2025年高考数学复习模拟卷01（学生版+解析）

抢分模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.（2024•全国•模拟预测）已知集合人=｛（工月,=耳，B=］（x,y）x2+（y_i）2=g,则AcB的子集个数为

（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2024.黑龙江哈尔滨.一模）已知复数4*2满足团=区|=3,*2=2-6,则|z「z?|=（）

A.3B.26C.36D.3G

3.（2024.全国.模拟预测）从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是

质数的概率为（）

A.1B.2c.2D.i

5555

4.（2024•全国•模拟预测）已知向量方=（2,机），5=（«,1）,c=（m+l,-l）,若d15，b//c＜则向量商+1在

5方向上的投影为（）

A.-72B.V2C.-2D.2

5.（2024・全国•模拟预测）己知S“是数列｛叫的前“项和，4=2,。用=2（4+2"）,不等式2脑“一S2/1-

128〃+240对任意的〃©州:恒成立，则实数力的取值范围为（）

A.(-w,32]B.(-co,16]

C.[321)D.(-8,8]

6.（2024・四川成都.三模）在平面直角坐标系xQy中，点A（T0）,B（2,3）,向量反=〃?函+〃砺，且

机-"-4=0.若点C的轨迹与双曲线三-y2=1的渐近线相交于两点尸和。（点尸在x轴上方），双曲线

2'

s

右焦点为尸，则飞巫=（）

,△QOF

A.3+20B.3-272C.左箸D.与警

7.（2024高三.全国.专题练习）已知半径为卡的球。的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若

正四面体ABCD的棱与球。的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为（）

A.[2,4向B,[273,673]C,福，46D.[4,12]

8.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃耳=；尤4_|丁+|尤2一工1nx在1）2上存在单调递减区间，则实数a的

取值范围为（）

（2e-l1/ci

A.l-oo,——B.（-00,2]

（2e-C/小

C.「8,丁JD.（ro,2）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024.云南昆明.一模）已知函数〃x）=sin2x,若〃苞）=〃％）=；,则归-到的值可以为（）

7T7T7T27r

A.—B.-C.—D.—

2343

10.（2024・重庆•模拟预测）平面直角坐标系中，曲线石的方程为：/十寸=1则（）

A.曲线石与％轴有4个公共点B.曲线E关于原点。对称

C.曲线£上的点都在某个矩形内D.曲线E上的点到原点。的距离均为1

11.（2024•浙江杭州•模拟预测）已知4%（%>9）是方程尤②-2px-l=0（〃eN*）的两根，数列｛4｝满足％=2,

2=2p,%=2夕%_]+%_2（九23）.｛〃｝满足6.=/（k），其中/（x）=xsin[x[贝（J（）

2

A.a3=4p+2

B.f（an+x-x'^=bn

C.存在实数r,使得对任意的正整数〃，都有2<广

D.不存在实数『，使得对任意的正整数〃，都有

第口卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）（1-丁）仁-白]的展开式中的常数项为.

13.（2024・湖南.一模）如果直线/：依->-2左=。和曲线-4yM=1恰有一个交点，那么实数上的取值范

围是.

14.（2024•广东•模拟预测）已知。为“1BC的外接圆圆心，且:W•前=1,|反卜1.设实数4〃满足而=义通

+/JAC,则^—7的取值范围为____.

2//-1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2024.山东济南.二模）已知函数/（力=加一lnx-l,g（x）=xe*—ox2（aeR）-

⑴讨论〃尤）的单调性；

⑵证明:f（x）+g（x）＞x.

16.（15分）（2024.全国.模拟预测）在四棱柱耳GA中，平面AAQD，平面ABCD,AAi=AiD,

TT

底面ABC。为菱形，ZBAD=j,G,及尸分别为A4，BC,C£»的中点.

（1）证明：GE〃平面A2尸；

⑵若AB=2,tanZ4AD=2,求三棱锥A-AFD的表面积.

17.（15分）（2024.全国•模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的

情况，得到了存储文件个数X与占用网盘空间y（单位：GB）的数据如下：

存储文件个数X2030405060

占用网盘空间y1.52.5468.5

⑴若＞与X有较强的线性相关关系，求y关于X的线性回归方程；

（2）该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件

个数分别为120,125,130,120,125,130,根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月

中至少有一个月占用网盘空间超过20GB的概率.

..2…）8T

参考公式：回归方程£=6+云中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b='-----------------，

（）

2n=i…

a=y-bx.

