2025年高考数学复习：复合函数以及嵌套函数的零点问题（解析版）

复合善撤以及城杰篇剧的零点同题

---------------------------------------------------------------0°---------------------------------------------------------------

题型探析................................................................................1

题型01复合函数的应用..................................................................1

题型02内外自复合型，(/3))................................................................4

题型03内外双函数复合型f(g(c))............................................................6

题型04二次型因式分解型a[/Q)]2+V3)+c................................................9

题型通关...............................................................................13

----------------------------------------------------------O(题型探析)

题型01复合函数的应用

【解题规律•提分快招】

1.复合函数定义:两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：g=/[g(a：)]，令：力=g(c)，则g=/(g(c))转化为y=/(£)”=g(rr)其中t叫作中间变量.

g(%)叫作内层函数，沙=/(。叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数g=/[g(，)]分解成9==g(aj)

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的“同增异减”来确定复合函数的单调性。

y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”

【典例训练】

一、单选题

1.(24—25高三上•江苏常州•期中)已知函数/(2)=loga(2—ac)(a>0,且a1).BxE[1,2],使得/(c)

>1成立,则实数a的取值范围是()

A.B.[-1,1)U(1,2]C.(1,2]D,[1<2]

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.

【详解】y=2-a/在[1,2]单调递减，.，.，二？时，2-2a>0,即a<l,

另外，0<Q<l时，y=logat单调递减，.•./(①)在[1,2]单调递增，•••

9

=10^(2-2a)>1,/.2-2a<a,：.a>—.

o

综上所述，a的取值范围是序1).

故选：A

2.(24-25高三上•山西・期中)已知函数/Q)=a0融(a>0,且a¥1)在区间[4,7]上单调递增，则实数

a的取值范围为()

A.(0,"]U(1,4]B.[",[]U(1,+co)

C.(0,y]U[^，+°°)D.(o,y]U(1,+co)

【答案】。

【分析】分两种情况讨论，当OVaVl和Q>1分别对函数的单调性进行讨论.

【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，

当OVaVl时，令g(力)=a4—2力，对称轴为力=工，则要使f(x)=aax2~2x(a>0,且aW1)在区间[4,7]上

单调递增，则工>7,则0<aW5；

a7

当a>l时，要使/(力)=Qa/-23Q>0,且QW1)在区间[4,7]上单调递增，

则--&4,则a>--，综上，a>1.

a4

综上，实数a的取值范围为(O,：]U(l,+oo).

故选：D

2

3.(2024.河北.模拟预测)已知函数/(非)=ln(cc+Vs+1)+炉一2,若/(log3a)+/flogia')W—4,则实数

a的取值范围为()

A.[y,3]B.(0,1]”3,+8)C.[y,l)U(l,3]D.(0,+8)

【答案】D

【分析】构造g(i)=/(/)+2并研究其奇偶性和单调性，由/(log3a)+/(log[Q)<—4等价于^(log3a)+g(

-log3a)40,结合对数的性质即可确定参数范围.

【详解】令g(力)=/(C)+2=ln(T+J/2+1)+力3,易知其定义域为R,

g(一%)=ln[—a?+J(一劣>+1]一d=ln(VT2+l—1)一炉=—ln(Vx2+l+一炉=-g㈤，

所以。(力)为奇函数,且在(0,4-00)上沙=6+Vrr2+1、y=In/、g=炉均递增，

所以gQ)在(0,+oo)上单调递增，且函数在7?上连续，故g3)在定义域上递增，

由/(log3a)+f(log铲)<-4=>/(log3a)+2+/(-log3a)+2<0,

所以g(log3a)+^(―log3a)&0,显然该式在aE(0,+oo)上恒成立，

所以aG(0,+oo).

故选：。

ax-a,

4.(2024.湖北武汉.模拟预测)已知a>0且aW1,若函数/(①)=的值域为五，则

logaQ+a)+l,x>a

a的取值范围是()

A.(o,y]B.e,1)C.(1,2]D.2+8)

【答案】A

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对a进行分类讨论，可得答案.

