2025年高考数学复习 解答题之解题思路训练：数列求通项（隔项等差（等比）数列）含答案

2025年高考数学复习解答题解题思路训练专题04数列求通项(隔项

等差(等比)数列)(典型题型归类训练)(含答案)专题04数列求通

项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：隔项等差数列.............................................2

题型二：隔项等比数列.............................................3

三、专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)专项训练..............4

一、必备秘籍

1、隔项等差数列

已知数列｛«„｝,满足«„+1+4=于(n)-----(1),

a

贝!I%+2+n+\=/("+1)-----(2)；a“+an_｛=/(n-1)------(3)

(2)—⑴：az—d(其中d为常数)；或⑴一(3):a“+i—a,_i=d(〃打2)则称数列｛4｝为隔项等差数

列，其中：

①的,构成以4为首项的等差数列，公差为d；

(2)a2,a4,a6,as构成以内为首项的等差数列，公差为d;

2、隔项等比数列

已知数列｛q｝,满足。“+1•%=/(")-----(1),

a

则4+2'n+i=/("+1)-----(2)；an-an_x=f(n-1)------(3)

殍：展=4(其中q为常数)；或亶：&a=式〃22)则称数列｛4｝为隔项等比数列，其中：

(1)«„(3)an_｝

①的,%,%，%构成以对为首项的等比数列，公比为4;

②。2，。4，。6，。8构成以％为首项的等比数列，公比为4；

二、典型题型

题型一：隔项等差数列

例题1.(2023春•江苏南京•高二校考期中)已知数列｛%,｝满足q=1,a“+i+a“=4〃.

⑴求数列｛4｝的前100项和Si00；

(2)求数列｛q｝的通项公式.

例题2.(2020・高二单元测试)数列｛%,｝满足％=1,a“+i+a”=2〃，求。

例题3.(2023•福建宁德•校考模拟预测)已知数列｛4｝,也｝,4=1,%=f+4x3"T,

a+2eN

=l°g3an+2"(«*)-

(1)求证：数列｛%｝是等比数列，并求数列｛%｝的前一项和臬；

题型二：隔项等比数列

例题2.（2023春•辽宁•高二校联考期末）已知数列｛4｝满足卬=；,44+1=227.

⑴求｛4｝的通项公式；

例题2.（2023春•福建福州•高二校考期中）在数列｛%｝中，已知4=1,,记S“为｛4｝的前

n项和，b»=a2n+a2„_1,”eN*.

⑴判断数列｛b,,｝是否为等比数列，并写出其通项公式；

⑵求数列｛%｝的通项公式.

例题3.（2023春•甘肃白银•高二统考开学考试）在数列｛4｝中，%=64,且。"为包=24"+2.

⑴证明：｛%,｝,｛%1｝都是等比数列.

（2）求｛4｝的通项公式.

三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练

一、单选题

1.（2023春•河南驻马店•高二统考期中）已知数列｛4｝满足q=1,。角"=2"56$）,\是数列｛叫的前“

项和，则52023=（）

2023|0132023

A.2-1B.2-3C.3X21013-1D.3x2-2

二、多选题

2.（2023春•广东韶关■高二统考期末）已知数列｛七｝满足4=1,an+l+an=4n,则（）

A.。2。23=4。45B.S"是｛q,｝的前〃项和，贝”10G=2000。

C.当〃为偶数时=2〃+1D.｛%｝的通项公式是4=2〃-1

三、解答题

3.（2023秋・浙江•高三校联考阶段练习）已知为数列｛4｝的前〃项和，％=1,S,M+S,,=5+1）2.

（1）证明：an+l+an=2n+1.

（2）求｛%｝的通项公式.

2+1

4.（2023春•四川德阳•高二统考期末）己知正项等比数列｛玛｝对任意的〃eN*均满足ana„+i=2".

