2025京改版九年级（上）期末数学汇编：二次函数2（解答题）

2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

二次函数（京改版）（解答题）2

一、解答题

1.（2025北京西城初三上期末）已知二次函数y=/一4X+3.

（1）将y=/_4x+3化成y-a^x-hy+k的形式；

（2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

⑶当了<0时，结合图象，直接写出尤的取值范围.

2.（2025北京丰台初三上期末）在平面直角坐标系xOx中，/>（%,%）,。（%,%）是抛物线〉=--2〃吐+2上

的两点.

（1）求抛物线的对称轴（用含根的式子表示）；

（2）对于x2=4m,都有％<%，求机的取值范围.

3.（2025北京东城初三上期末）已知二次函数y=/-6x+8.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标；

（2）当0WxW4时，，的取值范围是一.

4.（2025北京通州初三上期末）在平面直角坐标系中，二次函数y=依?+bx+c（a>0）的图象经过点

（2,c）.

（1）求此二次函数图象的对称轴；

⑵若二次函数〉=⑪2+云+°（。>0）的图象上存在两点B（x,,y2）,其中<加，

m+2<x2<m+4,且％=%，求机的取值范围.

5.（2025北京房山初三上期末）记二次函数y=+c和y=-a^x-m）2+n^a^0）的图像分别为抛物

线G和G-给出如下定义：若抛物线G1的顶点0（办〃）在抛物线G上，则称G1是G的伴随抛物线.

⑴若抛物线Q:y=-2（尤-s）2+2和抛物线2：2=-2（尤-3）2+/都是抛物线y=2x2的伴随抛物线，则

s-

（2）设函数y=f-2履+24+3的图像为抛物线G?.若函数y=-无2+px+g的图像为抛物线G3,且a始终是

G3的伴随抛物线，

①求p,4的值；

②若抛物线G与x轴有两个不同的交点（为,0）,（%,0）（玉<々），请直接写出4的取值范围.

6.（2025北京海淀初三上期末）在平面直角坐标系中，点A（l+a,yJ,8（6,%）是抛物线

y=ax2-2ox（aw0）上不重合的两点.

（1）当。=1,%=%时，求6的值；

（2）若对于2<b<3,都有为<%，求〃的取值范围.

7.（2025北京东城初三上期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2/）在抛物线y=f_（机+3卜+3机上，设

抛物线的对称轴为直线x=J

⑴当”=3加时，求r的值；

⑵点在抛物线上，若"加<0,比较%,%的大小，并说明理由.

8.（2025北京东城初三上期末）如图1,某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边48,

AC,和抛物线的一段（点£为抛物线的顶点）构成.以A8的中点。为原点，分别以直线48和抛物

线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.其中，AB=12米，AC=3D=3米，

OE=7米.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米.若行车道

的总宽度为8米，且。为"N的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度.（车道分界线的宽度忽略

不计）

9.（2025北京三帆中学初三上期末）某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的

小球出口C离地竖直高度OC=1.6米.如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象

为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形MNP。为移动的接球盒，其中M2=1米，MN=0A

米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点。离

出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米.

(1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程0A；

(2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到；

(3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球(即射出的小球都能落入水平移动的接球盒"NPQ中)，请直接

写出接球盒距发射器的水平距离OM的取值范围.

10.(2025北京三帆中学初三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=一2依一3(。＞0)上有

两个点(孙匕)和(巧，无)

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)若对于2＜不＜3,团＜马＜〃2+1都有%＞%,求优的取值范围；

⑶若对于-2＜玉＜-1,2＜%＜3都有%%＜。，求证：3a-3=0.

11.(2025北京昌平初三上期末)已知二次函数y=W-4X+3.

:::::

I____I____I____I____I____L________1___I____I____I____L-

-0

(1)求二次函数图象的顶点坐标;

(2)在平面直角坐标系尤Oy中，画出二次函数的图象；

(3)当1〈尤＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.

12.(2025北京三帆中学初三上期末)已知二次函数丁=--2丫-3.

(1)求此函数图象的对称轴及抛物线与x轴的交点坐标；

(2)用五点法画出此函数的图象；

⑶若点人(。,另)和8(2,%)都在此函数的图象上，且％〉%，结合函数图象，直接写出。的取值范围.

13.(2025北京燕山初三上期末)已知抛物线>=依2+桁+。(。/0)图像上部分点的横坐标尤与纵坐标y的

(2)结合图像直接写出当09区4时，y的范围.

14.(2025北京燕山初三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=ax2-2ax+4-(a>0).

yt

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-\O12345x

-1

-2

-3

-4

-5

⑴抛物线的对称轴为％=—;抛物线与丁轴的交点坐标为—；

(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式;

(3)若A(m—1,")，B<Lm,”)，C(m+2,”)为抛物线上三点，且总有结合图象，求相

的取值范围.

