2025年高考数学复习 解题技巧：平面向量（易错题+三大题型）学生版+解析

秘籍02平面向量

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】奔驰定理

【题型二】极化恒等式

【题型三】等和线

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测投影向量的概念

应试秘籍

平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，

包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考

察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，

分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。

<误区点拨

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

1.同方向单位向量：d的同方向单位向量为白，指的是方向和Z相同，模长为1的向量。

2.向量B在2方向上的投影：设。为2、石的夹角，则，|・cose为石在2方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为

0；当8=0。时投影为|B|；当6=180°时投影为一例.

4.向量办在Z方向上的投影向量：设。为2、B的夹角，则问・cos3居为办在之方向上的投影向量.

问

5.向量的数量积的几何意义：数量积等于£的长度与5在2方向上投影问・cosd的乘积.

易错提醒：L投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。

2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。

例（多选）（2023•海南•模拟预测）已知向量力=（sind,cose）,方=（1,若）忑=卜,也），则（）

JT

A.若@//石，则。=§

B.方在E方向上的投影向量为:忑

2

C.存在。，使得日在方向上投影向量的模为1

D.归-同的取值范围为[1,3]

变式1：（2024•辽宁鞍山•二模）已知非零向量入b满足同=斗可，向量日在向量方方向上的投影向量是回，

则4与B夹角的余弦值为（）

A.变B.变C.巫D.-

3623

变式2：（多选）（2024・广东广州•一模）已知向量Z,万不共线，向量Z+B平分Z与石的夹角，则下列结论

一定正确的是（）

A.〃./?=（）B.（〃+/7）J_（〃-Z?）

C.向量日，石在Z+石上的投影向量相等D.归+4=归-4

变式3：（2024•青海・一模）已知向量商=（3,2）,5=（-2,1）,则向量Z+1在石方向上的投影为.

抢分通关

【题型一】奔驰定理

尸为AABC内一点，axPA+bxPB+cxPC=O,贝！IS^c：S^PAC-SAPAB=A-B-C-

工加在、"SRPBC_aS"AC_b^M>AB_c

重要结论：7---j-，7—~~,飞一

da+b+cda+b+cda+b+c

ZAA/411R5VrZAA/41ZRJVrZA/I4Zw?Vr

结论1：对于AASC内的任意一点P,若"BC、APCA,AR4B的面积分别为£、SB.Sc,贝|：

SAPA+SBPB+SCPC=6.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于AABC平面内的任意一点P,若点尸在AABC的外部，并且在ZBAC的内部或其对顶角的内部所

在区域时，则有-5,比•丽+S,cPB+SPABPC=Q.

结论3：对于AABC内的任意一点尸，若4西+4而+4肥="则ARBC、NPCA,AR4B的面积之比为

4：4：4.

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.

结论4：对于AABC所在平面内不在三角形边上的任一点P,为丽+%而+4/=0，则AP3C、APCA,

AR4B的面积分别为⑷：邑：|闻.

奔驰定理与三角形四心的关系：

一、三角形的“重心”

1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1

三角形中线向量式：AM=^(AB+AC}

2、重心的性质：

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

所以瓦<+砺+次=6

二、三角形的“垂心”

垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内;

直角三角形的垂心在直角顶点上;

钝角三角形的垂心在三角形外。

奔驰定理推论：SABOC：SACO4：SAAOB=tanA\tanB-.tanC,

tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0.

三、三角形的“内心”

1、内心的定义：角平分线的交点（或内切圆的圆心）。

2、常见内心向量式：P是AABC的内心，

⑴\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=0（或a方+麻+c而=6）

其中a,b,c分另ij是AABC的三边BC、AC,AB的长，

四、三角形的“外心”

1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等

2、常用外心向量式：。是AABC的外心，

1、网=\0B\=|oc|^>OA2=OB2=OC2

2、（OX+OB）-AB=（pB+OCyJC=（OA+OC）-AC=0

3、若（市+砺）•荏=（而+方）•就=（沆+市）♦方=0,则。是A28C的夕卜

心.

I—I

典例精讲

【例1】（2021•四川凉山•三模）如图，尸为AABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为。，b,c.总有

优美等式ZPBC西+S“AC丽+S△9斤=。成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下

命题：

①若夕是疑。的重心，则有方+而+定=6；

②若a西+Z?而+c前=0成立，则尸是AABC的内心;

—.2—►1―►

③若AP=—AB+—AC,则S^ABP:S^ABC=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=1,'PA=mPB+nPC，则+

则正确的命题有.

