在第四个拐弯处,…，则第2025个拐弯处的数是.

21-22-23-24-25-26

II

207—8—9—1027

IIII

196I—2||28

IIIII

1K5—4—3122^

I||

t:—16-1514—1330

I

17.将连续的偶数0,2,4,6,8,…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任

意框5个数(十字框只能平移).

0246810

12141617rl2022

2426巨叵回134

363840卜214446

485052545658

606264666870

(1)若框住的5个数中，中间数为30,则这5个数的和为,设中间数为。，用含。的

代数式表示十字框内5个数的和为.

⑵十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数若不能，请说明理由.

18.我们知道，1+2+3+…+〃=也曰，那么『+22+32+...+“2结果等于多少呢？在图①

所示三角形数阵中：

第1行圆圈中的数为1,即a；第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22；

第〃行"个圆圈中数的和为+…+”,即"2.

这样，该三角形数阵中共有也却个圆圈，所有圆圈中数的和为

2

I2+22+32+---+n2

I2

22

32

5T产

n2

图②

【规律探究】

试卷第7页，共14页

将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一

位置圆圈中的数（如第〃-1行第一个圆圈中的数分别为1,2,〃），发现每个位置上三个

圆圈中数的和均为（由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为

3（12+22+32+---+M2）=

由此，12+22+32+---+«2=

【解决问题】

12+22+32+---+20182

根据以上发现，计算的结果.

1+2+3+…+2018

题型4数式规律一系数型

19.如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（。+6）"（«=1,2,3,...）的展开式的系

数规律.

(a+b)i=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ba2+b3

(a+b)4=a4+4a3b4-6b2a2+4<ib3+b4

根据数表规律得（2x-0的展开式中第二项是（）

A.80/B.-80x4C.10x4D.-5x4

20.我国南宋数学家杨辉所著《九章算术》一书中，用如图的三角形解释了（〃+b）”展开式的

系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方两数之和，这个三角形给出

了（a+6）'（〃=1,2,3,4）的展开式（按。的次数由大到小的顺序）的系数规律.下列说法：①

（a+6）5展开式各项系数之和为32：②（。+6厂展开式各项中，系数最大的项是第八项和第

九项：③（“+6严展开式中（按。的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190；④

（x+行⑵展开式中含/。22的项的系数是2022.其中正确的个数是（）

试卷第8页，共14页

A.1B.2C.3D.4

21.如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数

1,3,6,10,记着％==1+2=3,%=1+2+3=6必=1。,…,若％—2%+*=%

（〃为正整数），则"的值为.

22.在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（a+6）"

（“为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”.如图，此三角形中第3行的

3个系数1,2,1,恰好对应着（0+6）2=/+2仍+62展开式中各项的系数，类似规律如下:

（«+=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+=t?4+4a3b+6a2b2+4ab3+Z）4；,则（a+4展开

式中，所有项的系数和是.

1

11

121

1331

14641

1510105I

23.在人教版八年级上册数学书Pl13页提到了杨辉三角，材料如下：

在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的

乘方规律.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个

三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.事实上，这个三角形给出了（。+6）"（"=0,1,2,3,4……）

的展开式（按。的次数由大到小的顺序）的系数规律.例如，此三角形中第3行的3个数1,

试卷第9页，共14页

2,1,恰好对应着(。+6)2=/+2仍+方2展开式中的各项的系数.

(。+6)°...................1

(a+b)]................11

(a+b)2...................121

(a+6)3...........1331

(a+6)4..................14641

根据上述材料，请回答:

(1)请根据3+6)3的展开式证明其对应第四行的系数；

(2)请根据(a+6)6的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质；

(3)请你预测并直接写出(。+by展开式的第二项系数.

24.杨辉三角形是形如(a+6)"(这里”=1,2,3,4…)的展开式的系数在三角形中的一种几何

排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中.下图是杨辉三角形与(。+6)”展开式的

部分对照：

1(a+b)°=1(Q+bp=a+b

11

(a+b)2=a2+lab+b1

121

(a+Z?)3="+3孑b+3ae+Z?3

1331

14641(4+6)4

请根据上述材料解决下列问题：

(1)(。+6)4的展开式中第三项为,

题型5数式规律一等式型

25.观察下列几个算式：①(Q—1)(。+1)=—1；②-1乂。2+。+1)=—1;③

试卷第10页，共14页

(a-+a~+a+l)=a"—1；(4^)(a—1)(/+4++6t+1^—6t-一1,.....,结合你观察

到的规律判断22。24+22。23+―+22+2+1的计算结果为()

A.22025-2B.22025-1C.22025+1D.22025+2

26.观察下列算式：

①1x3-2?=3-4=-1

②2x4-3?=8-9=-1

③3x5-4?=15-16=-1

把这个规律用含字母〃（〃为正整数）的式子表示出来.