(n^~ax<a

【详解】•."3)=:、的值域为R,

llogj>+a)+l,x>a

当a>1时，

则cWa,/(①)=ax~a为增函数，/(①)&/(a)=1,

而立>a时，，(①)=loga(c+a)+1为增函数，

此时，/(⑼>/(a)=loga2a+1=loga2+2>2,不符题意;

当0<a<1时，

则2Wa,/(2)=ax~a为减函数，/(rc)>/(a)=1,

而a;>a时，/(c)=loga(z+a)+1为减函数，

此时，/(c)</(a)=loga2a+1=loga2+2,

因为/(①)的值域为欠，当且仅当log“2+2>l时，满足题意，

此时，log7>-1,则界>一1,整理得，ln2<-lna,解得aW《；

ma2

综上，0<z~~时满足题意.

故选：A

5.(24—25高三上・甘肃白银•阶段练习)在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神

经单元的函数，其中函数tanhQ)是比较常用的一种，其解析式为tanh(0二更二^二.关于函数

e^+ex

tanhQ),则下列结论正确的是()

A.tanh(为)的值域为AB.tanh(力)是偶函数

C.tanh(力)不是周期函数D.tanhQ)是单调递减函数

【答案】。

【分析】tanh(6)=1---—，求函数tanhQ)的值域可判断A;由tanh(—力)与tanh(x)的关系可判断

e2x+l

B;由e2|+1是增函数且恒为正数，知tanh⑺的单调性,可判断。，进而可判断。.

【详解】由tanh(%)=ei-=1_2b=1——

6宓+e-*e^+e-^e2:r+l

因为e2*+l>l,所以OV2劣j]<2,可得一1<1---VI,即tanh(力)E(―1,1),故4项错误；

因为tanh(力)的定义域为凡且tanh(—力)=J————=—tanhQ),所以tanhQ)是奇函数，

ex+e~x

故B项错误；

tanhQ)=-=i——，因为e2。是增函数，e?。+1是增函数且恒为正数,所以-^―是减函数，

e^+e^e2x+le2x+l

故tanh(力)是增函数，故。项错误；

由。项可知函数tanh(x)在H上单调递增，所以当TW0时，tanh(力+T)丰tanh(力)，所以函数tanh(a?)

不是周期函数，故。项正确.

故选：c.

c2oi—4_1

6.(2024.陕西榆林.模拟预测)已知函数/(2)=~9+工一1在区间［a,b］上的值域为［砚河］.若a+

ex

b=4,则7n+Al的值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】。

【分析】根据题意可得函数/(力)在［。向上递增，利用a+b=4可得馆+M的值.

_.,「2/一4—1

【详解】解法1：因为f(x)=----------Fa;-1=ex~2—e2~x+x—1,

ex~2

所以/(4一力)+/(i)=2,

所以/(比)关于(2,1)对称.

因为a+b=4,函数/(力)在区间［a,b］上的值域为［m,M］，所以m+M=2.

Q2C—4_i

解法2:因为f(6)=----------\-x—l=ex~2—e2~x+x—1在［a,b］上递增，

呼一2

所以7n+7W=/(a)+f(b)=/(4—a)+/(a)=2.

2/—4i

解法3:取a=0,b=4,因为f(x)=————----FT—1=ex~2—e2~x+x—1在［0,4］上递增，

ex~2

所以nz+M=/(0)+/(4)=2.

故选D

题型02内外自复合型/(13))

【解题规律•提分快招】

对于嵌套型复合函数沙=/[gQ)]的零点个数问题，求解思路如下：

⑴确定内层函数a=g(c)和外层函数g=/(〃)；

⑵确定外层函数g=/(")的零点〃=M(i=1,2,3,....n)；

⑶确定直线〃=%(i=1,2,3,....n)与内层函数〃=g(2)图象的交点个数分别为，ai,a2,a3.

....,®则函数y=/[gQ)]的零点个数为囱+电+(I3.........+an.

注意:抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质.

【典例训练】

一、单选题

7.(24-25高三上•广东•期中)已知函数/(*)=[y+2，，若方程/(/(为)=X有且仅有一根，则

x<0N

实数R的取值范围是()

A.(-j,0)B.[-1,0)C,[0,+co)D.(一卷,+8)

【答案】A

【分析】分别讨论k>0及％V0,根据/(，)的值，确定实数k的取值范围.

