2025京改版九年级（上）期末数学汇编：圆（下）章节综合（非解答题）

2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

圆（下）章节综合（京改版）（非解答题）

一、单选题

1.（2025北京朝阳初三上期末）如图，PA,分别与。。相切于A,B两点,/尸=70。，则/C为

2.（2025北京昌平初三上期末）如图，00是AABC的内切圆，切点分别是。，及尸,AB=3,CE=2,则

VABC的周长为（）

3.（2025北京门头沟初三上期末）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定AABC内心的是（）

4.（2025北京密云初三上期末）如图，A,8是平面内两定点，C,。是平面内两动点，且满足A8

//CD,AB=CD.下列说法中，①A,B,C,。四点一定在同一个圆上；②若AC=BD,则A,B,C,D

四点一定在同一个圆上；③若AC1BD,则四边形ABC。的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形

ABCD既有外接圆，又有内切圆.所有正确说法的序号是（）

DC

.1B

A.①②B.②④C.②③④D.①②③④

5.（2025北京通州初三上期末）如图，是。。的直径,点。在48的延长线上，DC切OO于点C,如

D.3

6.（2025北京东城初三上期末）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，AB所在圆的圆心C恰好

是AMO的中心.若43=若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（）

7.（2025北京丰台初三上期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直

径的数量关系的研究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直

角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的

矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a,b,。的式子表

示）为（）

2c

D.d=

a+b+c

8.（2025北京房山初三上期末）已知圆的半径为9,那么160。的圆心角所对的弧长是（）

A.4B.8C.4万D.8万

9.（2025北京东城初三上期末）如图，尸A形与OO分别相切于点A,B,PA=2,/P=60。，贝的

长度为（）

A

O'P

A.73B.2C.3D.2A/3

10.（2025北京通州初三上期末）如图，已知。。及00外一定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个

①点A是尸O的中点；

②直线P。，PR都是。。的切线；

③点P到点。、点R的距离相等；

④连接PQ，QA，PR>RO，°Q>则=g$四边形PRO。•

o

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确B.只有②正确C.①②③正确D.①②③④都正确

二、填空题

11.（2025北京朝阳初三上期末）如图，从一张边长为2cm的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇

形围成一个圆锥，此圆锥的底面圆的半径为cm.

12.（2025北京朝阳初三上期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被

尊称为“地理学之父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼

（点A）和亚历山大（点3）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800km,在塞伊尼城有一口垂直

于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木

棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角。约为7.2。，据此可以估算地球的周长约为km.

13.（2025北京朝阳初三上期末）请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误

的：.

14.（2025北京大兴初三上期末）半径为4的正六边形的周长是.

15.（2025北京房山初三上期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：0。和。。外一点尸.

求作：过点尸的。。的切线.

作法：如图，

（1）连接。尸；

（2）作线段OP的中点A,以A为圆心，以49为半径作。A,与。。交于两点。和R；

（3）作直线尸。，PR.

直线和直线PR是00的两条切线.

证明：连接OQ,OR.

•••O尸是。A直径，点。在。A上，

ZOQP=°,

AOQVPQ.

又,•・点。在0。上，

二直线PQ是。。的切线（）（填推理的依据）.

同理可证直线PR是。。的切线.

16.（2025北京密云初三上期末）如图，毋是00的内接正六边形，AB=2cm,则该正六边形的边

心距为.

E，-------

A^---------C

17.（2025北京丰台初三上期末）如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形、则地基的周长为.

18.（2025北京丰台初三上期末）如图，PA,PC是00的切线，A,C为切点.若/APC=60°,

PO=5框,则直径AB的长是.

19.（2025北京西城初三上期末）如图，A3是0。的直径，PA,PC是。。的切线，切点分别为A,

C.若AB=2,ZABC=60°,则R4的长是.

20.（2025北京西城初三上期末）如图1,将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与08重合；

当电脑打开时，点A运动的过程形成AB.如图2,若。4=264mm,ZAOB=120°,则A8的长是mm

（结果保留兀）.

21.（2025北京三帆中学初三上期末）如图所示，A8是。。的直径，AB=4,ZA=30°,。。的切线

8E与直线AD交于点E,点M是。O上一个动点.过M作垂足为N,则NM+E2V的最

22.（2025北京房山初三上期末）如图，AB,AC,BO是。。的切线，P,C,。为切点，若AB=10,

AC=7,则5D的长为.

