2025年甘肃省平凉市庄浪县中考数学一模试卷+答案解析

2025年甘肃省平凉市庄浪县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.—4的绝对值是（）

11,

A.-B.一一C.4D.-4

44

2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（）

A盛B世C中D国

3.根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为（）

A.95.4x105B.9.54x106C.0.954x107D.9.54x105

4.化简/的结果是（）

A.谟B.x2y2D.x2y6

X2

5.如图，在△48。中，平分NBA。交3C于点。，于点£,若

ZBAC=86°;则/40E的度数为（）

A.47°B.43°C.50°D.40°

6.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b,都有a*6=^+a，例如4*16=，记+4=8，那

么5*64的值为（）

A.75+8B.11C.13D.9

7.如图，△48。内接于。O,AB=AC>CD是。O的一条弦，CD=BC，连接8,

若NO=30°，则N4B。的度数为（）

A.30°

B.40°

45°

D.50°

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8.为保护人类赖以生存的生态环境，我国将每年的3月12日定为中国植树节.在植树节当天，某校组织各班

级进行植树活动，活动结束后统计了所有班级每班种植树木的数量以棵），按照20<2<25,254/<30,

30<35,35W2<40,40<c<45的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，根据统计结果，下列

说法错误的是（）

A.共有24个班级参加此次植树活动

B,种植树木的数量在30</<35这一组的班级个数最多

2

C.有（的班级种植树木的数量少于35棵

D.有3个班级都种了45棵树

9.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多

十四，每人八竿少二竿其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿,

多14竿；每人8竿，少2竿”.

甲乙两位同学分别给出自己的理解：

甲：设牧童人数为y人，根据题意可列方程珈+乜=劭-2；

乙：设竹竿数为X竿，根据题意可列方程6上—二14=「x+2.

68

则下列判断正确的是（）

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

10.如图1,四边形/BCD是平行四边形，连接8。，动点P从点/出发沿折线AB一RD-匀速运动,

回到点/后停止.设点P运动的路程为x,线段/尸的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，当点尸

运动到8。的中点处时，△4PO的面积为（）

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A.48B.40C.24D.30

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.因式分解2m2—4m+2

12.直线9=，—4+6（b为常数）不经过第二象限，则b的值可以是..（写一个即可）

13.如图，在△48。中，AC=BC=2AB,。是8c上一点，且4B=4D.

若BD=1，则N3的长为

14.如图，在菱形N3CZ）中，对角线NC、相交于点。，点〃为边的中点.若

菱形ABCD的周长为20,则OH的长为.

15.2025年3月16日，2025中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛——世界羽

联巡回赛超级100赛迎来决赛日.若在某次练习中羽毛球的运动路线可

1O

以看作抛物线沙=—+1的一部分（如图），若甲选手发球过网

55

12

后，羽毛球飞行到离地面的高度为一加的。处时（点。在抛物线对称轴

5

右侧），乙选手在。处扣球成功，则点。到y轴的水平距离是m.

16.“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半

径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形.如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边△AS。的边

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三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

计算：WH\/27,

18.（本小题6分）

3（2+1）224—1

解不等式组：x+5

-2-1+11

19.（本小题6分）

先化简，再求值：（/+9乂2一g）-研/一2g）,其中z=l,9=3.

20.（本小题8分）

筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2,。。表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度,

昉为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，E、尸分别在线段/8、劣弧病上）.

（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度=3.6m，涉水深度EF=0.6机，求该筒车的半径长.

图I

21.（本小题10分）

甘肃省位于中国西北部，地处黄河上游，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的物产和独特的地方文化.某班

的一次实践活动课上，老师将分别印有4庄浪苹果，R平凉山药，C.华亭核桃，D静宁烧鸡这四种特产

的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张,

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并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍.

A.B.D.

（1）该班的张萌同学抽取的卡片上是4庄浪苹果的概率是—

（2）用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率.

22.（本小题10分）

根据以下材料，完成探究任务.

23.（本小题8分）

2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第

五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航

空航天知识竞赛活动.赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生.统计这部分学生的竞赛成绩（单

位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）.相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

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5,6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10,10,10.

八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数

八年级ab7

九年级7.888

根据以上信息，解答下列问题:

⑴填空：a=,b=

（2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数;

（3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理

由即可）.

九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图

A5分

B6^；

C7;

D8

E9^

FU附

24.（本小题10分）

772

如图，在平面直角坐标系中，一次函数4=卜2+6（鼠b为常数,的图象与反比例函数？/="（加为常

数，m壬0）的图象相交于点4（一2,八），B（8,-1）,与歹轴交于点C

（1）求一次函数沙=kx+6和反比例函数沙=—的表达式；

x

（2）过。点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点。，连接0。，求。。的长.