【详解】若则/(/(2))=/O/Q)=-1,

而当力》0时f(x)>2,当力V0时/(力)>0,所以于⑸=—1无解；

若k<o,则/(/(①))=]o/O)=-1或/(2)=—+，

其中f(x)=-1有一根为一"7~,则由题意知/(，)—~~^r无解，

而当c>0时/(力)<2,当cVO时/(2)VI,所以/(①)的值域为(-00,2],

从而--?>2,解得%>-3，所以一3<&<0.

2k44

综上，k的取值范围是(号,0),

故选：A.

fT2_o7>0

8.(24-25高三上•江苏无锡•阶段练习)已知函数/Q)='?，若函数g=/(/(/))—k有3个

[―re+1,rc<0

不同的零点,则实数A;的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4]C.[1,4)D.[1,4]

【答案】B

【分析】先求出f(f(G)的解析式，画出函数图象，根据"=/(/(/))和g=k有3个不同的交点可得出.

【详解】当a;<0时，/(力)>0,则/(/(力))=f(—x+l)=(—X+1)2—3=X2—2X—2,

当04力<〃^时，/(力)VO,

则/(/㈤)=/(炉一3)=-x2+4,

当rc>V3时，/(力)>0,/(/("))=f(x2—3)=>—662+6,

x2—2x—2,x<0

所以/(/(/))=<—/+4,0<a?<V3,

T4—6rr2+6,

当力〉V3时，y—xA—6〃+6=(x2—3)2—3,

因为方="-3单调递增且亡>0时0="一3单调递增，

所以g=(〃—3)2—3在[通，+8)单调递增，且Umin=-3,

故画出函数g=/(70))图象如下图所示，

函数y=f(J(x))—k有3个不同的零点等价于g=/(/(力))和。=左有3个不同的交点，

所以由图象可得1VkW4.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数g=/(/(力))一k有3个不同的零点转化为"=/(/(/))和y=k有

3个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度.

rzy»2I-370

9.(24—25高三上•福建泉州•阶段练习)已知函数/(为=,'，则方程/(/(为)=k的实

[log2c—2,力>0

数解的个数至多是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据复合方程问题,换元力=/(，)，作函数图象分别看内外层分别讨论方程/(/(，))=k根的个数情

况，即可得答案.

【详解】设力=/(c),则/(/(c))=%化为/(力)=k,

x2+2x—3,cWO

又/㈤=

log2T—2,力>0'

所以/(0)-3=/(-2)=/(y),/(-I)=-4=/(1),

作出函数/(力)的大致图象，如图

由图可得，当k>—3时，/⑴=k有两个根力iV—2,力2>],

即t=/(a?)<—2或t=/(力)>],此时方程/(/(力))=%最多有5个根；

当一4Vk4-3时，f(t)—k有三个根一2&t\V-1,—1V大2&。，；341,

艮17-24力=/(rc)<—1或一1Vt=f(x)<0或2<方=/(a?),

此时方程/(/(c))=A;最多有6个根；

当k=-4时,/(力)=k有两个根I=-1也=[，即fQ)=—1或/3)=；,

此时方程/(/(c))=&有4个根；

当k<—4时,/(%)=k有一个根0<tV：,即0</(x)<.,

此时方程/(/(2))=A;有2个根；

综上，方程/(/(2))=用的实数解的个数至多是6个.

故选:B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.

题型03内外双函数复合型/(g(，))

【典例训练】

一、单选题

(QX+]/&f)

10.(24—25高三上•天津武清•阶段练习)已知函数/(%)=(?.,gQ)=/2—Q/+1,若夕=

U%—4①+3],力＞0

g(/Q))有6个零点，则Q的取值范围为()

B.(y-y-)C.⑶+8)D.(-|-(3]

【答案】B

【分析】作出函数图象，进行分析，g(c)=x2—ax+1最多有两个零点，根据/(力)最多4个零点，用数形结合

讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.