27.探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成2加〃，

那么另外两个数分别可以写成/+/,小一“2,如4=2x2xl,5=22+12,3=22-12.从

而可以得到下列顺序排列的等式：

①3?+4?=5?,

②5Z+12?=132,

072+242=252,

@92+402=412,

根据你发现的规律写出第⑨个等式：.

28.观察下列各式：

,11169

1+3+不=再

请利用你发现的规律，计算：

ri~rrn_rrn_rL1,19999

V^+2^+\2r+F+V3r+4r+'"+{/(«+1)2-WO，则

29.观察下列等式：

G311

^fl|=lx2x22=1^2~2x22；

试卷第11页，共14页

（2^）“2=T=97

2x3x2?2x223x23

1

③-47F;

61______1

4x5x25-4x24-5x25

按上述规律，回答以下问题:

⑴用含"("为正整数)的代数式表示第£，个等式：:

(2)+/++,,,+出0=.

30.观察以下等式：

42-I21

第1个等式：±_L=2+_L,

62

22

第2个等式：25_-£7-=3+上1，

62

第3个等式：^-^=4+-,

62

22

第4个等式：L7-L4=5+L1,……

62

解决下列问题：

⑴按照以上的规律，写出第6个等式：；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含〃的式子表示)；

(3)利用上述规律，计算：不一仔―一一22一"62-32一,10°2-972-3

666+6

题型6数式规律一周期型

31.探索规律：7=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,那么72^+1的个

位数字是（）

A.8B.4C.2D.0

一1+Qi1+1+&

a

32.已知一列均不为1的数q,%,%，…，%满足如下关系：2=~------,«3=--J,«4=-------,

\~axL〃2］一。3

1+a

…，«i=---,若％=2,则。2025的值是（）

n+1一%

A.--B.-C.-3D.2

23

33.定义一种对正整数〃的“尸，运算：①当〃为奇数时，尸（〃）=3〃+1；②当〃为偶数时,

尸(")=£(其中人是使尸5)为奇数的正整数)，两种运算交替进行•例如，当〃=7时，运

试卷第12页，共14页

用厂①得尸⑺=3x7+1=22；运用厂②继续运算得尸（22）=杳=11.现取〃=12,则有

12号;3今710^75,按此规律继续计算，第2024次“尸，运算的结果是________.

第1次第2次弟3次

34.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81,我们看到第一次输出的结果

为27,第二次输出的结果为9,则第2024次输出的结果为.

35.定义一种对正整数〃的“尸运算”：①当〃为奇数时，结果为胡+5；②当〃为偶数时,

结果为g（其中后是使g为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取〃=26,贝U：

।―।第一次।一।第二次।一।第三次।一।

若“=449,则第449次“尸运算”的结果是多少？

36.【阅读中思考】

设。是不为0和1的有理数，我们把1与。的倒数的差，即1-工称为。的倒数差，

1,1

如：2的倒数差是的倒数差是1-西=2.

【探索中理解】

若a=3,%是a的倒数差，出是q的倒数差，%是电的倒数差，…，以此类推.

（1）先写出计算外,电，%的算式，再求出它们的值.

（2）求处+a5+a6的值.

【应用拓展】

设a,6,c都是不为0和1的有理数，将一个数组（。,4c）中的数分别按照材料中“倒数差，，的

定义作变换，第1次变换后得到数组（%力，9）,第2次变换后得数组（电也4），…，第"次变换

后得到数组（见也,C,）.

（3）若数组（。也c）确定为卜

①第一次变换后得到的数组为；

试卷第13页，共14页

②+q+出+仇+。2---1~。9+。9+。9的值为.（直接写出答案）

试卷第14页，共14页

1.D

【分析】本题考查了单项式的规律探究，根据分子和分母分别寻找规律：分子的底数都是

x,而指数是从2开始的偶数；分母是底数从2开始的自然数的平方，从而得出结论，观察

式子找出规律是解题的关键.

人„，2人„，2xl人丫4人2x2人6人2x3人8人Q4

【详解】解：:彳=（1+1）2，3=（2+1）2，16=（3+1）2（25=（4+1）2；

・,.第n个式子是-,

（"+1）

故选：D.