⑴求｛%｝的通项公式；

5.（2023,全国•高三专题练习）已知数列｛七｝满足：q=3,aj%=《J（〃eN*）,求此数列的通项公式.

6.（2023,全国•高三专题练习）数列｛%｝满足：«i=0,a„+1+a„=2n,求通项

7.（2023春・湖北武汉•高二统考期末）已知各项均为正数的数列｛”,｝满足：4=1,an+an+1=4n+l.

⑴求数列｛。”｝的通项公式；

72

8.（2023•全国•高三专题练习）己知数列｛%｝满足：a1=2>0,a„-a„+1=2-".

（1）当2=盘时，求数列｛%｝中的第10项；

（2）是否存在正数4,使得数列｛q｝是等比数列，若存在求出4值并证明；若不存在，请说明理由.

9.（2022秋•重庆南岸•高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列｛玛｝中，己知a用+凡=3-2",q=l.

⑴求证：｛。"-2"｝是等比数列.

10.（2022•安徽黄山,统考一模）已知数列｛〃,｝满足。1+%=2〃+3（〃€川,〃22）,且出=4.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

Q

11.（2022秋广东•高二校联考期末）已知等比数列｛4｝对任意的〃eN+满足/+6+1=三.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

12.（2022秋•湖北襄阳•高二襄阳四中校考阶段练习）已知数列｛%｝冯=2,且满足〃eN*，有用=22。

（1）求数列｛q｝的通项公式。“：

13.（2022秋•江苏盐城•高三统考期中）数列｛%｝中，％=2,a“+a”+|=2〃+l,〃wN*.

⑴求｛%｝的通项公式；

专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：隔项等差数列.............................................2

题型二：隔项等比数列.............................................3

三、专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)专项训练..............4

一、必备秘籍

1,隔项等差数列

已知数列｛。“｝,满足%+i+4=/(n)------(1),

贝！I4+2+4+i-f｛n+V)-----(2)；an+an_x-/(n-1)-------(3)

(2)-⑴:味-(其中d为常数)；或⑴一(3)：。用一。“一=d(〃打2)则称数列｛4｝为隔项等差数

列，其中：

①%,%,%，%构成以％为首项的等差数列，公差为d；

②出,应，。6，。8构成以％为首项的等差数列，公差为d;

2、隔项等比数列

已知数列｛«„｝,满足%•4=f(n)-----(1),

a

则4+2'n+i=/(〃+1)------(2)；an-a“_i=f(n-l)------(3)

殍:4±l=q(其中"为常数)；或襄：4包=以〃22)则称数列｛4｝为隔项等比数列，其中：

①的,构成以4为首项的等比数列，公比为4；

@a2,a4,a6,a8构成以出为首项的等比数列，公比为4;

二、典型题型

题型一：隔项等差数列

例题1.(2023春•江苏南京•高二校考期中)已知数列｛可｝满足％=1,a“+i+a”=4〃.

(1)求数列｛为｝的前100项和5100；

⑵求数列｛4｝的通项公式.

【答案】⑴10000

(2)an=2n—l

【详解】(1)=an+i+an=4n,

5/00=(。/+。2)+(。3+”4)+…+(〃99+〃/00)

=4xl+4x3+...+4x99=4x(l+3+5+...+99)

=4x502=10000.

(2)an+i-\-an=^n,①

an+2~\~cin+i=4(n-\-l),(2)

由②—①得，an+2—an—^,

由=。/+。2=4,所以〃2=3.

当〃为奇数时，an=a\+---l1x4=2〃-1,

当”为偶数时，％=。2+]-1卜4=2”-1,

综上所述，an=2n-l.

例题2.(2020•高二单元测试)数列｛4｝满足％=1,4+j+。“=2〃，求。”.

【答案】为奇数，a“=n-l,ri为偶数

【详解】由。同+4=2",得%+2+%=2(〃+1),

两式作差得4Z+2-%+2,即Q〃+2一册=2

4—1,a?—2—a1—1

•••数列｛。。｝的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，

偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.