【详解】由题可得函数图象，当k=0或2VkV3时，/(%)=k有两个解；

当0VkV1时,/(%)=k有4个解;

当时，/O)=k有3个解；

当k＞3时，/(6)=%有1个解；

因为g⑸=x2—ax-1-1=0最多有两个解.

因此，要使g=g(/(力))有6个零点，则g(x)="—QN+1=0有两个解，设为k19k2.

则存在下列几种情况：

/(x)=自有2个解,/(X)=的有4个解，即自=0或2V自V3,0Vk2Vl，显然g(0)*0,

5(0)>01>0

5(1)<0即；一，解得建5_10

则此时应满足＜g⑵"

5—2a<0

,5(3)>010—3a>0

/3)=自有3个解,/(。)=用有3个解,设自〈的即14自〈2,1〈饱42,

<7(1)=2—a>0

g(2)=5—2a>0

则应满足，，无解，舍去,

△=a2—4>0

l<f<2

综上所述，a的取值范围为舟学).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

⑴直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.

二、填空题

工/2—23力>0

11.(24—25高三上•福建莆田•阶段练习)已知函数/(为=(2'，若函数0=/(/3)—小)+

2X,x<0

!■有3个不同的零点，则实数m的取值范围为.

【答案】{—3}U[—2,0)

【分析】令力=/(/)—小,根据函数解析式以及零点解得力=1或力=3,分析可知y=/(力)与"=?7i+l、g=

馆+3共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可.

【详解】令力=/(力)一小,则y=f(t)+y=0,

若方>0,可得—2t+,=0,解得力=1或力=3;

若力<0,可得2。+年无解；

综上所述：/(力)—m=l或/(力)一?71=3,即/(力)=馆+1或/(力)=m+3,

由题意可知：g=f(x)与g=7n+l、g=?n+3共有3个不同的交点，

作出y=，(x)的图象，如图所示，

显夕戈7n+1<馆+3可得(山+1=_21-2<m+l<l

''十十」仔[―2<小+3<1双Vn+3'l'

解得nz=—3或一2V0,所以实数nz的取值范围为{-3}U[—2,0).

故答案为：{—3}U[—2,0).

x

12.(24—25高三上・福建宁德•期中)已知1f(1)=e—ax(aER),g(x)=，若函数.=/(g(t))—a恰

有三个零点，则a的取值范围为.

【答案】

【分析】先通过导数研究g(c)的单调性与最值，结合换元法将问题化为e*=a«+l)的零点问题，根据导数

的几何意义计算参数即可.

【详解】设g(c)=t，则/(i)=a,g'(x)=e1——卓生=0,得rc=e,

x2

当力e(0,e),g<力)>0,gQ)单调递增，

当.G(e,+8),g'(比)<0,g(力)单调递减,

当力二e时，函数g(力)取得最大值1,

如图1,画出函数t=g{x}的图象，

由f（t）=Q，即二一威=Q，则e，=o1（%+l）,g=a（t+1）恒过点（—1,0）,

如图，画出函数g=e”的图象,设过点（一1,0）的切线与g=e%相切于点（扣,/。）,

则［=e"。,得/o=0,即切点（0,1）,所以切线方程为y-x-\-\,

力o+1

如图2,则y=a（t+l）与g=e%有2个交点，a>1,

如图可知，若函数p=/（g（力））+a恰有三个零点，则

则6/>以1+1）,所以。<_1~,

综上可知，1VQV.

故答案为：

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.

题型04二次型因式分解型矶/3）］2+^3）+，

【典例训练】

一、单选题

13.（24-25高三上•江苏南京•期中）已知/（力）=—x2+2\x\，若关于力的方程［/（x）］2+mf（x）+n—

0（M,7zeR）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（）

A.m<—1B.m&UC.mV—1或nz>0D.7n=0或?nV—1

【答案】。

【分析】分方程廿+m1+九=0的两根是否相等，结合/（力）的函数图象讨论即可.