18.（17分）（2024.全国•模拟预测）己知直线//-2丁-4=0与抛物线。:/=2/5>0）交于4,8两点,

且[4耳=8函.

（1）求抛物线C的标准方程；

⑵若点M（T,2）,求外接圆的方程.

19.（17分）（2024•北京顺义.二模）已知点集此=｛（菁,乂）,（々,%）,…,（%,%）｝（“23）满足04%，%，

%+yW2[=l,2,…对于任意点集M“，若其非空子集A,B满足AcB=0,A^B=Mn,则称集合

对（A,功为此,的一个优划分.对任意点集此及其优划分（AB）,记A中所有点的横坐标之和为X（A）,

B中所有点的纵坐标之和为Y（B）.

⑴写出弧=｛。，DO,0）,（。,2）｝的一个优划分（A,功，使其满足X（A）+Y（8）=3；

（2）对于任意点集性，求证：存在限的一个优划分（A3）,满足X（A）+y（3）<3；

（3）对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.

抢分模拟卷01

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.(2024•全国•模拟预测)已知集合人={(工用,=M，B=］(x,y)x2+(y-I)，：},则AcB的子集个数为

()

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【详解】解法一：集合A表示直线x-y=O上的所有点，

集合B表示圆尤2+(y-l)2=g上的所有点，

因为圆心(0,1)到直线x-y=。的距离为巧,等于圆的半径，

所以直线与圆相切，只有一个公共点，根据一元集的子集个数为2.

故选：B.

1

解法二：可以将直线方程>=无代入圆的方程炉+(y—9='得：

11

X2+(x—19)=—,整理得4——4x+1=0,解得工二万，

所以它们联立方程组的解为x=y=:，故AcB只有1个元素［；，；］，

根据一元集的子集个数为2.

故选：B.

=

2.(2024.黑龙江哈尔滨.一，模)已知复数Z］,z2满足团=忆］=3,Zj+z22—V5i,贝九忖―z?|=()

A.3B.2gC.3拒D.3出

【答案】D

【详解】设4=。+历，z2=c+di,且Q,Z?,c,d£R,

由已知得|zj=曰|=3,+/=+/=3,得+/=c?+12=9，

又Z1+z2=a+bi+c+ch=a+c+(b+d)!=2-45i

故a+c=2,b+d=-\f5,

同时平方得〃+2ac+c2=4，b2+3452bd+d2=5,

相加并化简得2ac+2bd=—9,

Jfu|Z]_z^l=J(a—c)~+(b—d)-=J(a+<?)2+(b+d')--(4℃+Abd)，

="(a+4+(b+-2(2ac+2bd)=79-2x(-9)=后=3如.

故选：D

3.(2024.全国.模拟预测)从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是

质数的概率为()

A.1B.2C.3D,1

5555

【答案】C

【详解】由题意知，数字1,2,3,4,5中共有3个质数，分别是2,3,4,

从1,2,3,4,5中随机选取2个数的所有基本事件有：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共10个，

其中恰好有1个数是质数的基本事件有{1,2},{1,3},{1,5},{2,4},{3,4},{4,5},共6个，所以所求概率为磊=|.

故选：C.

4.(2024•全国•模拟预测)已知向量M=(2,根)，b=(n,l)fc=(m+l,-l),若&J_6，b//c贝U向量M+亍在

B方向上的投影为()

A.-V2B.72C.-2D.2

【答案】A

【详解】由方得加+2〃=0.由寻根+〃+1=0，所以根=一2,n=l,

所以商+”(1,—3),5=(1,1),

故向量乙+1在日方向上的投影为1——=--------=-J?

b\VT+1

故选：A.

5.(2024•全国•模拟预测)已知S“是数列{%}的前"项和，4=2,%=2(%+2"),不等式

2而“-52”+「128〃+2<0对任意的〃€可恒成立，则实数力的取值范围为（）

A.（F,32]B.（-oo,16]

C.[32,同D.（-»,8]

【答案】A

【详解】••・%=23+叫，.•・爵一1=1,又4=2,

数列]墨｝是首项为1、公差为1的等差数列，

.­.—=?7,a„=nx2",

2"

S„=lx2+2x22+3x23+---+nx2"@,

23,,,!+1

.­.25,!=lx2+2x2+---+（n-l）x2+nx2@,

①一②得，-s=2+22+23+---+2,;-WX2"+1=^—^J-nx2"+1=（l-M）x2,,+1-2-

"1-2''

：.Sn=（〃一l）x2'"i+2,不等式2Aa„-S2„+1-128«+2<0,

即2/Mx2"-2〃x22n+2-2—128/z+2W0,

故2V+£对任意的〃eN*恒成立.