【例2】（多选）（22-23高一下•山东•阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量

中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容

是：已知M是AABC内一点，的面积分别为枭石外加，且

必・加+S-•施+Sc•比=0.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1:1:1,则以为AAMC的重心

B.若M为AASC的内心，则BC.加+AC-砺+AB.诙=0

C.若NBAC=45。,ZABC=60。，M为AABC的外心，贝U:Sp:%=6:2:1

D.若M为AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=O,贝IcosNAMB=-逅

6

【例3】（2023高一•江苏•专题练习）已知。是平面上的一个定点，A、8、C是平面上不共线的三点，动点尸

满足而=砺+2(AGR),则点P的轨迹一定经过AABC的（)

A.重心B.外心C.内心D.垂心

I—I

名校模拟

【变式1］（2023•吉林・一模）在直角三角形A3c中，A=90°,AABC的重心、外心、垂心、内心分别为G1,

G3,G4,若苑=4丽+4正（其中i=l,2,3,4）,当4+从取最大值时，i=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2】（22-23高三上•江西•阶段练习）奔驰定理：已知点。是/BC内的一点，若ABOC,AAOC,AAO3的

面积分别记为LSz.S，则耳・至+$2•砺+S3・无=。.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因

为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是44BC的

垂心，且8+2砺+3配=0，则8sC=（）

C.平D-f

【变式3］（2022•安徽•三模）平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将AOBC,AOCA

ULIULUULUU1

的面积分别记作邑，Sa,Sb,则有关系式邑QA+其。3+5丁。7=0.因图形和奔驰车的/og。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足.历+c碇=6,

则。为的（）

C.重心D.垂心

【题型二】极化恒等式

基础知识：

/--\2-2一一12

\a+b\=a+2ab+b

注；,+52（力）〔

2-2

a-b]=a-lab+b

简化：在△ABC中，。是边3c的中点，则

AB.AC=|AT|2-|DB|2,

典例精讲

【例1】已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则丽•（而+无）的最小值是

（）

34

A.-2B.--C.——£).-1

23

【例2】在AABC中，。是BC的中点，E,尸是上的两个三等分点，丽.©=4，BFCF^-1>

则而•屈的值是.

【例3】已知球O的半径为1,A,B是球面上的两点，且A5=6,若点P是球面上任意一点，则西•丽

311313

的取值范围是A.B.C.0,—D.0,-

2"22"222

名校模拟

【变式1】（23-24高三上•云南保山・期末）如图，已知正方形A3C。的边长为4,若动点尸在以A3为直径的

半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则定.质的取值范围为（）

DC

【变式2]（2024.江西.一模）如图，正六边形的边长为2后，半径为1的圆。的圆心为正六边形的中心，

若点M在正六边形的边上运动，动点48在圆。上运动且关于圆心。对称，则加.残的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【变式3]（2024•陕西安康•模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线y=x2-4x+l与坐标轴的交点都在圆C上,

A3为圆C的直径，点P是直线3尤+4了+10=0上任意一点；则西.而的最小值为（）

A.4B.12C.16D.18

【题型三】等和线

向量基本定理:

OA=20B+(4eR)=2+〃=1

等和线原理:

__._____.,OF

OF=AOB+(XeR)oX+〃=k,贝Uk=—

证明:d二z：ok

又OE=mOA+nOC.m-\-n=1

/.OF=kOE-k(m0A+nOC)=20A+〃OC

km=九,kn=/LI

，4+4=上

।—।

典例精讲

—■1--

【例1】如图，WAA3c中，P是斜边上一点，且满足：3P=—PC,点M,N在过点P的直线上,

2

若布7=几4瓦标=M",（4〃>0）,则2+2〃的最小值为（）

,810

A.2B.—C.3D.—

33

【例2】设A，B,。是平面内共线的三个不同的点，点O是A，B,。所在直线外任意-点，且满足

OCxOA+yOB,若点。在线段AB的延长线上，则（）

A.x<0,y>lB.y<0,x>lC.0<x<y<lD.0<y<x<l

【例3】如图，ABAC=y,圆M与AB、AC分别相切于点D、E,AD=1,点P是圆M及其内部任意一

点，且Q=x而+y荏（X、yeR）,贝卜+y的取值范围是（）

A.[1,4+2V3]B.[4-2遮,4+2码C.[1,2+b]D.[2-百,2+网

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•内蒙古包头•一模）如图，在菱形ABC。中，AB=4,ZABC=60°,反尸分别为AB,BC上