【详解】记方程/+沅+n=0的两根为力1工2（力力2），

当打W力2时，+何*（/）+口=0（馆,九ER）恰好有三个互不相等的实根，

等价于/（力）与和沙=力2共有三个不同的交点，

由图可知，此时有力1=0位>1,

71=力止2=0

—m=/；i+力2=力2>1,得馆V—1；

{m2—4n>0

当力1=力2时，，[/(劣)]2+时(力)+九=0(如口6/?)恰好有三个互不相等的实根,

等价于/(x)与g=11有三个不同的交点，

n=力止2=0

—772=力1+力=20，得m=0.

{m2-4n=0

综上，实数m的取值范围为M=0或772V—1.

故选：。

【点睛】方法点睛：一般地，判断形如/(gQ))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围

时，可采用换元法，先令g(力)=力，求解当f(t)=0时力的值，然后根据函数g(a;)的图象及性质确定当g®=

t时，x的值的个数即为/(g(6))的零点个数.解答时注意数形结合，侧重对函数/(力)与gQ)图象性质的分

析.

14.(24-25高三上.福建泉州.阶段练习)已知函数小)=匕二+],7>>Q

，若关于工的方程产(乃一

力40

24(为+a2—1=0有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()

A.[2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.(2,4]

【答案】B

【分析】设/(，)=£，将方程产(2)—2a于(x)+a?—1=0有8个不相等的实数根,转化为关于t的方程乎一

2at+/—1=0有两个不相等的实根1V5,设g(t)=£2—2at+a2—1,根据二次函数图象的性质,

g⑴川

父)〉?，解不等式组即可求出实数的取值范围.

得出5a

l<a<5

4=(-2a)2-4(a2-l)>0

【详解】作出f(x)的图象如下,

•M

设/(c)=t,则关于工的方程产(2)—2af(x)+4—1=0化为t2—2at+a2—1=0,

观察图象知，直线y=t与y=/(c)的图象最多有4个公共点，

即关于c的方程/(2)=t最多有4个不相等的实数根，

而关于2的方程「(2)一2时(2)+a2—1=0有8个不相等的实数根，

则关于力的方程力2-2at+a2—1=0有两个不相等的实数根±1也且1&质<右<5,

设g(t)=t2—2at+a?—1,对称轴为1=a,

9⑴>01—2a+a~—1>0

5(5)>025-10a+a2-l>0

则，

l<a<5l<a<5

A=(-2a)2-4(a2-l)>04>0

解得24aV4,所以实数a的取值范围为[2,4).

故选：B.

【点睛】方法点睛：与复合函数有关的函数或方程问题，需运用整体思想，将所求方程看成是关于/(c)的一

元二次方程，再利用二次函数根的分布求参数的取值范围.

15.(24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习)已知函数/O)=卫，且关于c的方程[/(T)]2+mf(x)+m=

ex

。有3个不等实数根，则下列说法不正确的是()

A.函数/(为的最大值是JB./(C)在(1,+8)上单调递减

C.山的取值范围是(—4,0)D.m的取值范围是(—一,0)

\2/\e~+e/

【答案】。

【分析】求导后,根据广(为正负可确定f(x)单调性，进而得到最大值，知AB正误；设/(,)=t，将问题转化

为方程廿+小力+巾=0有两个不等实根加益,根据。也的范围可构造不等式组求得结果.

【详解】对于ABJQ)定义域为兄/3)=上生，

・••当iG(—8,1)时，1(力)>0;当/G(1,+8)时，/Q)V0;

.\/(力)在(—00,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，_B正确；

•,«/(^)max=/(l)=},A正确；

对于CD,V当力t—8时，/(力)一一co；当)->+8时，/(力)一0;且当力V0时，/(力)V0;当力>0时，/(力)>

0;

・•・/(/)大致图象如下图所示，

设/(劣)=力，则方程可化为t2+mt+m=0,

,.,[/(%)丁+何(力)+m,二0有3个不等实根，.，・方程力2+Tn力+m=0有两个不等实根力卜右,且e

U2<0

0<Y

或

归=?

当力2=0时，馆=0,此时方程/3）=0仅有1根，不合题意；

0V力iV一

当力2=」■时，」？+—+m=0,解得：m=---J—,此时笊2二馆V0,与<1e矛盾;

ee2ee2+e£2=*

,1A=m2—4m>0

当时，<mV°，解得：—<m<0,

也VO4+-+^>oe+e

le2e

即实数m的取值范围为（一一J—,0）,。错误，。正确.