25.（本小题10分）

如图，△48。内接于©O,连接OC,经过点2的切线交ZC的延长线于点D

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(1)求证：ABAC=ACBD；

⑵连接并延长交于点E,若48=4。，ABAC=45°，。。=1，求的长.

26.(本小题10分)

【问题探究】

(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形/BCD中，E是边N8上一点，连接CE,过点。

作_DF_LCE于点尸，过点。作OGrDF，连接/G,且4GLDG，AG=CF＞试猜想四边形/BCD的形

状，并说明理由；

【问题延伸】

(2)小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形/BCD中，E是边上一点，连接

CE,过点。作DFLCE于点R过点/作于点〃过点。作OGLDF，交"4的延长线于点G,

可以用等式表示线段EH,AH,CF的数量关系吗？请你思考并解答这个问题.

27.(本小题12分)

如图，抛物线沙=—/+近+c与x轴相交于点/(一1,0)和点3,与夕轴交于点。(0,3),顶点为。过点。

作OE〃立轴交直线BC于点E,作OFLr轴交直线2C于点F.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,连接/尸，求的面积；

(3)如图2,若点M在线段ED上运动，点N在线段昉上运动，且满足EM=FN，求MF+ON的最小

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值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：I—4|=4.

故选C

根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案.

此题主要考查了绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质是解决问题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：A,B,。选项中的汉字图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的汉字图标都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形.

故选：C.

根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

本题主要考查了轴对称图形，掌握一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形就叫做轴对称图形是关键.

3.【答案】B

【解析】解:9540000=9.54x106.

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax1CT的形式，其中1^同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值)10时，〃是正数；当原数

的绝对值＜1时，”是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1W同＜10,〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

4.【答案】C

【解析】解：x2-(-)2

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故选：c.

先算分式的乘方，再算除法即可.

本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：,二4。平分NBA。交3C于点。，ZBAC=86°,

ADAE=^Z.BAC=43°,

于点E，

AAED=90°,

NADE=180°-NDAE-NAED=180°-43°-90°=47°.

故选：A.

先根据角平分线的定义得出/OAE的度数，再由。于点E得出/4艮0=90°，进而可得出结论.

本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：原式=，演+5

=8+5

=13,

故选：C.

根据题意列式计算即可.

本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：•.•CO=BC,NO=30°，

ZDBC=ZD=30%

由圆周角定理得：乙4=NO=30°，

-：AB=AC，

：,AABC=|x(180°-30°)=75°,

AABD=AABC-ADBC=75°-30°=45°，

故选：C.

根据等腰三角形的性质得到=NO=30°，根据圆周角定理求出N4,再根据等腰三角形的性质、三

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角形内角和定理求出/AB。，计算即可.

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：由频数分布直方图可得，

参加植树活动的班级有：4+5+7+5+3=24（个），故选项/说法正确，不符合题意；种植树木的数量

在3035这一组的班级个数最多，故选项2说法正确，不符合题意；

有4:-的I-5班+7级种2植树木的数量少于35棵，故选项C说法正确，不符合题意；

243

有3个班级都种树数量都大于40棵而小于45棵，故选项。说法错误，符合题意.

故选：D.

根据直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.

本题考查频数分布直方图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

9【答案】A

【解析】解：设牧童人数为y人，根据题意可列方程电+14=8g-2；

设竹竿数为x竿，根据题意可列方程一i

68

所以两位同学的方程均正确，

故选：A.

分别设出不同的未知数，列出方程后判断即可.

本题考查一元一次方程的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

10.【答案】C

【解析】解：结合图象可得，4B=10-AB+BD^20,AD=V2,

BD=10,

二平行四边形的周长为2（10+12）=44,

△43。为等腰三角形，

，4D边上的高为，4费—（；4D）2=J102—62=8，

点尸运动到BD的中点处时，则点尸到AD的距离为4x8=4,

2

则△4PO的面积为|x12x4=24.

故选：C.

结合图象可得，4B=10,AB+BD^20,AD=12,求出BD=10,再求出边上的高，进而得出

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答案.

本题主要考查动点问题的函数图象，根据图像获取有用信息是解题的关键.

11.【答案】2(m-I)2

【解析】解：原式=2(m2—2771+1)

=2(m-I)2.

故答案为：2(771—1)2.

直接提取公因式2,进而利用完全平方公式分解因式即可.

此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键.

12.【答案】0(答案不唯一，b<4即可)

【解析】解：•.•直线y=/-4+b仅为常数)不经过第二象限，

.-.-4+6^0,

解得bW4,

.♦.I可以为0.