又2.+2+竺222"2x空=32,当且仅当2"2="，即〃=2时等号成立，

2"\2"2

.-.2<32,

故选：A.

6.（2024.四川成都.三模）在平面直角坐标系宜为中，点A（T0）1（2,3）,向量就=根函+〃砺，且

〃?-〃-4=0.若点C的轨迹与双曲线+-丁=1的渐近线相交于两点尸和。（点尸在龙轴上方），双曲线右焦

q

点为F,则产=（）

A.3+2&B.3-2后C.蚌交D,若箸

【答案】D

【详解】由于向量历=加函+〃砺，点A（T,0）,3（2,3）,所以C（—m+2〃,3〃），

因为根-〃-4=0,所以点C(〃-4,3”)，则点C的轨迹为y=3(x+4),

〔_V2厂

与双曲线j-y2=i其中一条渐近线丫:孝心联立＜,y=-r~x7日12+36&

2，何为=--------

y=3(x+4)u

x,得36Gl2

联立、”

[y=3(x+4)17

S0-\OF\-MyP_36>/2-12_19-672

因此"POF__L_________

yQ-360+12-17

S。^\OF\-\yQ\

故选:D

7.(2024高三.全国.专题练习)已知半径为而的球。的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若

正四面体A3CD的棱与球。的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为()

A.[2,4目B.[2后,6@C,菌，4指D.[4,12]

【答案】C

【详解】设正四面体ABCD的棱长为。，则其高为逅

3

＜/?y([7丫

当正四面体ABC£＞内接于球。时，。最小，止匕时——a+——a-y/6=6,得a=4.

33

\7\7

当球。与正四面体A3CD的每条棱都相切时，。最大，

因为球。的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，

所以当球。与正四面体ABCD的每条棱都相切时,

借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，

且球心。到正四面体的顶点的距离为迈〃-逅〃=逅〃，

3124

2

利用勾股定理可得得a=4若•

故正四面体A3CD的棱长的取值范围为［4,4若］.

故选：C.

8.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃彳)=；尤4一|丁+|尤2-x1nx在1)2上存在单调递减区间，则实数。的

取值范围为()

f2]

D.(-co,2)

【答案】D

5

【详解】因为函数/'(x)=-"lx+"|■尤2-尤1nx,可得(x)=丁-2x?+ox-lnx-l,

因为函数/(x)在/上存在单调递减区间，

可得/(%)=%3-2%2+办-in%-1<0在「2上有解,

e

即a<1+1nx+2兀一/在-,2上有解,

-<x<2,则且/(%)=-7-2(1),

当:Vx<l时，一营>0,-2(尤一1)>0,所以g'(x)>0；

当1<%W2时，一手<0,-2(%-1)<0,所以g，(x)<0,

所以g(x)在上单调递增，在。,2］上单调递减，故g(x)1mx=g(l)=2,所以a<2.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2024.云南昆明.一模)已知函数/(x)=sin2x,若〃%)=〃％)=；,则归-到的值可以为()

7T7E7T27r

A.—B.-C.—D.—

2343

【答案】BD

【详解】令/(x)=sin2%=，=>2x二三+2吊兀或2%=2+2左2兀，kvk2GZ,

266

57r7T

故工二一+右兀或无二一+勺兀，勺，k2eZ，

故|再一%|二广+/2兀一3一勺兀—+rmi，根£Z.

3

TT2兀

取机=0和帆=-1可得一或—，

33

故归-引的值可以为m或冷,

故选：BD

10.（2024・重庆•模拟预测）平面直角坐标系中，曲线E的方程为：/+、4=1则（）

A.曲线E与x轴有4个公共点B.曲线E关于原点。对称

C.曲线E上的点都在某个矩形内D.曲线E上的点到原点。的距离均为1

【答案】BC

【详解】对于A：由/+/=1,令尸0,可得丁=1,解得％=1或x=-l,

所以曲线E与x轴只有（1,0）和（-1,0）共2个公共点，故A错误;

对于B:因为（—）4+（7）4=/+寸=1,所以点（x,y）和点均在曲线E上，

所以曲线E关于原点。对称，故B正确；

对于C：因为公+丁=1,所以忖41且N«I,

即曲线E上的点都在直线x=l、x=-1、y=l、V=T所围成的矩形（包含边上的点）内，

所以曲线E上的点都在某个矩形内，故C正确；

因为卜区1,且所以/士/，/＞/,

所以V+yZ'f+y=i,所以曲线E上的点到原点。的距离，故D错误.