\e2+e'

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，求解本题的关键是能够通过换元

法，将问题转化为一元二次方程根的分布问题;通过分析原函数图象确定一元二次方程根的个数及所处范

围，进而构造不等关系求得结果.

二、填空题

，21na:

T>o

16.（24—25高三上•天津河西•期中）已知函数〃为=二\若2产0）—3/（.）+1

sin（02：+专）,—兀WrrWO,

=0恰有6个不同的实数解,则正实数⑷的取值范围是.

【答案】［2,学）

【分析】把问题转化为g=/（，）与沙=1或y=（■的交点，画出图形，数形结合,再结合单调性和对称性求出

参数取值范围即可.

【详解】由题意可知2产（土）一3/（c）+1=0的实数解可以转化为/（c）=1或/（①）=/的实数解，

即n=f（x）与y=l或y=g的图象交点的横坐标，

当工>0时，/（/）=辿些，则/（工）=至二等1,

XX2

所以力e（0,e）时，7（劣）>0,所以/（力）在（0,e）上单调递增，

当力E（e,+oo）时，尸（劣）V0,可得f（劣）在（e,+oo）上单调递减，

所以当力=e时，/（力）取得极大值，也是最大值，且;</（^）max—<1；

作出函数的大致图象如下图所示：

所以当力>0时，由图可知g=/（力）与n=l无交点，即方程/（力）=1无解;

y=f(x)与g=4有两个不同的交点，即/(力)=］有两个实数解；

当一兀<力&0时，一兀s+勺&8力+亭<2，

666

令力=04+，■，则|~一兀切+£,装］，则y=sint,t6一兀⑶+先登］,

6L66」L66」

作出大致图象如下图所示：

NA

因为当⑦>o时，n=f5)与n=g有两个不同的交点，

所以只保证y=sin力与y=\及y=f共有四个交点即可，

所以只需一警V—兀口+袭《一坐，解得240<芈，

6663

即可得正实数⑦的取值范围［2,学).

故答案为：［2,学)

【点睛】方法点睛：求解函数零点个数与方程根的问题时经常转化成函数图象交点个数问题，再结合三角函

数图象性质限定出不等式取值范围，即可解得实数⑦的取值范围.

O(童型通关)

一、填空题

7n

17.(23-24高三上•上海静安•开学考试)若函数/(①)=陵—L宽>1在区间［0,+00)上严格增，则

(力-2,1

实数小的取值范围为.

【答案】(—8,9］

【分析】根据符合单调性可得"=lg|。一加|的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.

【详解】因为g=lg〃在定义域内单调递增，且〃=|力一77l|在(—00,772)上单调递减，在(m,+00)上单调递增,

所以y=lg\x-m\在(―oo,m)上单调递减，在(m,+oo)上单调递增，

又因为"一2在(-00,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

若函数/(2)在区间［0,+8)上严格增，则「解得惚W小，

所以实数nz的取值范围为

故答案为：(—8,，］.

18.(24-25高三上•浙江・期中)若函数/⑺=a"W,(a>0,且a¥1)在区间(］,2)上单调递增，则a的

取值范围是

【答案】(o,[]u[4,+8)

【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解.

【详解】/(6)=ax+x可看作由函数g=Q*与函数右=。/+工复合而成，

x

当a>l时，因为g=o/为增函数，所以力=。/+工=(1(力+上-)在(4,2)上单调递增即可，由对勾函数的

x\x/12/

单调性，只需低制，解得心4,

当OVaVl时，因为g=为减函数，所以力=QN+工=CZ(T+—)在d，2)上单调递减即可，由对勾函

x\x/'2'

数的单调性，只需、I—>2,解得OVQW――,

Va4

综上，a的取值范围为(0,1U[4,+oo),

故答案为：(0,1]u[4,+oo)

(____2T0力70

19.(24—25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数/(比)=,'、"(/)='则

[T—4a：+3,T>0[|lna:|,7>0

函数%(尤)=g(/(c))-1的零点个数为个.