2.B

【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的化简.由已知数据得出第〃个数为

（-1严正（“-1）,据此得出第10个数据.

【详解】解：•••O,-血，4=2,-V6,&=20，-V10，712=273,

.•・第〃个数为

・•.第10个数据应该是：=-3V2,

故选：B.

3.37（一1）"（后+1）28立m

【分析】本题考查数字类规律探究，从已有数据中概括出相应的规律，是解题的关键：

（1）观察可知，奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，每个位置上的数字的绝对值

为1+1,即可得出结果；

（2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，每个位置上的数字的绝对值

为从1开始的连续的整数的和，即可得出结果.

【详解】解：（1）观察可知：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，且：

2=12+1,5=22+1,10=32+1---,

・••第6个数是6+1=37,

第"个数（"为正整数）是

答案第1页，共24页

故答案为：37,(-1)"(»2+1)；

(2)观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，且:

3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4---,

二第7个数是1+2+3+4+5+6+7=28；

第"个数("为正整数)是(一1)向(1+2+3+.-+〃)=(一1)用

2

川(几+1)

故答案为：28,(-1)向

2

4-2。25靠

【分析】本题主要考查了数式规律问题，二次根式的性质，有理数的加减混合运算，将分数

裂项，再寻找抵消规律是解题关键.

.11

先求出q、/、%的值，代入原式，利用二次根式和4=1+/+而进行化简与计算,

即可求解.

22

【详解】解：•.•%=1+]+3=231II497

出一+>+铲―数

1I222426

2

।1116913

-1+$+不=商

12

2

11n(«+l)+l

%=1+/+

n+1)2

1

=1+-+1+-+1+—+...+1+

26122025x2026

1111

=2025+—+—+一+...+

26122025x2026

c…LI1II111

=2025+1——+-------+-------+...+

(2233420252026

=2025+1-——

2026

=2。25煞

2025

故答案为：2025

2026

答案第2页，共24页

5.64；66；32；2562

【分析】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的

方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键.第①行有理数是按照-2

的正整数次塞排列的；第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出

第”个数的表达式；根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解.

【详解】解:第①行的有理数分别是-2,(-2)2,(-2))(-2儿…，

故第"个数为(-2)"("是正整数)，第6个数为64,

第②行的数等于第①行相应的数加2,即第力的数为(-2)"+2(〃是正整数)，第6个数为66,

第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第一个数是:x(-2)”(〃是正整数)，第6个数为

32,

・•・第①行的第10个数为(-2)10=1024,

第②行的第7个数为(-2)10+2=1026,

第③的第7个数为1(-2)7=512,

所以，这三个数的和为：1024+1026+512=2562.

故答案为：64,66,32.

6.(1)1

(2)cig—5

1

⑶W

【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键.

(1)根据题意直接代入求解即可；

(2)根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可；

(3)根据题意得出5个式子为一'个周期，循环出现，确定〃2026="1=1，。2027=。2=%，

。2028=。3=工+1，求解即可.

212+x

1—]----

【详解】(1)解：===3T=1，

a4x十/x十/

xx

故答案为：1；

答案第3页，共24页

x+22

(2)根据提题意，得〃i=l,a=x,tz=x+1,a=------,a=—,

234x5x

。6=1，

a7=x,

%=x+1,

x+2

Q9=,

x

..”=3

%

x+1

:.-----=3.

x

解得，X=；.

经检验X=［是方程的解，且符合题意.

2

?-+2

〃9=-——=Nj-=5.

2

（3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现，

。2026—"1—1，“2027一。2—1，。2028—。3—%+1,

，〃2026.〃2027,^2028=1XXX（X+1）=X?=+

++口.

•t•X=——时，a2026'。2027,。2028的最小值是一.

7.A

【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出

2008所在的位置.根据表格中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到2008在第

几行第几列.

【详解】解：由表格可得，每行都有4个偶数，

奇数行按照从小到大排列，空着第一列，

偶数行按照从大到小排列，空着第5歹!J,

答案第4页，共24页

•••2008+2+4=1004+4=251,

.•.2008是第251行最后一个数字，

•••2008应在第251行第5列，

故选：A.

8.C

【详解】本题考查数的规律，解题的关键是通过一列数，找到斜对角的关系是本题的突破口，

然后再通过乘法的分解即可求出x.

首先通过分析找到〃与6的关系，然后找到6与18的关系，进而找到x与6和18的关系，

即可以得到结果.