的点，丽=3丽，丽=3而.若线段E尸上存在一点使得说成+x2玄（尤eR）,则丽•国等

于（）

AEB

O

D'C

A.2B.4C.6D.8

jr

【变式2］（2023•四川攀枝花•一模）在平面四边形O4CB中，OA1.OB,OA=3,NOBA=/ACB=q,

OC=AOA+,uOB,则4+〃的最大值为（）

A.6B.2C.3D.2c

【变式3］（2024・全国•模拟预测）己知点。是AABC的重心，过点。的直线与边AB,AC分别交于两点，

ULIUUULIULUU

。为边8c的中点.若AD=xAM+y4V（x,yeR）,贝!|x+Y=（）

321

A.-B.-C.2D.-

232

,1ULIUULIULIU

【变式4】已知扇环如图所示，44。8=120。,。4=2,。4=］,P是扇环边界上一动点，且满足。尸=,

则2x+y的取值范围为.

秘籍02平面向量

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】奔驰定理

【题型二】极化恒等式

【题型三】等和线

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测投影向量的概念

应试秘籍

平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，

包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考

察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，

分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。

误区点拨

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

1.同方向单位向量:a的同方向单位向量为旦,指的是方向和％相同，模长为1的向量。

1«1

2.向量B在Z方向上的投影：设。为％、B的夹角，则问・cose为B在Z方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为

0；当8=0。时投影为|石|；当6=180。时投影为-帆.

4.向量否在Z方向上的投影向量：设6为£、B的夹角，则同・cos/白为加在Z方向上的投影向量.

回

5.向量的数量积的几何意义：数量积等于£的长度与方在々方向上投影W・cos6的乘积.

易错提醒：L投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。

2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。

例（多选）（2023•海南•模拟预测）已知向量力=（sin0,cos。）,方=0,若）忑=（3,6），则（）

7T

A.若N//B,则

B.5在工方向上的投影向量为

2

C,存在，，使得日在方向上投影向量的模为1

D.可的取值范围为［1,3］

【答案】BCD

【详解】对于A,若4//B,贝U6sin0-cos0=0,则tan6=且，所以A错误;

3

对于B,B在］方向上的投影向量为

c

故B正确;

对于C,c-5=（2,0）,所以2在1一方方向上投影向量的模为:

\3\coJac-b\-\a\小卜一到无（二5）2sin0

当6=T1T时，sine=l,所以存在凡使得方在方向上投影向量的模为1,故c正确;

对于D,向量M=（sine,cose）,5=（l,V^）,

可=J（sin8-1）2+（cosg-百）=一2sin8一2百cos8=『一4sin[8+卜],

所以sin,+；]e[T』，则收一年[1,3],故D正确.

故选：BCD.

变式1：（2024.辽宁鞍山.二模）已知非零向量商，B满足同=申|,向量M在向量B方向上的投影向量是后,

则4与B夹角的余弦值为（）

A.变B.交C.叵D.-

3623

【答案】C

【详解】由向量G在向量方上投影向量为后5，

a-bb同•同•cos（万,5）5・

所以得鲁台=।卜LJ爷=回,

HNWW

又因为同=2忖，所以cos（@6=*,故C正确.

故选：C.

变式2：（多选）（2024.广东广州.一模）已知向量Z,5不共线，向量Z+日平分Z与石的夹角，则下列结论

一定正确的是（）

A.〃.。=0B

c.向量Z,B在Z+B上的投影向量相等D.卜

【答案】BC

【详解】作向量。1=〃,08=5,在口。4cB中，OC=a+b，丽=£-石，

由向量之+方平分4与石的夹角，得口。AC8是菱形，即|引二|5|,

对于A,4与石不一定垂直，A错误；

对于B,(a+b)-(a-b)=a2-b2=0,即(〃+B)_L(〃-5),B正确;

1•(万+Z?)—万+万一

对于C,商在万+石上的投影向量,"二70+6)="十:：(万+6),

\a+bY\a+b^

b在m+b上的投影向量-；———^(a+Z?)=-———(a+/?)=-———{a+b),C正确;

\7a5+Ib|27：I2IkI心展

对于D,由选项A知，不一定为0，贝！J|〃+》|与|〃-5|不一定相等，D错误.