则当。为奇数时，％=1+2(罟•-1)=〃；

VI

当。为偶数时，a„=l+2(--l)=n-l.

为奇数，%=w-l,w为偶数

例题3.(2023•福建宁德•校考模拟预测)己知数列｛4｝,｛2｝,4=1,an+l=-a,+4x3"」，

4T鸣4+产(〃eN*).

⑴求证：数列｛%｝是等比数列，并求数列｛%｝的前〃项和S,；

【答案】①证明见解析；5„=|X3"-1

T」1

(2)"-3(»+1)3"+1

【详解】⑴因为。用=R“+4x3i,所以“用+4=4x3”」，

当〃=1时，%=-%+4x3°=3

当〃22时，an+=4x3”一2

所以%+i-%=4x3a-4x3〃-2=8x3〃-2

135n-3

则当〃为偶数时，a4-a2=8x3,<26-iz4=Sx3,as-a6=8x3,,an-an_2=8x3

更力匕曰8X31-8X37X3224-8x3^^&诉-i

累加得：〃〃一%=--------2------=----------=3-3,所以〃及二3r

1—3—8

当“为奇数时，"+1为偶数，贝风+1=3",则此时%=Y“M+4X3"T=-3"+4X3"T=4X3"T-3X3"T=3'T,

综上可得册=3"T

3〃

所以3n=而=3,则数列｛4｝是以％=1为首项，4=3为公比的等比数歹！J,

an3

甘“不工no1-3"-1X31仙1

其刖几项和S=--------二—x3—

〃1-322

题型二：隔项等比数列

例题L(2023春•辽宁•高二校联考期末)己知数列｛%｝满足％=；,。/向=22"-5.

(1)求｛%｝的通项公式；

【答案】⑴凡=2"3

2523

【详解】(1)«A+1=2--,.•.«B+A+2=2--,

两式相比得吐=4.

%

1_1

q=7=2-3w0,「.%=w00•

数列｛%a｝是以:为首项，4为公比的等比数列；

数歹式的,｝是以3为首项，4为公比的等比数列.

•••出1=g4"一=2叱a,%=；X4〃T=22-

综上，｛%｝的通项公式为a”=2-3.

例题2.（2023春・福建福州•高二校考期中）在数列｛4｝中，已知%=1,an-an+1=（^,记S“为｛见｝的前

〃项和，bn=a2n+a2n_x,〃GN*.

⑴判断数列｛2｝是否为等比数列，并写出其通项公式；

⑵求数列｛〃〃｝的通项公式.

【答案】（1）是等比数列，bn=^

又％=1,4%~~»所%=5，

因为2=〃2〃+。21，

£1

所以%1=%“+2+%“+1=,

或«2„+«2„-1。2“+。2”12

所以也｝是以伪=%+4=］为首项，公比为:的等比数列，

2/

后|、|八3（1Y-13

所以仇=烈之=犷

（2）由（1）知%+2=；%，所以4,生，生，•是以4=1为首项，g为公比的等比数列;

出-是以外=:为首项，公比为J的等比数列，

2/

n-1

2

，”为奇数

所以为=,

2为偶数

例题3.（2023春•甘肃白银•高二统考开学考试）在数列｛4｝中，％=64,且

⑴证明：｛%｝，｛%1｝都是等比数列.

⑵求｛4｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析

(2)4=4"

olO

【详解】(1)证明：因为。3=64,且％%=24〃+2,所以出=二=16,^=-=4.

6416

o4(〃+l)+2a

因为==三丁=16,故a=16,

anan+lan2

所以％±1=16,咏=16,

a2na2n-\

则｛%"｝，｛的i｝都是公比为16的等比数列.