故答案为：0(答案不唯一，b<4即可)

根据一次函数的图象与系数的关系解答即可.

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数〃=称+6(卜丹))中，当卜〉0,b<0时，函数

的图象经过一、三、四象限是解题的关键.

13.【答案】2

【解析】解：由题知，

-：AC=BC^

：,ZB=ACAB.

■：ABAD,

;.NB=NADB,

则/6=乙8,ZCAB=ZADB,

:.△ABDSMBA,

AB_CB

"RD=rBA，

又•：BC=2AB,BD=1,

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故答案为：2.

根据题意，得出再结合相似三角形的性质即可解决问题.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键.

14.【答案】|

【解析】解：•.■四边形是菱形，对角线/C、相交于点。，

=CO=AD,ACLBD,

.•.400=90°，

•.•菱形48CD的周长为20,

,,,AB+CB+CD+AD—4AD=20,

：,AD=5,

•.•点8为边/。的中点，

15

：,OH=-AD=-,

22

故答案为：|.

由菱形的性质得48=CB=CD=AD,AC1BD,则/AOO=90°,由

AB+CB+CD+AD=iAD=20,求得AO=5,而点8为边/。的中点，则OH=^40=］于是

得到问题的答案.

本题考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出菱形/BCD的边长是

解题的关键.

15.【答案】7

191o19

【解析】解：当U=y时，一工/+?2+1=三，

5555

整理得：/—82+7=0，

解得①1=7,©=1（舍去），

.•.点。到y轴的水平距离是7根，

故答案为：7.

12

根据题意，把沙=三代入解析式，解方程求出x的值即可.

本题考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键.

16.【答案】37r

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【解析】解：由题知，

△48。是等边三角形，

AABC=60°.

又•.•等边三角形N2C的边长为3,

“莱洛三角形”的周长是37r.

故答案为：37r.

根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题.

本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键.

17.【答案】-V3.

【解析】解：原式

=2^3-3^3

=—\/3-

先算乘法，再算减法即可.

本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

18.【答案］—4</<3.

【解析】解：解不等式3"+l）》2z—1,得：-4,

解不等式专9〉/+L得：2<3,

二不等式组的解集为：—4Wx<3.

求出每个不等式的解集，再求公共解集即可.

本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法.

19.【答案】2xy—成,—3.

【解析】解：原式=/一/一/+2叫

=2版-y2，

将2=1，〃=3代入，得：原式=2x1x3—3?=—3.

先利用平方差公式、单项式乘多项式进行化简，再把立=1,y=3代入计算即可.

本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键.

20.【答案】见解答.

3m.

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【解析】解：（1）如图2,作线段的垂直平分线，交于点E,交劣弧检于点尸,

则线段昉如图所示.

水而

图2

⑵连接OA,

由题意知，EF1AB，且点。在直线M上，

AE=BE=—A5=1.8m.

设该筒车的半径长为rm,

OE={r-0.6）m,OA=rm.

在RtZVl。石中，由勾股定理得，。石2+4石2=。/2,

即（T-0.6）2+1招2=72,

解得r=3,

,该筒车的半径长为36.

（1）作线段N3的垂直平分线，交4B于点、E,交劣弧公于点尸，则线段M如图所示.

⑵连接CM,由题意知，EF1AB，且点。在直线M上，可得46=_8后=：4吕=1.8血.设该筒车的半

径长为则OE=（r—0.6）机，CL4=z■馆.在RtZVIOE中，由勾股定理得，OE?+AE?=04,代入

求出厂的值即可.

本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理的应用、垂径定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题.

21.【答案】

4

3

4,

【解析】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中该班的张萌同学抽取的卡片上是4庄浪苹果的结

果有1种，

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该班的张萌同学抽取的卡片上是4庄浪苹果的概率为1.

4

故答案为：

4

（2）列表如下：

ABcD

AGM)")(4C)（4。）

B(瓦⑷(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,4)©B)（C,。）CD)

D（。，⑷(D,B)（2。）（3。）

共有16种等可能的结果，其中该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的结果有12种，

该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率为1工9=：3.

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中该班的张萌同学抽取的卡片上是4庄浪苹果的结果有1种，利

用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

22.【答案】12m.

【解析】解：由题意得=BE=CD=1.5m,

设48=cm，则4E=(①一1.5)加，

■：CE1AB,：,AAEC=9Q°,

在中，NACE=35°，

6_15

：,AE=CE-tan35°=0.7Bn,即RD=,右，

■：ABLBF,AAFB=26.6°,

tan=—«0.5,则BF=2a;，

解得a?=12,

.•.该古城墙的高度AB为12m.