故选：BC

变式3：(2024・青海•一模)已知向量商=(3,2),5=(-2,1),则向量£+加在B方向上的投影为

【答案】昱已下

【详解】因为向量方=(3,2),^=(-2,1),所以方+方=(1,3),

a+b\'b1_V5

50=-2+3=1,Z+5B

则万+所以向量在方向上的投影为:^=T

故答案为：点

抢分通关

【题型一】奔驰定理

尸为AABC内一点，axPA+bxPB+cxPC=O,贝!JSAPBC：SAPAC:SAPAB=A-B-C-

重要结论:

S^ABCO+b+C■S'AABCG+b+CS.BCa+b+C

结论1：对于AABC内的任意一点P,若APBC、NPCA,AB4B的面积分别为与、SB>Sc,贝|：

SAPA+SBPB+SCPC=6.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于AABC平面内的任意一点P,若点尸在AABC的外部，并且在Zfi4c的内部或其对顶角的内部所

在区域时，则有-S^BC・丽+S.cPB+SPABPC=r).

结论3：对于AABC内的任意一点P,若4丽+4而+4定=0，则AP3C、APC4、AR4B的面积之比为

4：4：4«

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.

结论4：对于AABC所在平面内不在三角形边上的任一点P,4丽+%丽+4无=0,则AP3C、APCA,

AR4B的面积分别为⑷：&：闻.

奔驰定理与三角形四心的关系：

一、三角形的“重心”

1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1A

三角形中线向量式：祠=式血+尼)/\\

2、重心的性质：/\G\

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。BMC

(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

所以瓦？+砺=6

二、三角形的“垂心”

垂心的定义：高的交点。

A

锐角三角形的垂心在三角形内;人

直角三角形的垂心在直角顶点上;//\

钝角三角形的垂心在三角形外。

Bc

奔驰定理推论：S^B0C-.S^C0A\S^A0B=tanA-.tanB-.tanC,

tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0.

三、三角形的“内心”

1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。A

2、常见内心向量式：P是AABC的内心，

(1)\AB\PC+\BC\PA+\CA[PB=0(或a同+b而+c丽=G)

其中a,b,c分别是ZL4BC的三边BC、AC,A2的长，------二

Ba

四、三角形的“外心”

1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等

2、常用外心向量式：。是A4BC的外心，।

K|01|=\OB\=\oc\^OA2^OB2=OC2k/

2、(OA+OB)-AB=(OB+OC)-BC=(OA+OC)-AC=0

3、若(市+OB)-XB=(OB+OC)■BC=(OC+04)-CX=0,贝U。是△4BC的夕卜f

心.

典例精讲

【例1】（2021•四川凉山•三模）如图，尸为AABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为。，b,c.总有

优美等式S“BC丽+S»AC丽+S△9定=。成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下

①若尸是AABC的重心，则有西+而+定=0;

②若a西+6万+c正=。成立，则尸是AABC的内心；

—.2—►1—►

③若AP=—AB+—AC,则S^ABP:SAAfiC=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=],PA=mPB+nPC则租+〃e[-也1）.

则正确的命题有.

【答案】①②④

【详解】对于①：如图所示：因为E、尸分别为C4、AB,BC的中点,

121

所以CP=2PE,ShAEC——S4ABc，S4Ape=-S^AEC=jS4ABc,

同理可得、

APB=-SAABCSABPC=-SAABC,

所以S“BC=SAPAC^SAPAB，又।大।为，P.BC।PAC।PAB。

所以西+而+定=0.①正确.

对于②：记点尸到AB、BC、C4的距离分别为九、为、%,SAPBC=：。,4，&PAC=；',用，5"钻=Jej，因

S^PBCPA+SAPACPB+SAPABPC^6,则;〃也.中+丽+上4•无=0,即

a-h2PA+b-hPB+c-h^PC=Q,又因为0西+6丽+0定=。，所以％=比=%，所以点尸是"WC的内心.②正

确.