（2）由（1）知｛%“｝，｛%〃/都是公比为16的等比数列，所以的“=。216"7=16、16"7=16"=42”，

=。J6'i=4x16'i=42R,

故对任意的〃eN*,a.=4"

三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练

一、单选题

1.（2023春•河南驻马店,高二统考期中）已知数列｛%｝满足%=1,%+】•%=2"（"eN+）,S„是数列｛风｝的前n

项和，则$2023=（）

A.22023-1B.2'0|3-3C.3X21013-1D.3x22023-2

【答案】B

【详解】由题设44=。2=2,且a“+2”“+i=2"',

所以娱&k=.=2,即4=2,

当〃=2%—1且上eN*时，｛%｝是首项为L公比为2的等比数列，则出i=2"'；

当〃=2左且后wN*时，｛〃"｝是首项为2,公比为2的等比数列，则%=2,

]21°i22(1_21°H)

邑023=+〃3+•••+々2023)+(a?+〃4+•••+°2022)------------1-----------------=2^^—3.

1-21-2-'

故选：B

二、多选题

2.(2023春•广东韶关•高二统考期末)已知数列｛%｝满足4=1,。用+。“=4〃，则()

A.%。23=4。45B.S“是｛风｝的前〃项和，贝”必=20000

C.当〃为偶数时氏=2〃+1D.｛%｝的通项公式是为=2〃-1

【答案】AD

[详解】数列满足4=1,+a„=4n,

因为%=1,an+1+an=4n,所以，S100=+4Z2)+(tZ3+«4)++(«99+^00)

4x1+9x50

=4xl+4x3++4X99=4X(1+3+5++99)=(^)=10000；B错；

由题意，。用+g=4"①，%+2+%+1=4(〃+1)②，

由②一①得，an+2~an=4,由％=1,%+%=4,所以出=3,

当〃为奇数时，设〃=2左一l(%eN*),

则4=al+4(k-l)=l+4k-4=4k-3=2(2k-l)-l=2n-l,

当”为偶数时，设〃=2左伍"*),

贝!ja.=兄+4(左一1)=3+4k—4=4k—1=2n—1,

综上所述，对任意的〃wN*,an=2n-1,C错D对；

a2023=2x2023-1=4045,A对.

故选：AD.

三、解答题

2

3.(2023秋・浙江•高三校联考阶段练习)己知S"为数列｛4｝的前〃项和，4=1,S„+1+S„=(H+1).

⑴证明:%+1+4,=2〃+1.

⑵求｛%｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析；

(2)an=n-

【详解】(1)当“=1时，邑+工=4,则%+2q=4,而q=1,则4=2,

当〃22时，由“+S,=(“+1)2,得S“+S,T="2,两式相减得a“+i+%=2〃+1,

又q+?=3=2x1+1,满足上式，

所以当“cN*时，an+l+an=2n+\.

(2)%+2—%=(%+2+%+1)一(%+%)=(2"+3)-(2〃+1)=2,

因此｛%｝的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，a2„_1=«1+2(«-l)=2n-l,

｛%｝的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，出“=2+2(〃-1)=2〃，于是见=〃，

所以｛%｝的通项公式是4,=".

4.(2023春•四川德阳•高二统考期末)己知正项等比数列｛%｝对任意的〃eN*均满足《4+产22-+1.

(1)求｛。,｝的通项公式；

【答案】(1)。“=2"

【详解】(1)设公比为式4＞。)，

由。“。用=2?向，得当“22时,%a“=2»

两式相除得如=4=d,所以q=2,

an-\

又〃1%=23,则2〃；=8,所以4=2(%=-2舍去)，

所以2=2X2"T=2〃；

5.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛〃"｝满足：4=3,a〃q+|=Q；(〃£N*),求此数列的通项公式.