【答案】10

【分析】令九(")=0,得g(/(c))=1,再令g(a:)=1,根据g(c)的解析式再分类讨论，即可求出土,即/(①)=0

或f(£)=e或/⑸=工，再画出f(x)的图象,数形结合即可求解.

【详解】令无3)=。(/0))-1=0,得g(fQ))=1,

令3—L

解得力=0或①=e或/=」-,

e

所以f(x)=0或f(x)=e或f(x)=.,

作出/(力)函数图象，如图所示：

由图象可知/(力)=0有4个解,/(力)=e有2个解,/(2)=一"有4个解,

所以九(力)共有10个零点.

故答案为：10.

14

(2㈤7WO

20.(24-25高三上•广东深圳•阶段练习)已知函数/⑺=(\，则函数gQ)=产⑺-3/⑺+

IJln矶力>0

2零点的个数是.

【答案】6

【分析】令g(c)=0,得到/(a?)=1或/(,)=2,进而作出函数/(①)的图象,数形结合即可得解.

【详解】令g(z)=0,即产(2)—3/(工)+2=0,解得/Q)=1或/(c)—2,

作出函数/(2)的图象如图，

由图可知，方程/O)=1有3个实数解，/(2)=2有3个实数解，且均互不相同，

所以g(c)=。的实数解有6个，即g(c)零点的个数是6个.

故答案为：6.

13工一11a:W2

21.(24—25高三上•天津•阶段练习)设小是不为0的实数，已知函数/(>)=；"，若函

[〃-10力+24,x>2

数FQ)=2[/(必)『—何(c)有7个零点，则m的取值范围是.

【答案】(0,2)

【分析】作出于(x)的图象，然后由F(rc)=0,得/(①)=0或2于(x)—m=0,由图象可知/(2)有3个零点，所

以2/(必)一m=0就有4个零点，再结合图象可求出结果.

【详解】作出函数/(,)的图象如图所示，

由F{x)=/(,)[2/(乃—m]=0,得/(2)=0或2f(x)—m=0,

当f(x)=0时,/(二)有3个零点,

要使函数F(a;)=2[/(c)]2—时(2)有7个零点，

则当2f(£)—m—0时，/(,)=节(mT^O),即y=f(x)与夕=葭有4个交点,

结合图形可得解得0<m<2,

即m,的取值范围为(0,2)

故答案为：(0,2).

22.(24—25高三上•广东惠州•阶段练习)已知函数/⑺=[，—J，：>'§⑺=[/⑸了一

(2Q+2)/(力)+Q?+2Q有3个不同的零点小电,g,则实数a的取值范围是.

【答案】[—4,—2)

【分析】令gQ)=0,解得/(力)=a或于(X)=a+2,结合函数y=/(a?)的图象即可得解.

【详解】令gQ)=[/(力)]N―(2a+2)/(力)+a2+2a=[7(x)—a][J(x)—a—2]=0,

解得/(力)=a或/(6)=a+2.

函数y=f(x)的图象如下：

要使g㈤有3个不同的零点，则函数y=f(x)的图象与直线g=a和"=a+2一共有3个交点，

由图可知当卜二；，即一4<a<—2时，函数y—f(x)的图象与直线y=a有1个交点，与直线g=a+

2有2个交点，符合题意.

故答案为：[-4,-2).

‘也+47>2

23.(24—25高三上・福建福州•阶段练习)已知函数/Q)=/,，若对任意的gC[2,+8),

〔2人司x<2

都存在唯一的gG(―8,2),满足/(g)=/(g),则实数a的取值范围是.

【答案】[0,4)

【分析】由题意可得/(，)在[2,+8)上的值域包含于/(2)在(一oo,2)上的值域，利用基本不等式先求出

/(①)在[2,H-CO)上的值域，然后当cC(—8,2)时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而

可求出实数a的取值范围.

【详解】设函数。(①)='+4,2的值域为4,函数h{x)—2号司，reV2的值域为B,

X

因为对任意的XiE[2,+oo)，都存在唯一的x2G(―8,2),满足/(力2)