____—•2—■1—•—►2—•1—■—.—.—»3—•1—.

对于③：因为所以尸4=一148-14(?,尸8=尸4+48=(48-14(?,

—►—-—.2—­4—►

PC=PA+AC=——AB+-AC,

55

所以而一(*]+SAHC]|南—：/)+5少.(一|通+:回=0,

化简得：]—|S^PBC+'|S"AC—■|S34B]A5+(一TSAP5C-5APAC+5APAB，

又因为通、正不共线.

_±2Q+3-Q_2±v=。/

MPBCT

Cc0ACc°#ABuro-OC

UUI、13JJ一0^PBC乙。APAB

所以j11A^lo=9C

_J_C_J_CI_tC-A1%PAC-，％P4B

§Q&PBCNAPAC十5^^PAB—U

q

AABP_◎&PAB—]自我疼

.⑼午日俣

%ABC5

'△PBC+^APAC+SAPAB

对于④：因为尸是"RC的外心，A=p所以/BPC=g,国|=|网=由，

PS-FC=|PB|X|FC|XCOSZBPC=0,

因为西=mPB+nPC，贝"西『=而|PB|2+2mnPB-PC+n2\p^,

化简得：川+»=1,由题意知7〃、〃不同时为正.

\m=cosaJi

记<^,—<a<2TT,

[n=sma2

贝I]zn+〃=cosa+sina=>/2sin[a+?j,

因为主<a+M<^=>_lWsin[a+M]<^n_2Wasin[a+e]<l

4444；2L4；

所以加+.④正确.

故答案为：①②④.

【例2】（多选）（22-23高一下•山东•阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量

中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容

是：已知”是AABC内一点，△5MC,^AMC,A4Affi的面积分别为劣,品,品，且

SA•凉+S5•施+S。•祝=0•以下命题正确的有（）

A

A.若SJSB：SC=1：1：1,则M为A4MC的重心

B.若M为AABC的内心，则2C.曲+AC•砺+A5•砺=0

C.若NBAC=45o,ZABC=60。，M为AABC的外心，贝1邑：SB:S。=6:2:1

D.若M为AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=O,贝UcosNAMB=-渔

6

【答案】ABD

【详解】对于A,取BC的中点。，连接

由SA：SB：SC=1：1：1,贝1|疯+血+碇=0，

所以2砺=砺+碇=一而'，

___.2-►

所以A,M,。三点共线，且

设E,尸分别为A3,AC的中点，同理可得加=—屈，BM=-BF9所以M为△AMC的重心，故A正确;

33

对于B,由M为AABC的内心，则可设内切圆半径为小

则有SA=^BCr,SB=^ACr,Sc=^ABrf

1—»1―.1—.一

所以一人3cM4+—+—rABMC=0,

222

即3C.痴+AC-^+AB•面仁=。，故B正确;

对于C,由M为AABC的外心，则可设AABC的外接圆半径为A,

又ABAC=45°,ZABC=60°,

则有Z.BMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,ZAMB=2ZACB=150°,

所以S,^-R2-sinZBMC^-R2-sin90°--7?2,

222

SR=-7?2-sinZAMC=-/?2-sin120°=—R2,

B224

S=-R2-smZAMB=-7?2-sinl50°=-7?2,

cr224

所以SA：S/SC=2:后:1,故C错误；

对于D,如图，延长AM交BC于点O,延长3。交AC于点孔延长CO交A3于点E,

A

由A/为44BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^则枭：$B：$c=3：4:5,

qq

则廿廿

^S^C=SA+SB+SC,=4,=3,

设MD=x,MF=y,贝ljAM=3%,3M=2y,

所以cos/BMD=金=cos/AMF=即3x2=2j2,

所以cosZ.BMD=",所以cosZAMB=cos

(it-ZBMD)=---,故D正确.

6

故选：ABD.

【例3】（2023高一•江苏•专题练习）已知。是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点尸

（AeR）,则点尸的轨迹一定经过AABC的（)

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】C

__knum

ABAC

【详解】因为弱为额方向上的单位向量，制为K方向上的单位向量,

AfiAC

则瑞+岛的方向与ZBAC的角平分线一致，

(_,_\Z__X

由OP=0A+2S,可得。尸一OA=XT^r+i^Si

〔网\AC\J1网MJ

/、

ABAC

所以点P的轨迹为N54C的角平分线所在直线,

故点P的轨迹一定经过.ABC的内心.

故选：C.