23.（2025北京三帆中学初三上期末）如图，48是的直径，PA,PC是0。的切线，A,C为切

点，NB4c=30。，PA=6,则A8的长为—

24.（2025北京燕山初三上期末）在下图中，A3是00的直径，要使得直线AT是0。的切线，需要添加

的一个条件是.（写一个条件即可）

25.（2025北京门头沟初三上期末）若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正

边形.

26.（2025北京门头沟初三上期末）如图，尸428是0。的切线，是切点.若/尸=50。，贝|

ZAOB=

27.（2025北京三帆中学初三上期末）已知一个扇形的弧长为5兀。加，圆心角是150。，则它的半径长

为,扇形的面积为

参考答案

1.A

【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过

作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果.连接。4、03,根据切线的性质定理，结合四

边形A03P的内角和为360。，即可推出203的度数，然后根据圆周角定理，即可推出NC的度数.

【详解】解：连接。4、OB,

•••直线PA.PB分别与Q0相切于点A、B,

:.OA±PA,OBLPB,

•.•/尸=70°,

ZAOB=110°,

是。。上一点，

ZACB=55°.

故选A.

2.D

【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出CF=CE=2,AF+BE=AB=3

是解题的关键.

由切线长定理得AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,则+=AT>+5£>=AB=3,求得

AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=10,于是得到问题的答案.

【详解】解：：。。与AB、BC、AC分别相切于点。、E、F,AB=3,CE=2,

:.AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,

:.AF+BE=AD+BD=AB=3,

:.AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=2+3+2+3=10,

.1△ABC的周长为10,

故选：D.

3.D

【分析】本题主要考查了三角形内心的定义，熟知三角形内心是三角形三条角平分线的交点和角平分线的

尺规作图方法是解题的关键.根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点进行求解即可.

【详解】解：：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，

•••四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图，

故选：D.

4.C

【分析】由A8〃CD,AB=8,证明四边形438是平行四边形，可知A,B,C,。四点不一定在同一个圆

上，可判断①错误；由四边形是平行四边形，AC=BD,证明四边形ABCD是矩形，则四

点都在AC为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形A3。是平行四边形，AC1BD,证明四边形

A5CD是菱形，设AC8D交于点/,过点/分别作各边的垂线，垂足分别为点G,H,尸,E,可证明

ZBAI=ZDAI,贝”G=/H,同理由=ZF,ZF=/E,可知以点/为圆心，以/G长为半径的圆与菱形A5CD

的各边都相切，可判断③正确；当四边形ABCD是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，可判断

④正确，于是得到问题的答案.

【详解】解：：AB〃CD,AB=CD,

.••四边形ABCD是平行四边形，

:平行四边形的对角不一定互补，

.•.A,瓦C,。四点不一定在同一个圆上，故①错误；

••,四边形ABC。是平行四边形，AC=BD,

四边形ABCD是矩形，

.•.A,民C,。四点都在AC为直径的同一个圆上，故②正确；

:四边形ABCD是平行四边形，ACJ.BD,

.,.四边形ABCD是菱形，

如图，设AC3。交于点/,过点/分别作各边的垂线，垂足分别为点G,H,£E,

AB=AD,ACLBD,

:.ZBAI=ZDAI,

：.IG=IH,

同理田=/F,3=ZE,

：.IG=IH=IF=IE,

.••以点/为圆心，以/G长为半径的圆与菱形ABCD的各边都相切，

.••四边形ABCD的各边一定都与某一个圆相切，故③正确；

A,B是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形ABCD是平行四边形，

.••四边形A5CD可能是正方形，

:正方形既有外接圆，又有内切圆，

存在四边形ABC。既有外接圆，又有内切圆，故④正确，

故选：C.

【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的

位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键.

5.C

【分析】本题考查了切线的性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接OC,由切线的性质

得NOCE>=90。，根据等腰三角形的性质得NOC4=NA=30°,通过外角性质可得

NDOC=NOC4+NA=60。，则NO=30。，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：连接OC,

ZOCD=90°,

,/OC=OA,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.NDOC=Z.OCA+ZA=60。，

ND=30。，

OC=-OD=2,

2

•*-DC=ylODr-OC2=V42-22=2A/3>

故选：C.