【分析】解：根据题意可知：

4=2x2,

6=3x2,

8=4x2,

…，

2=1+1,

3=2+1,

4=3+1,

…，

，18=26,a=b-\；

b=9,a=8；

Xv9=(4-l)x(2+l),

20=(6-l)x(3+l),

35=(8-l)x(4+l),

…，

.•.x=(18-l)x(^+l)=17xl0=170.

故选：C.

9.28(45,2)

【分析】本题考查规律探究，找出规律是解决此题的关键.

根据题意得出第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数

列的数字为列数的平方，即可求解.

答案第5页，共24页

【详解】解：根据数字排列可得：第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依

次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方.

第一列第二列第三列第四列第五歹U

->5

第一行1▲6-,17

第二行->315・・・

一・・・

第三行广8«1▲4

第四行10-311一A12—->13・・・

第五行・・・

(1)根据规律可得：第五行第一个数字为52=25,故第六行第一个数字为25+1=26,

第六行第三个数字为26+2=28,

有序数对(6,3)对应的数为28,

故答案为：28；

(2)442=1936,452=2025,

••-45行第一个数字为2025,

・•.2024所在的位置是第45行，此行从左到右依次减小，

••.2024在第45行第2列，

故数2024对应的有序数对为(45,2),

故答案为：(45,2).

10.593

【分析】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：X=82+1=65,

7=8x65+8=528.

结合表格找出其中的规律，求出x=8?+l=65,>=8x65+8=528,再计算x+y即可.

【详解】解：由表可得：

5=22+1,12=2x5+2；

17=42+1,72=4x17+4；

37=62+1,228=6x37+6；

2

.-.X=8+1=65,^=8X65+8=528；

：.x+y=65+528=593.

故答案为：593.

11.(1)15；2

答案第6页，共24页

(2)7n—6

(3)@S,+6=52；②成立，理由见解析

【分析】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识,

读懂题意，找准规律是解决问题的关键.

(1)由题中数表的规律即可得到答案；

(2)由题中数表的规律即可得到答案；

(3)①由“T”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计

算几邑即可猜想出关系；②设竖列第1个数为x,则数列其余两个数分别为x+7,x+14；

横行的三个数分别为x+4,x+5,x+6；分别计算S”S?即可验证关系.

【详解】(1)解：由题中数表，每一行有7个数，

•••第«行的最后一个数为In,则100=7x14+2,

.••数100位于第15行第2列，

故答案为：15；2；

(2)解：由题中数表可知第(〃-1)行最后一个数为7("-1),

二第〃行第1列的数是7("-1)+1=7〃-6,

故答案为：7«—6；

(3)解:①如图所示，&=10+11+12=33,邑=6+13+20=39

.〔33+6=39,贝”1+6=$2，

故答案为：岳+6=邑；

②成立，

理由如下：

设竖列第1个数为x,则数列其余两个数分别为x+7,x+14；横行的三个数分别为

x+4,x+5,x+6.

S]=x+4+x+5+x+6=3x+15；S?=x+x+7+x+14=3x+21；

/.3x+15+6=3x+21,

即81+6二邑.

12.⑴见解析

答案第7页，共24页

(2)①4；②机=2

【分析】(1)根据“洛书”中实心点或空心点的个数填在正方形空格中即可；

(2)①根据图2中相关数字可知：“幻方和”是“中心数”的3倍，然后求出。的值即可；

②根据幻方特点得出/=3。-3-C=2机+5/-3,A=2D-F=-m+5t+3,从而得出方程

2加+5%—3=—机+5/+3,解方程即可.

【详解】(1)解：根据“洛书”中实心点或空心点的个数填图如下：

SEE

(2)解:①根据图2可知，“幻方和”为4+5+6=15,“中心数”为5,

“幻方和”是“中心数”的3倍，

：.m+b=2e,a+b+c=3ef

m=-2,c=-7,幻方的"中心数"e=—l,

—2+=2x(-1),

解得：b=0,

a+0+(-7)=3x(-1),

解得：Q=4；

②•.•“幻方和”是“中心数”的3倍，

；・C+E+F=3D,A+B+C=3D,A+F+D=3D,

E=4tfC=t+3,D=m,B=-6t+m,

:.F=3D-E-C

二3加-々-«+3)

二3加一4，一，一3

=3m—5t—3,

A=3D—B—C

=3m-(-6z+m)-(z+3)

=3m+6t-m-t-3

=2m+5t—3,

答案第8页，共24页

•：A+F+D=3D

:・A=2D—F

=2m-（3m-5Z-3）

=2m—3m+5^+3

——YYl+5,+39

・•.2m+5,-3=-m+52+3,

解得：m=2.