名校模拟

【变式1］（2023•吉林・一模）在直角三角形A3C中，A=90。，AABC的重心、外心、垂心、内心分别为G1,

G2,G3,G4,若福=4荏+”而（其中，=1,2,3,4）,当4+从取最大值时，i=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】直角三角形ABC中，4=90。，。为BC中点，AABC的重心为G1,如图所示，

A

AG'=-AD=-X^(AB+AC}=-AB+-AC,

1332、>33

12

则4=,A+A=-；

直角三角形A3C中，A=90。，AABC的外心为G一则G,为3c中点，如图所示,

直角三角形A3C中，A=90。，AABC的垂心为G3,则G3与A点重合，AG^=O,

贝！I4=〃3=0，4+〃3=0：

直角三角形A3C中，A=90。，"1BC的内心为G,,则点G4是三角形内角平分线交点,

直角三角形A3C中，角A民C的对边分别为a,。,c,设内切圆半径为乙

11h(~,

贝IJS,.c=3儿=3(4+6+。厂，得7=---,

22a+b+c

beABbeACbeABbeACbc—

AG=----------------1——-7+--------1——T=--------+--------=-----AB+-------AC

4a+b+c\AB\a+b+c\AC\a+b+cca+b+cba+b+ca+b+c

.bc.bcb+c1

A=-------,〃=--------,Z+//=--------1---------=--------<I.

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

%+〃2=l最大，所以当4+自取最大值时，i=2.

故选：B.

【变式2】(22-23高三上•江西•阶段练习)奔驰定理：已知点。是“LBC内的一点，若ABOC,AAOC,AAO8的

面积分别记为工，$2,邑，则耳•函+S?•砺+S3・南=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因

为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是AMC的

垂心，且砺+2历+3无=0，则8sC=()

A

【答案】B

【详解】延长CO交A3于点P,

•.,。是的垂心，：.OPLAB,

；耳：S?=(；・℃・呵:

=BP:AP=(OPtanZPOB):(OPtanZPOA)=tan/COB:tanZCOA=tan(»-A):tan("-B)=tanA:tanB.

同理可得d:S3=tanA:tanC,Sx:S2:S3=tanA:tanB:tanC.

又4•砺+s?•砺+s・芯=6,

/.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

又函+2砺+3无=0，

/.tanA:tanB:tanC=l:2:3.

不妨设tanA=4,tan8=2左,tanC=3左，其中左w0.

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-

1-tanBtanC

72k+3k左刀/日，

•>-k=---，斛得k=±l.

1—2k,3K

当左=一1时，止匕时tanA<O,tan3<O,tanC<。，贝ijA,B,。都是钝角，不合题意，舍掉.

故％=1,则tanC=3>0,故C为锐角，

sinC_3I—

<cosC,解得cosC=，

sin2C+cos2C=l10

【变式3］（2022•安徽•三模）平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将AOBC,AOCA

LILILILULILUU1

的面积分别记作Sc，sa,Sh,则有关系式SjQ4+S".03+ScOC=0.因图形和奔驰车的bg。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知AABC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,若满足西+6.历+c.反=6,

则0为AABC的（）

ULIUL1UUUU1S卜—=*S-

【详解】由SJOA+S/OB+SJOC=0得。&=一不。

由+6•砺+c•反=6得况=-2砺_£玩,

aa

b

根据平面向量基本定理可得一^s

S“a

2,

所吟4s.a

延长CO交A3于E,延长3。交AC于尸,

所以捺,=耨，

Saa|BE|a\BC\

所以CE为—AC8的平分线，

同理可得斯是/ABC的平分线,

所以。为&4BC的内心.

故选：B

【题型二】极化恒等式

基础知识:

2一2-2

(a+s)=a+2ab+b

>=>a»bT（的十

-»2—•-»-2

(Z-禧=a-2ab+b

简化：在△ABC中,D是边BC的中点,则

AB.AC=|AO|2-|DB|2-

I—I

典例精讲

【例1】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A6C内一点，则丽•（而+定）的最小值是

()

3

A-2B.——D.-1

2

解析：取的中点。，连接AD,PD，取AD的中点石，连接PE,

由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点nAE=LA£>=义

22

3

则PA.[PB+PC)=PA»2PD=2PA.PD=2

2

［可.例+定)］「|

【例2】在AA8C中，。是BC的中点，E,尸是4。上的两个三等分点，丽.百=4，KFCF=-1