6.D

【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作CE1AB,根据正多边形的性质得出

VA03为等边三角形，再由内心的性质确定/G4O=，C4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

Ap

得出AC=，嚓=2,再求弧长即可求解.

cos30

六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

ZAOB=60°,OA=OB,

AAOB为等边三角形，

,/圆心C恰好是AABO的内心,

"40=NCAE=ZCBE=30°,

・•・ZACB=120°,

*.*AB=6

/.AE=BE

2

120xlx7i2

••AB的长为:=—719

1803

・,•花窗的周长为:-nx6=47i

3;

故选：D.

7.A

【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解.

【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为;油,

图2所示的矩形面积为：2d(a+b+c),而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍

/.2xd(Q+b+c)=4x；Q人,

.72ab

..d=

a+b+c

故选：A.

8.D

【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键.

根据弧长公式计算即可.

【详解】解：罢义2a9=8万,

360

故选：D.

9.B

【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得以=尸5=2,由4=60。得

△R仍是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果.

【详解】解：总与。。分别相切,

，PA=PB=2；

VZP=60°,

:・△R46是等边二角形,

***AB=PA=2；

故选：B.

10.C

【分析】由第一步作图痕迹可知直线W是尸。的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周

角等于90。，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明△尸OQ0WOR,由此可得

S/OQ-S*OR,进而可得S/s=；S四边形PR3,因此可判断④错误.

【详解】

由第一步作图痕迹可知直线是P。的垂直平分线，因此点A是尸。的中点，

故①正确；

*/PO是。A的直径，

NPQO=NPRO=90°,

:.PQX.OQ,PR_LOR,

二直线PQ,尸R都是。0的切线，

故②正确；

直线PQ,用都是0。的切线，根据切线长定理，可知PQ=PR,

故③正确；

:PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

.-.APOQ^^OR,

•C—c

••axPOQ_Q*OR，

=

•"Afoe5S四边形PRO。•

丁点A是尸O的中点，

-S/QA=5S*OQ=-S四边形PR。。,

故④错误.

故选：c

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理.熟练掌握

以上知识是解题的关键.

11.—/0.5

2

【分析】本题考查圆锥的计算，先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半

径.

【详解】解：.••弧8。的长为笠；1=万，即圆锥底面周长为万，

180

设圆锥的底面半径为wm,

则丫=71,

：.r=—1,

2

圆锥的底面圆的半径为;cm.

故答案为：y.

12.40000

【分析】本题考查弧长的计算.根据所给条件得到门的值是解决本题的关键.易得A8的长度为800km,

A8所对的圆心角为7.2。，根据弧长公式可得万广的值，进而可求得地球的周长.

【详解】解：如图，

A8的长度为800km,

:.ZAOB=1.2°,

设地球的半径为rkm,

常=8。。,

解得：万r=20000,

地球的周长为2s=40000（km）,

故答案为：40000.

13.矩形

【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、

论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.根据矩形的性质、正多边形的概念解答即可.

【详解】解：矩形的各角都是90。，即各角相等，但矩形不一定是正多边形,

则命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的,

故答案为：矩形.

14.24

【分析】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，正六边形的半径与边长相等是需要熟记的内容.根据

正六边形的半径可求出其边长为4,进而可求出它的周长.

【详解】解：正六边形的半径为4,则边长是4,因而周长是4x6=24.

故答案为：24.

15.90经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】本题考查作图一复杂作图、圆周角定理、切线的判定，根据圆周角定理、切线的判定定理填空即

可.

【详解】证明：连接OQ,OR.

•••O尸是04直径，点。在0A上，

:.^OQP=90°.

OQLPQ.

又,•,点。在。。上，

，直线P。是。。的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

同理可证直线尸R是0。的切线.

故答案为：90；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

16.6

【分析】过点。作加，9交于点连接。4,QB,证明△OAB是等边三角形，得出

AB=OA=2cm,由垂径定理求出AM,再由勾股定理求出即可.