故选：BC

11.（2024.浙江杭州•模拟预测）己知小赴&＞龙2）是方程尤2-20匹-1=0（°€^）的两根，数列｛4｝满足弓=2,

a2=2p,可小？。%.—%.2（〃N3）.也｝满足么=/（呼），其中〃x）=xsingx）贝lj（）

2

A.a3=4p+2

B.f（an+l-x；）=bn

C.存在实数小使得对任意的正整数“，都有或＜「

D.不存在实数r,使得对任意的正整数”，都有£＞厂

【答案】ABC

【详解】由于占,%（%>%）是方程d-2px-l=0的两根，故士+彳2=2。，%%=T.

并可解出X］=0+Jp2+1,X?=p_+1.

用数学归纳法证明：对任意的正整数九，有。,=工尸+以-1

当”=1时，由玉电=-1知册,尤2*0，故4=2=1+1=#+/，结论成立；

当〃=2时，有为=2p=%+无2=吊+只，结论成立；

假设当”=左-2,以及〃=左一1时结论都成立，这里人23,则%_2=无尸+无尸，4"1=苫尸+

此时有4=2P4T+4-2

=2。储-2+君-2）+（铲+镇）

=2"疔2+x%）-（T（AT+X沟

=（%+*2乂甘—+X2~2）-占*2（4-3+X尸）

2

=X；T+X^~X2+石尤尸+无尸一再无尸_尤；2尤2

=卡+十，

故结论对"=左也成立.

综上，对任意的正整数〃，有%=工产+石）

由于％=2是偶数，且由peN*知的=2。是偶数，

且an=2p%+%_2（〃23）,可知每个an都是偶数.

所以么=/M=ksin［］x［=x：sin］（耳+芯一芯）=x：sin］（%+「芯）

=X：sin（兀•号一］可［=X；•1）基sin1一］石］,

故同=年卜4111芯；

而'Xy=p"p?+1〉0,］玉|二%.

又因为冈=1。-次可=内-。=而匕“七<1,

故—1〈芯<1,

所以同=%>sin算

构建/(%)=%-5皿羽0<%<^,则/r(x)=l-cosx>0^^0,^j内恒成立,

则"了)>〃。)=。，可得%>51口］,。<%<^成立.

由于菁=p+Jp2+121+及>1,知玉〉1,

故同"可必尸点=/即—2<a<2.

对于A,有生=#+%；=(%+%)2-2%兀2=4p2+2,故A正确；

对于B,有/&+「芯)=/隙+芯—引"(引=2,故B正确;

对于C,由于〃<2,故存在实数r=2,使得对任意的正整数“，都有故C正确；

对于D,由于4>-2,故存在实数厂=—2,使得对任意的正整数“，都有">乙故D错误.

故选：ABC.

第口卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2024•黑龙江大庆.模拟预测)的展开式中的常数项为

【答案】T

26

【详解】二项式的展开式的通项公式为Tr+I=(-1/晨-2,--r=0,1,2,3,4,5,6，

令6—=0,求得丁=4,令6-彳=-3,求得厂=6,

由于(I需卜仔丁

故其展开式中的常数项为(-1)4c>矛_(_球C：.2,=60-64=-4

故答案为：-4.

13.（2024.湖南.一模）如果直线，：丘-，-2左=0和曲线4引引=1恰有一个交点，那么实数上的取值范

围是•

【答案】~，一*留心+“

【详解】由题意，当yNO时，nd一4y2=1为双曲线的上半部分；

当y＜。时，「:/+4/=1为椭圆的下半部分.

考虑临界条件，当丁=笈@-2）与椭圆下半部分相切时，有

整理得（1+4左2）尤2_i61iix+16左2一1=0,则△=（16/）2_4（1+4阴（16r_I）=0,

由图象女＞0解得上=立.

6

当y=-2）与双曲线必-4V=1的渐近线平行时也为临界条件.