15.(2025北京门头沟初三上期末)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边

足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABC。(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm.

(1)若花园的面积为1921n2,求x的值；

(2)若在尸处有一棵树与墙CD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界，不考

虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.

参考答案

1.(l)y=(x-2)2-l

(2)见解析

(3)l<x<3

【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次

函数的图象成为解答本题的关键.

(1)运用配方法将原解析式化为顶点式即可；

(2)根据(1)所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可；

(3)根据函数图象确定当了<0时对应的尤的取值范围即可.

【详解】(1)解：y=x2-4x+3

=x2-4x+4-4+3

-1；

(2)解：列表:

X01234

y30-103

2.(1)直线x=

(2)——<m<—

24

【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等，解题关键是掌握二次函数与方程及不

等式的关系，

(1)把函数解析式化成顶点式，即可求解；

(2)求出点(4加,%)关于对称轴对称点为(-2根,%),然后分机>3,\<m<3,0<m<l,相<0讨论，根

据抛物线开口向上及上〈丹求解即可.

【详解】(1)解：Vy=x2-2mx+2=(^x-ni)~+2-nr,

•*.抛物线的对称轴为直线x=m.

(2)解：：抛物线对称轴为直线x=m,

.,.点(4m,必)关于对称轴对称点为(-2m,%),

当机>3时，则4机>12,

1<^<3,

x2>xx

•・•抛物线开口向上，当X>加时，y随X增大而增大，

・・%>%，

这与%相矛盾，故不符合题意，舍去；

当14切43时，4<4m<12,

,/1<^<3,

x2>x1,

•・•抛物线开口向上，当加时，y随X增大而增大，

与为〈必相矛盾，故不符合题意，舍去；

当0«机<1时，贝!］一2M<一2,

•・•抛物线开口向上，当加时，y随x增大而增大，

4m<1,

..m<—,

4

当机vO时，

•・•抛物线开口向上，当工〉加时，y随x增大而增大，

/,—2m<1

.、1

・・m〉—,

2

----<YYI<0,

2

…11

综上，-2<W<4

3.(1)(3,-1)

(2)-l<y<8

【分析】(1)把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用y=a(x-〃)2+上的性质即可得解;

(2)根据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：=x2-6x+8

=(x?-6x+9)-1

=(x—3)~—1,

；•二次函数丁=/-6尤+8的图象的顶点坐标为(3,-1)；

(2)解：•.z=l>0且对称轴x=3在0WxV4的范围内，

当尤=0时函数值有最大值，最大值为8,

当x=3时函数值有最小值，最小值为-1,

函数值y的取值范围是T<V<8,

故答案为：-14yV8.

【点睛】本题主要考查了把y=o^+6x+c化成顶点式，y=4(x-〃y+A的图象与性质，二次函数的图象

与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

4.(1)此二次函数图象的对称轴是直线x=l

(2)-1<772<|

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题(2),正确设二次函数的顶点式是解题关键.

(1)先求出二次函数经过点(0©和(2,c),再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；

(2)先根据(1)设二次函数的解析式为y=a(x-l>+Na>0),再求出％=。(占一工2)(玉+赴-2),

判断出国-％2<。，2m+l<xi+x2<2m+4,从而可得玉+々=2,据此建立不等式组，解不等式组即可

得.

【详解】(1)解：对于二次函数y=G^+6x+c(a>0),

当x=o时，y=c,

这个二次函数的图象经过点(O,c),

又；这个二次函数的图象经过点(2,c),

・•・此二次函数图象的对称轴是直线X二下=1.

(2)解：由(1)可设二次函数的解析式为1)2+左(〃>0),

・・・这个二次函数的图象上存在两点A(%,%),B(X2,%)，

2

；・X=〃(七一Ip+左，y2=a(^x2—l)+k,

...%—%=[〃(玉-1)+左]—1)+%]

=a(F_1)—a(%2—1)

=。[(%-1)2-伍-1)[

=〃(%[-%2)(芯+%2-2)，

*.*m-1<x1<m,m+2<x2<m+4,

/.xl-x2<0,2m+1〈玉+%<2m+4,

,・•％=%，a>0,

乂一％=。（玉_/）（玉+X2-2）=0，

%-2=0,即玉+Z=2,

2m+l<2<2m+4,

—1V77?<一.

2

5.（1）±1；18

（2）①p=2,q=3；②为<-1或1<大<3

【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题

关键.

（1）根据题意确定点62）,（3，。在y=2/的伴随抛物线上，代入求解即可；

（2）①根据题意确定顶点坐标为：（左，-左2+2左+3）,然后代入解析式得出2左+3=pk+*即可求解；

②根据题意得出顶点坐标（匕-公+2左+3）在>=_/+2x+3图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果.