【点睛】本题考查探索与表达规律，一元一次方程的应用.根据“每行、每列、每条对角线

上的三个数之和相等”解答即可.

13.B

【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（〃-1）行的数据的个数是

解题的关键.

观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续

偶数，求出〃-1行的数据的个数，再加上〃-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方

根即可。

【详解】前"一"行的数据的个数为2+4+6+…+2（〃-1）=〃（"一1）,

所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是10x（10-1）+7=97,

所以，第10行从左向右数第7个数是质.

故选B.

14.B

【分析】本题主要考查了数字的规律探究，归纳出一般性规律是解题的关键.

观察数字的变化，第"行有〃个偶数，求出第〃行第一个数，进而完成解答.

【详解】解：观察数字的变化可知：

第"行有〃个偶数，

因为第1行的第1个数是：2=lx0+2；

第2行的第1个数是：4=2xl+2；

第3行的第1个数是：8=3义2+2；

所以第”行的第1个数是：+2,

答案第9页，共24页

所以第10行第1个数是：10x9+2=92,

所以第10行第5个数是：92+2x4=100.

故选：B.

15.50

【分析】本题考查了数字类的规律问题，根据三角形数阵得到其排列规律，再根据其排列规

律求解，即可解题.

【详解】解：根据三角形数阵可知，

第1排，数字有1个，左边第1个为1；

第2排，数字有2个，左边第1个为1+1=2；

第3排，数字有3个，左边第1个为1+1+2=4；

依次类推，

第〃排，数字有〃个，左边第1个为1+1+2+…+

第10排，数字有10个，左边第1个为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46；

第10行第5个数是46+4=50,

故答案为：50.

16.1026170

【详解】本题考查数字的变化规律，观察图表中每个拐弯处的数字，依次得到每个拐弯处的

数与第〃个拐弯的关系；将每个拐弯处的数字分别表示为第1个拐弯：1+1=2,第2个拐

弯：1+1+1=3,第3个拐弯：1+1+1+2=5；结合2025=2x1012+1,即可求出在第2025

个拐弯处的数.

解：观察图表，可知

第1个拐弯：1+1=2,

第2个拐弯：l+l+l=l+lx2=3,

第3个拐弯：l+l+l+2=l+lx2+2=5；

第4个拐弯：l+l+l+2+2=l+(l+2)x2=7；

第5个拐弯：l+l+l+2+2+3=l+(l+2)x2+3=10；

第6个拐弯：l+l+l+2+2+3+3=l+(l+2+3)x2=13；

第7个拐弯：l+l+l+2+2+3+3+4=l+(l+2+3)x2+4=17；

答案第10页，共24页

•1-2025=2x1012+1,

.••第2025个拐弯处的数是1+的+2+3+...+1012)x2+1013=1026170.

故答案为：1026170.

17.(1)150；5a

(2)不能，理由见解析

【分析】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所

给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律.

(1)根据图示进行计算便可得结果，可得这5个数的和；用。表示出其余4个数，再求和

即可；

(2)根据(1)中的代数式，结合题意列出。的方程，即可求解.

【详解】(1)解：由题意得，这5个数的和为：18+28+30+32+42=150,

设正中间的数为。，则其余4个数分别为12,a-2,a+2,a+12,

.,.十字框内5个数的和为：(a—12)+(a—2)+a+(a+2)+(a+12)=5a,

故答案为：150；5a；

(2)解：不能，理由如下：

根据题意得，5a=2026,

解得，a=405.2,不是整数，

...十字框中的五个数之和能等于2026.

,c4r珏4一fc,n(n+\](2n+l]++„4037

18.l规律探究：2"+1；」——---」——--------解决问题：--

263

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察找到规律是解题的关键.

规律探究：将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数

的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的;，从而得出答

案；

-X2022X(2022+l)x(2x2022+1)

解决问题：运用以上结论，将原式变形为-------1T而---------------，化简计算即可

----------x2022

2

得.

【详解】规律探究：由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为〃-1+2+〃=2〃+1,

••.这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：

答案第11页，共24页

3(12+22+32+---+H2

=(2〃+1)x(1+2+3H-----

—,

2

...12+22+32+…+川="("+1)(2〃+1)

6

故答案为：2«+1；小+1）（2〃+1）

26

到、出e由12+22+32+---+20182

解决问题：--------------------

1+2+3+…+2018

-x2018x(2018+l)x(2x2018+l)

6

＞刈8