AF

在RtZ\4BC中，由边角关系可得BF=243,在中，由边角关系可得笑=tan26.6°仁0.7,

CE

第16页，共22页

进而设48=/加，得到BF=2c，CE=2x-9,由直角三角形的边角关系列方程求解即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键.

23.【答案】7.8,75510名.九年级成绩相对更好.理由见解答(答案不唯一，说法合理即可).

【解析】解：⑴由题意得，a=[x(5+6+7x8+8x4+9x3+10x3)=7.8；把八年级抽取的学

生的竞赛成绩中从小到大的顺序排列，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，

二.八年级抽取学生的成绩的中位数是b=丁=7.5；

故答案为：7.8，7.5.

3+3

(2)1000x——+600x(15%)=510(名),

.•.估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名.

(3)九年级成绩相对更好.理由如下：

九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级.(答案不唯一，说法合理即可).

(1)根据加权平均数和中位数的定义求解；

(2)利用样本估计总体思想求解；

(3)从平均数、中位数或优秀率等方面进行比较即可.

本题考查了扇形统计图，众数，中位数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定

义是解题的关键.

-81

24.【答案】反比例函数的表达式为9=—；一次函数的表达式为沙=—«+3；

x2

3

rji

【解析】解：(1)将8(8,—1)代入沙=一中，得m=—8,

X

.•.反比例函数的表达式为5=—;

X

将A(—2,n)代入沙中，得几=4,

X

・•・4-2,4),

将4(—2,4),3(8,—1)分别代入片fcr+b中，得[丁凌)二；，

IOrv0—JL

屋--1

解得：k~2，

、b=3

二.一次函数的表达式为y=-^x+3;

第17页，共22页

(2)把/=0代入"=-1x+3得沙=3,

二。点坐标为(0,3),

-88

把V=3代入沙=——中，得i=—十

x3

.•.0点坐标为(—|,3),CD=^,

••,00=点产+g=孚・

(1)用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；

(2)求出点C坐标，再求出点。坐标，然后用勾股定理求出。£(即可.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式.

25.【答案】证明见解析；

\/2+2.

【解析】(1)证明：如图，连接。瓦

-：OC=OB,

AOBC=ZOCB=I'。。-广"=90°-jzBOC,

.•.ZOBC+|ZBOC=90°,

ZOBC+ZBAC=90%

・「BO是◎。的切线，

:.OBVBD，

:"OBD=40BC+NCBD=90°-

;2BAC=NCBD；

⑵解：•.•4。=AB，OC=OB，

AE垂直平分CB,

•.•/艮4。=45°，

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:"BOC=2ABAC=2x45°=90°，

•：OC=OB,AE1CB,

:"COE=/BOE==|x90°=45°,

•••50是0O的切线，

：,0BLBD,

.•.NOB。=90°，

："BEO=90°-/.BOE=90°-45°=45°，

ABOE=ABEO,NCOE=NBEO,

：,BE=OB=OC=OA^1，OC//BD,

：./\AOC^/\AED,

PCOA

,,痂=湘，

-：OC=OA，

：,DE=AE,

oc=OA=OB=BE=1,

：,OE=y/OB2+BE2=712+I2=V2>

：,AE=OE+OA=V2+1^

DE=AE=A/2+1'

BD=DE+BE=+1+1=\pi+2.

(1)连接03，由圆周角定理可得=由等边对等角及三角形的内角和定理可得

AOBC=AOCB=180°~^°C=90°-\ABOC,即=90°,进而可得

ZOBC+ZBAC=90°,由切线的性质定理可得OBLAD，则NOB。=NOB。+NCB0=90°,于是结

论得证；

(2)由4?=AB,OC=OB可知/E垂直平分C3,由圆周角定理可得NB。。=2/84。=90°，由三线

合一可得/。06=/8。6=；/80。=45°,由切线的性质定理可得则NOBO=90°，由直

角三角形的两个锐角互余可得NBEO=90°-ABOE=45°>进而可得NBOE=NBEO,

ACOE=ABEO,由等角对等边可得3石=。月=。。=04=1,由内错角相等两直线平行可得

OC1O4

OC//BD,进而可得△AOCS^/ED,于是可得第=胃，再结合。。=。4,可得OE=4E，由

UEAE

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勾股定理可得0E=y/OB2+BE2=V2，进而可得AE=OE+QA=四+1，则OE=4E=及+1，

然后根据BD=DE+BE即可求出BD的长.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质定理，线段垂直平分线的

判定，三线合一，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，内错角

相等两直线平行等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

26.【答案】四边形Z8CD是正方形，证明见解析；

FH=AH+CF.

【解析】解：(1)四边形是正方形.

理由如下：:GOrDF，DFLCE，AGIDG^

.-.ZG=NDFC=90