【详解】（1）解：二次函数y=-2（无一s）?+2和y=-2（x-3y+r都是抛物线y=2V的伴随抛物线，

.•.点（s,2）,（3J）在y=2一的伴随抛物线上，

代入得：2=252,/=2x3?,

解得:s=±l,t=18,

故答案为:±1；18;

（2）CDy=-2kx+2k+3=x~—2kx+k~—k~+2k+3=（尤一k¥-+2k+3,

顶点坐标为：（匕-/+2左+3）,

••・函数y=+px+q的图像为抛物线Gj,且a始终是G3的伴随抛物线，

-k~+2k+3=—k~+pk+q,

整理得：Ik+h—pk+q,

••p=2,q=3.

②与无轴有两个不同的交点（工,0）,（孙0）,

由①得：函数>=--+2工+3的图像为抛物线63,且&始终是Gj的伴随抛物线，

，顶点坐标（匕一公+2左+3）在y=-x?+2x+3=-（x-l）2+4图像上滑动，顶点为（1,4）,

当一比2+2尤+3=0时，

解得：占=一1,%=3,

抛物线与无轴交（-1,0）,（3,0）两个点，

:5顶点坐标为：（k-k2+2k+3）,

故当-1V人<3时，&的顶点在x轴上方，则与x轴没有交点,

当左<-1时，抛物线62与工轴有两个交点，为<一1,

当上>3时，：G3的顶点(1,4)也在G?上，

/.1<%!<3.

综上所述，不<-1或1<X]<3.

(2)0<a<l^a<-2

【分析】本题考查二次函数的性质；

(1)由a=1求出4(2,0),y=/-2x,再根据％=%得到39，0)，代入y=V-2x计算即可；

(2)》=依2-26(awO)的对称轴为x=-言=1,根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向

分类讨论.

【详解】(1)解：当。=1时,A(2,yJ,y=x2-2x,

将A(2,yJ代入y=Y-2x得，％=2?-2x2=0,即A(2,0)

%=%，

%=°,

将3(6,0)代入y=V-2x得，Q=b°-2b,

解得：匕=0或6=2,

•点A、8不重合，

b=0；

(2)解：,；)=依2—2依(OH。)的对称轴为x=--^-=1,

3。,为)关于对称轴对称的点坐标为(2-

当。>0时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当x>l时，，随x增大而增大，

・・1+a>1,

'：2<b<3,

,3伽％)都在对称轴右侧，

:对于2<6<3,都有％<%，

\+a<2<b<?f,解得止匕时OVQ<1；

当avO时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，>随犬增大而增大,

・♦1+Q<1,

V2</?<3,

A-l<2-/?<0

A(l+a,yJ,(2-Z?,%)都在对称轴的左侧，

•・,对于2<人<3,都有％<%，

•**1+6Z—1<2—Z?<0j解得2,止匕时aK—2；

综上所述，a的取值范围为Ova<1或。<-2.

7.⑴1=1

(2)%>%

【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

m+3

(1)根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线尤=丁，结合已知求解即可;

35

(2)先根据己知求得。<机<2,进而求得=然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函

22

数值越大求解即可.

【详解】(1)解：；点(2,〃)在抛物线ynf-W+B'x+B以上”

n=22-(»i+3)x2+3〃？=,

*.*n=3m,

m—2=3m,解得加=—1,

由y=f—(加+3卜+3机得抛物线的对称轴为直线X=胃=t,

-1+3

t=-------=1;

2

(2)解：Vn=m-2,mn<0,

m>0、m<0

/.m(m-2)<0,则租-2<0或

m—2>0'

0<m<2,

m+3

2

35

—<t<—

22

-(-t)=2t>3,t+l-t=l<3,又抛物线的开口向上,

M>%.

8.(1)y=千+7

(2垮米

【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键.

(1)利用待定系数法求解解析式即可；

(2)先将x=4代入(1)中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即

可.

【详解】(1)解：根据题意，抛物线经过点。(6,3),矶0,7),

设抛物线的解析式为y=ax2+c,

36o+c=3a

则，解得~~9,

c=7

=7

抛物线的解析式为>=-[/+7；

(2)解：根据题意，N(4,0),

1c47

当尤=4时，y=—x42+7=—,

99

•••与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，

J.7QQ

通过隧道的车辆的限制高度为，1弋米

9.(l)y=-*(x-2)2+2,小球最大射程Q4为(2+2石)米

(2)4

(3)2<OM<5

【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数

与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键.