故实数上的取值范围为,哈卜：+“

故答案为：,应—g

14.（2024.广东.模拟预测）已知。为“BC的外接圆圆心，且而•前=1,|肥|=1.设实数4〃满足！5=力通

_.22

+〃AC,则:;一的取值范围为____.

2//-1

【答案】（-3,-1）

【详解】解：由题可得，以3c的中点M为原点，3c方向为x轴，3c的中垂线为＞轴,

建立如图所示平面直角坐标系：

因为网=1,所以川―,。［,。(：,。.记圆心0(0,〃?)，半径为r,

911

所以圆。的方程为*+(i)=—疗,

不妨设A(rcos仇机+rsin夕)，所以AO=(-尸cos0,-rsin,BC=(1,0),

AB-1---rcos0,-m一厂sin61AC=|--rcos0,—m一rsin81

I2)Uy

因为而•觉=1,所以rcos6=-l,

因为13=2荏+〃宿

所以(一rcose,-rsine)=/l1-；-rcos8,-m-rsine)+41；1-rcose,-m-rsine),

2

-rcosd=---rA,cos0+--racos0

所以可得22

-rsin0=-mA-r2sin0-mjn-r/zsin0

将rcos°=T代入上式可得2='+3',in*匚m(2访+n)/①_,

因为户=工+加之，rcos^=-l@,

4

2

4+〃

将①的平方和②的平方相加可得：丫2=而+1,

1-(2+//)

23

2m

所以上14+〃--4。』)'

m21-(2+m2

4+〃

所以

/T<"

将2=2+3〃带入可得,即一<

1244—6/71

即0<<2,所以-3G(-3,-1),

2〃—124-12/7-12//-1

所以京i的取值范围为（T-1）。

故答案为：（-3,-1）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（2024・山东济南・二模）已知函数/（"=方2-lnx-l,g（x）=xeX-<xr2（aeR）-

⑴讨论的单调性；

⑵证明:/（%）+g（x）>x.

【答案】（1）答案见详解

（2）证明见详解

【详解】（1）由题意可得：/（元）的定义域为（0,+8）,〃月=2公-工=返二I

XX

当aV0时，则2ax2-1<0在（。,+8）内恒成立，

可知在（0,+8）内单调递减；

当a>0时，4/^）>0,解得x>F；令/'（x）<0,解得0〈尤<g；

\2clV2cl

可知在0,gJ内单调递减，在[卷，+8内单调递增；

综上所述：当440时，/（X）在（0,+。）内单调递减；

当a>0时,/⑴在内单调递减，在,——,+00内单调递增.

2a

(2)构建方⑺=/(%)+g(x)—x=xe"-lnx-x-Lx>0,

则Fz(x)=(x+l)ex——]=(x+l)

由x>0可知尤+1>0,

构建=e%——,x>0,

因为y=e*,y=--在（O,+e）内单调递增，则力⑴在（0,+8）内单调递增,

Ve—2<0,/z(l)=e-l>0,

可知h[x）在（0,+。）内存在唯一零点％o£（；，1

当O<x</o,则。（力<0,即0〈九）<0；

当X〉/,则力⑺>0,即尸（无）>0；

可知方（可在（0,%）内单调递减，在（%,y）内单调递增,

则F（x）>F（x0）=/e%一In%一%一1,

又因为e』」=。，则1。」,％=尸。，xoefl1L

/尤。<2）

可得尸（%）=尤°x-5--Ine』-xo-l=O,

即网x）N。所以“x）+g（x"x.

16.（2024.全国•模拟预测）在四棱柱ABCD-A^D,中，平面A\D{D1平面ABCD,M=AtD,底面ABCD

为菱形，ZBAD=^,6,工尸分别为明,2。,8的中点.

（1）证明：GE〃平面ARB；

⑵若AB=2,tanZ^AD=2,求三棱锥，-AED的表面积.

【答案】（1）证明见解析；

⑵回+"走+2.

442

【详解】（1）如图，连接耳8。，设4。口4，=77,连接HG,HF,EF,

■：几何体ABC。-ABCQi为四棱柱，

四边形4。。必是平行四边形，四边形片是平行四边形，

.•.H是AA的中点，BD〃BR,BD=BlDl,

G,E,尸分别为ABVBC,CD的中点,

:.GH〃BR,GH=gBR,EF//BD,EF=^BD,

:.GH//EF,GH=EF,

四边形GHFE是平行四边形，:.FH//GE,

•.♦"/u平面AR尸，GEu平面40吠，

GE//平面皿/.