，加二2左一1,左wN*

,n=2k,ksN*

【详解】在数列｛〃〃｝中，由弓=3,4/4+1=[()得。2=:，当〃22时，an_x-an

两式相除得：子=；，因此数列｛%-｝构成以4=3为首项，；为公比的等比数列；

an-\乙乙

数列｛%,｝构成以%=3为首项，3为公比的等比数列，于是出

3x,〃=2%—1,左£N

所以数列｛«„｝的通项公式是为=

1

—x,n=2k,k£N

6

6.(2023•全国•高三专题练习)数列｛%｝满足：«1=0,«„+1+«„=2«,求通项％.

n-1,〃为奇数

【答案】%=

n,"为偶数

【详解】因为4=0,%+?=2",

所以当九=1时,。2=2—4=2,

当2时，an+Q〃T=2（n-l）,

aa

两式相减得：n+\~n-\~2,

.•.%、/、%构成以内为首项，2为公差的等差数列；

。2、%、4构成以〃2为首项，2为公差的等差数列，

左-1=%+（k—1）x2—2k—2,

a2k=a?+（左一1）x2=2k,

_1九-1,〃为奇数

‘""二[〃,〃为偶数

7.（2023春糊北武汉•高二统考期末）已知各项均为正数的数列｛%｝满足：%=1,an+all+1=4n+l.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

【口案】⑴“"=[2w,w为偶数

【详解】（1）解：由a,+a〃+i=4〃+1,

当“22时，a„_,+an=4n-3,

二%=4,

又。1+%=5,q=1,

/.4=4。

当〃=2左一1,左£N*时，%k-i=6+（左一1）乂4二4左一3,

:九为奇数时，an=2n-\；

当〃=2左时，〃22=%+（左一1）乂4=4%，

〃为偶数时，an=2n

为奇数

二""=（2〃,"为偶数；

8.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛〃“｝满足：％=4>0,。〃♦。向=27-2〃.

（1）当2=盘时，求数列｛%.｝中的第10项；

（2）是否存在正数4,使得数列｛q｝是等比数列，若存在求出4值并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）当

256

（2）存在，2=8,证明见解析

【详解】（1）由已知。屋。用=27-2",

所以a“9i=2j,

相除得手=:；

an-\"

Q]—,%■%—2^,

所以q=2%

（2）假设存在正数X,使得数列｛%｝是等比数列,

32

由。2,%=2,得出=—，

A,

由a?,%=8,彳导%~~~~,

4

因为｛。〃｝是等比数列，%,%=64,即丸=8,

下面证明4=8时数列｛4｝是等比数列,

由（1）知数列｛%,_]｝和｛%,｝都是公比是:的等比数列,

4

所以〃为奇数时，氏=2"",凡为偶数时，an=2-,

所以对一切正整数”，都有。"=2~,

01

所以工=3,

an-l2

所以存在正数A=8使得数列｛4｝是等比数列.

9.（2022秋•重庆南岸•高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列｛4｝中，已知。“”+凡=3-2",4=1.

⑴求证：｛。"-2"｝是等比数列.

【答案】⑴证明详见解析

⑵…+*

【详解】(1)由%+4=3-2",得1-2角+4=33-2*2",

即见+「2加=_（氏_2"）,

所以｛%-2"｝是首项为4一＞=-1,公比为-1的等比数列.

10.（2022•安徽黄山•统考一模）已知数列｛。"｝满足%+%=2〃+3（〃©河,北2）,且%=4.

⑴求数列｛见｝的通项公式；

【答案】⑴V=〃+2

【详解】（1）解:由题知。“一1+%=2"+3①,

因为%=4,

所以4+%=7,

解得q=3,

当〃23时4_2+%T=2"+l②,

①-②可得:

a„-a,.-2=2,

所以当〃为奇数时,

a“-a,_2=2,a,_2-a吁i=2,,a5-a3=2,a3-^=2,

以上式子相加可得:

n-2+1

=2

2

化简可得4,="+2,4=3满足上式,

所以当〃为偶数时,

。“一%一2=2,4_2一。,1=2,,a6-a4=2,a4-a2=2,

以上式子相加可得:

(n-2)

=2--------

化简可得%=〃+2,%=4满足上式,

综上：an