【详解】解：过点。作。暇，交于点连接OAO5，

"/六边形ABCDEF为正六边形，

360°

ZAOB=——=60°,

6

♦：OA=OB,

・•・△Q4B是等边三角形，

:.AB=OA=2cm,

•.­OM1AB,

：.AM=BM=-AB=lcm,

2

OM=M-f=6cm>

即边心距为J§cm,

故答案为：6

【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质,

解题的关键是掌握以上知识点.

17.24

【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和

计算即可.

【详解】解：如图，

；（M=O3=4m,ZAOB=—=60°,

6

AB=OA-OB—4m,即正六边形的边长为4m,

地基的周长为6x4=24（m）,

故答案为：24.

18.573

【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定

理，切线的性质，得出ZAPO=NbO=：ZAPC=30°,OA1AP,然后根据含30。角的直角三角形的性质求

出AO=|百，即可求解.

【详解】解：：，PA,PC是。。的切线，ZAPC=6O°,

：.ZAPO=ZCPO=-ZAPC=30°,OA1,AP,

2

PO=5^/3,

：.AO=-PO=->/3,

22

.,.直径AB=2AO=5/，

故答案为：573.

19.V3

【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用.通过连接

OC,利用切线性质得到垂直关系，证明得到NAOP=NCOP,再圆周角定理求出

ZAOC,最后在RtACMP中应用勾股定理求得R4的长.

【详解】连接OC,OP,

PA,PC是。。的切线,

PA=PC,

又班OC1PC,OP=OP,

・・.△Q4P四△OCP（HL定理），

ZAOP=ZCOP,

而N4OC=2NABC=120。（圆心角是圆周角的两倍），

ZAOP=60。,

在R7XOAP中，ZAPO=30°,

48是0。的直径，OA=^AB=1,

：.OA=-PO^1

2

P0=2

PO2=OA2+PA2

■■■PA=Jpo2—82=如，

故答案为：6

20.176万

【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.根据弧长公式计算可得.

【详解】解：AB的长为：12°：。；264=176万（mm）,

lot）

故答案为：176乃.

21.述+20+1

3

【分析】在E4延长线取点P,使得NF=MN,则有MN+EN=NF+EF=EF,即求E尸的最大值，然后

求出NMFE=NMWF=45。，故有当平移MR至MR与。。相切时，有E尸最大值，延长MO交AE于点G,

证明△GMF为等腰直角三角形，再根据30。角所对直角边是斜边的一半，得OK=1,从而有

AK=yJo^-OK2=A/22-12=A/3-再通过等腰直角三角形的性质可得0G=0，所以MG=2+^，

GF=2及+2,最后由勾股定理和线段和差即可求解.

【详解】解：在E4延长线取点尸，使得NF=MN,

：.MN+EN=NF+EF=EF,即求的最大值,

,?MN1AD,

/MNF=90。,

,随着M的运动，/MFE=/WF=45。时，

当平移初尸至W与OO相切时，有所最大值，延长MO交A石于点G,

JNGMF=90。，

：.ZMFE=ZMGF=45°f

・•・△GMF为等腰直角三角形，

VOA=2fNO4G=30。，

JOK=1,

・,•由勾股定理得：AK=VQA2—OK2=V22—l2=y(3，

「ZOG4=45°,

JZOGA=ZGOK=45°,

:.GK=OK=\,

・•・由勾股定理得OG=后，

・・・MG=2+0，Gb=20+2，

NQ4G=30。，

BE=-AE,

2

J由勾股定理得AB2+BE2=AE2，

••A.E=---,

3

AG=6+1,

.”56।

・・EG=---1,

3

sh

EF=EG+GF=—+2y/2+l,

3

ANM+EN的最大值为%8+2应+1,

3

故答案为：—+272+1.

3

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知

识点的应用是解题的关键.

22.3；

【分析】本题考查切线长定理，根据圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等直接求解即可得到答案；

【详解】解：：AB,AC,3。是。。的切线，P,C,。为切点，

AAC=AP,BD=BP,

VAB^IO,AC=1,

：.3尸=10—7=3,

故答案为：3.

23.4A/3

【分析】根据切线的性质及切线长定理可证明AE4C为等边三角形，则/尸的大小可求；求得AB4c为等

边三角形易知R4=AC,在放