(2)设。是仞的中点，连接40,过，作A尸〃A。，，P交AD的延长线于点P,连接尸尸，易知42〃。尸,

，四边形42尸。为平行四边形，\止=1,D}P=\O,

•：AAj=AtD,1AD,

•.,平面A4QQ_L平面ABCD,平面平面ABCD=AD,

A。，平面ABCD,尸，平面ABC。，，2尸，尸。，DtP1PF.

又tanNAAO=^=加=2,

“AO1

A]O=2,DXP=2,

/.S.)=—ADxZ>.P=—x2x2=2.

ZA/ALLnZrL^212

jr

易知DP=DR=1,NPDF=NDAB=q,.•△阳产是边长为1的正三角形，即尸尸=1.

2222

在RtAAPB中，D[F=^DXP+PF=72+1=75,

2222

在RtZ^RPA中，DtA=^DXP+PA=V2+3=V13,

在Rt^R尸。中，DR=QDF+DP?=V22+l2=-y/5,

在AADF中，AF=yjAD2+DF2-2ADxDFcosZADF=k2+12-2x2xlxL|j=^,

S^ADF=-ADxDFsinZADF=-x2xlx^=^,

△mF2222

22

在△RA/中，cosZ£>7^4=DXF+AF-D^1

2DxFxAF2735

/.sin/Z)iFA=41一cos?ND[FA=壶〉票

c_1nzr人心.小人」匕rV139_V139

5

-AD,AF=5xAFsmZD]FA=万x，5x,7x4>

•■•三棱锥2-AFD的表面积为叵+@1+3+2.

442

17.（2024・全国•模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，得

到了存储文件个数x与占用网盘空间,（单位：GB）的数据如下:

存储文件个数X2030405060

占用网盘空间y1.52.5468.5

（I）若y与X有较强的线性相关关系，求y关于X的线性回归方程；

（2）该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数

分别为120,125,130,120,125,130,根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有

一个月占用网盘空间超过20GB的概率.

参考公式：回归方程亍=4+云中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为〃=-------;—，a^y-bx.

Z（一）

n=i

【答案】⑴9=0175X-2.5

20+30+40+50+60

【详解】（1）由条件可得元==40,

5

_1.5+2.5+4+6+8.5.

y=-------------------------=4.5,

5

£x,2=202+302+402+502+602=9000,

i=l

5

^(x,-x)(X-y)=(-20)x(-3)+(-10)x(-2)+0x(-0.5)+10xl5+20x4=175,

Z=1

55_2

Z(x,一丁)-5%=9000-52=9000-5x402=1000,

1=1Z=1

〜|(jq-x)(y3-j)

175…「

b=j----------------------=0.175,

5(无一行1000

&=4.5-0.175x40=—2.5.

•••线性回归方程为9=0175X-2.5.

(2)令9=0」75》-2.5>20,得尤〉竺，128.57.

-7

•••这6个月中占用网盘空间超过20GB的有2个月，分别记为A8,

其余4个月分别记为G〃,e,7.

从这6个月中随机选取2个月，所有不同情况有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共

15种，

记事件M为“这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过20GB,

则事件M包含的情况有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,Bf,共9种，

Q3

故所求概率网M)=西=不

18.(2024•全国•模拟预测)已知直线/：工-2丁-4=0与抛物线。:);2=2必(2>0)交于4,8两点，且

|AB|=8V1O.

(1)求抛物线C的标准方程;

⑵若点M(T,2),求△制1外接圆的方程.

【答案】(l)/=4x

八、224774100c

(2)x+y---x--y--—=0

【详解】⑴设4(%,%),3(称为)，

将x-2y-4=0与J?=2px联立，化简得y2-4p_y-8p=0,

所以％+%=4p,%%=-8p,A=16p(p+2)>0,

%-4%%=4若Jp(p+2)=8师,

得P=2,

所以抛物线C的标准方程为>2=4x.

(2)

设AABM外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（£>2+£2-4F>0）,

由卜I1得y2_8y_16=0①，

[x-2y-4=｛J

由『[":":"""二。’得5y2+（16+2D+E）y+4D+"+16=0②，

因为4（4乂）,8（9,外）两点既在抛物线上又在圆上，

所以①、②两个方程的解均为外和内,

,,516+2D+E4D+F+16

故,=,得2D+E=