(1)由顶点。(2,2)得，设y=a(无-2了+2,再根据抛物线过点QL6),可得”的值，从而解决问题；

(2)由对称轴知点(0,L6)的对称点为(4,1.6),则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移4cm得

到的，即可得出结论；

(3)根据尸。=0.4,令y=04解方程求出x的值，再根据最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平

移4cm得到的，求出OAf的取值范围.

【详解】⑴解：由题意得，。(2,2),

设抛物线解析式为y=g-2)2+2.

•••抛物线经过点(0，L6),

「.4a+2=1.6,

解得。=$,

•••最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为y=-5(x-2)2+2；

当y=。时，贝!)-焉(方-2尸+2=0,

:.占=2+2布,&=2-2亚(舍去)，

二小球最大射程。4为(2+2行)米；

(2)解：•••抛物线的函数解析式为y=q(x-2>+2,

二对称轴为直线x=2,

・・•点(0,L6)的对称点为(4,1.6),

最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，

故答案为：4；

(3)解：-：PQ=0A,

令>=0.4,贝I]-*(X-2)2+2=0.4.

解得演=6,x2=-2(舍)，

要使接球盒能接住小球O"V6-1=5.

由(2)知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的，

OM>6-4=2,

即接球盒距发射器的水平距离OM的取值范围为2<OM<5.

10.⑴直线尤=1；

(2)W—2或23；

(3)证明见解析

【分析】(1)根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；

(2)由抛物线对称轴为直线x=l,2<X1<3,则点(%,%)在对称轴右侧，故其关于对称轴对称点横坐标

满足然后根据二次函数的增减性即可求解；

(3)由2<%<3,对称轴为直线x=l,则(%2小)关于对称轴对称点横坐标满足T<x<。，又在对称轴左

侧y随x的增大而减小，从而判断%>。>%，故x=T时，>=0,然后代入即可求证；

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键.

【详解】(1)解：•..抛物线，=62—26一3(。>0),

/.抛物线对称轴为直线x=W=1;

-2a

(2)解：:•抛物线对称轴为直线x=l,2<玉<3,

二点a，%)在对称轴右侧，

其关于对称轴对称点横坐标满足-1<X<0,

由。>0可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，

:当机<加+1都有%>%,

“2+14-1或〃*3，

解得：〃区一2或“亚3；

(3)证明：：2<%<3,对称轴为直线尤=1,

(尤2，%)关于对称轴对称点横坐标满足-1<X<O,

•.•在对称轴左侧y随x的增大而减小，

%>>2，

X%<°，

M>°>%,

x=-1时，y=0,

y=a+2a—3=0,即3a—3=0.

11.(1)二次函数图象的顶点坐标为(2,T)；

(2)画图见解析；

(3»的取值范围为-1分<3.

【分析】(1)把y=/-4x+3通过配方配成顶点式即可求解；

(2)根据画函数图象的步骤即可求解；

(3)根据函数图象即可求解；

本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：Vy=x2-4^+3=(%2-4x+4)+3-4=(x-2)2-l,

二次函数图象的顶点坐标为(2,7)；

(2)①列表：

X•・・-0.5012344.5・・・

y=炉-4%+3・・・5.2530-1035.25•••

②描点:

③连线:

如图：

(3)根据图象可知：在时,

当x=2时，y有最小值-1；当x=4时，y有最大值3,

.•.当1<X<4时，y的取值范围为TVy<3.

12.(l)x=l,抛物线与X轴的交点坐标为(3,0),(-1,0)

(2)见解析

⑶a<0或a>2

b

【分析】(1)根据抛物线的解析式，对称轴为》=-9,令>=。，解方程，即可得到抛物线与X轴的交点

2a

坐标;

(2)先列表，然后描点、连线即可;

(3)根据函数图像求解即可.

［详解］(1)解：..■抛物线的解析式为y=/-2x-3,

b-2

二对称轴为尤=_五=一两=1,

令尸0,贝"一级-3=0,

解得：玉=3,x2=-l

抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),(-1,0)；

(2)解：列表如下:

X-10123

y=x2-2x-30-3-4-30

(3)解：；%点3(2,—3),

由函数图象可知，或a>2.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握知识

点，数形结合是解题的关键.

13.(l)y=x2-2x-3,图见解析

(2)T4y45

【分析】(1)根据表格得出抛物线过点。，-4)、(-1,0)、(3,0),将点坐标代入抛物线解析式求出小b、c

即可，再利用描点法画函数图像；

(2)利用图像可直接得到答案.

【详解】(1)解：：设二次函数的解析式为丁=依2+法+40片0),

由题意得：当尤=0时，产―3,

c=—3,

<元=1时，y=-4,当％=—1时，y=0,

.fa-b-3=0

"[a+b-3=-4,

fa=l

解得％

y=x2-2x-3；