2025年高考数学复习难题之幂函数、指数函数、对数函数

2025年高考数学复习难题速递之暮函数、指数函数、对数函数（2025年4

月）

一.选择题（共8小题）

1.(2025•宝鸡校级模拟)已知a>0且aWl,若函数/(x)=log(a+2)x-logax与g(x)=(a+2)x+a^

在区间（0,+8）上都单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,V3-1)B.(V2-1,1)C.[V3-1,1)D.[V2-1,1)

c/nio

2.（2025•龙岗区校级二模）若a=log318,b=ln（2e~）,c=e~^~,则a,b,c的大小关系是（）

A.B.C.c<b<aD.b〈c〈a

3.(2025•鹤壁二模)已知a>0且aWl,若函数/(x)=logs+2>x-log^x与g(x)（〃+2）龙+必在区间

（0,+8）上都单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.(0,V3-1)B.(V2-1,1)C.[V3-1,1)D.[V2-1,1)

4.（2025•朝阳区模拟）已知（用，yi）,（X2,”）是函数图象上两个不同的点,则下列4个式子中

正确的是（）

…+久2江乜2

①2

，

比1+X21+.2

)—~->62

2

2<当+、2

③,巧+%22

A.①③B.②③C.①④D.②④

5.（2025•广州一模）已知实数a,b满足3"=心，则下列不等式可能成立的是（）

A.Z?<4Z<0B.2/?<6Z<0C.0<a<bD.0<2b<a

6.（2024秋•邢台期末）任何一个正数N可以用科学记数法表示成〃义10〃（IWQVIO,几EN）的形式，当

〃>0时，称N的位数为〃+1.根据以上信息可知53°的位数是（起2心0.301）（）

A.20B.21C.22D.23

7.（2024秋•铜陵期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复

的加法，哥是重复的乘法.定义：aTZ?=a-a-a......a=ab,@TTb=aTaTaT…Ta（从右往左计

b个ab个a

5TT3

算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为瞰，则下列各数中与〒最接近的是（参考数据

盘2q0.3）（）

21052125

A.102025B,102055C.IOD.10

8.（2025•单县校级一模）已知/Xx）=4声-1|,则下列不等关系正确的是（）

A./（log26）<f（logo.51.25）</（1）

B.f（logo.51.25）<f（log26）</（1）

C./（I）<f（logo.51.25）<f（log26）

D.f（1）<f（log26）<f（logo.51.25）

—.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•六盘水月考）已知函数/（久）=10%：岩（a>0,a彳1,keR,k不1）为奇函数，

则下列说法正确的是（）

A.k--1

B.若0<a<l,如果当xe（造，1）时，函数/（X）的值域是（1,+8）,则口=字

C.若a=10,则不等式-1勺0）vz"的解集为G，当）

D.若。>1,如果存在实数00,1）,使得/⑷e弓—帝，刍成立，则实数a的取值范围是（2,+8）

（多选）10.（2025•湖南模拟）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对

污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S（x）=。、a，xe［0,1］,a>0,

其中X表示污染物浓度，。为设备灵敏度参数Q越大，灵敏度越高）.下列结论中正确的是（）

11

A.s（X）过定点台,今

B.S（%）在污染物浓度区间［0,1］上单调递增

1

C.S（x）关于汽=2对称

D.取定x的值（04V》，灵敏度越高，监测值越小

（多选）11.（2024秋•同心县期末）若。>1,函数/（x）=|logfl（x+2）I，则下列说法正确的是（）

A-f（一令=/（2）

B.函数无）在区间（-1,+8）上单调递减

C.函数/⑴在区间［一慨，0］上的最小值为。

D.若/（xi）—f（X2）（%1<九2），则（xi+2）（X2+2）=1

（多选）12.（2024秋•资中县校级期末）下列说法正确的是（）

A.函数/（X）=/一2-4（〃>0且的图象恒过定点（2,-3）

B.函数/（%）="'与0（%）=一■^表示同一个函数

x（⑸

______j-4+l

C.函数/（%）=V%2+4+"।的最小值为3

J/+4

D.若关于x的不等式tzx2+2x+c<0的解集为{X|X<-1或%>2},则ac=-6

三.填空题（共4小题）

13,（2024秋•固镇县校级期末）已知函数丁=（2机-1）-2是塞函数，一次函数y=Ax+Z?（左>0,b

41

>0）的图象过点（m,几）,则丁+工的最小值是

kb

14.（2024秋•江西期末）已知函数/（x-1）的定义域为（-1,3）,则函数g（x）=偿柒的定义域

LiL\人I.L1

为.

15.（2025•杨浦区校级开学）函数/（无）=logv（2x-1）的定义域为.

16.（2024秋•福州期末）函数/（无）=log„（x-1）（a>0且aWl）的图象必经过定点P,则点尸的坐标

为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•上海校级月考）已知函数/（x）=loga（1+x）-log。（1-x）（a>0且aWl）

（1）讨论了（x）的奇偶性与单调性；

（2）若不等式，（x）|<2的解集为{比|£<rv},求a的值.

18.（2024秋•石嘴山期末）若函数fO）=（>n2-3爪+3）%/+2恒-4为幕函数，且在（0,+ra）单调递减.

（I）求实数m的值；

（II）若函数g（x）=x-f（x）,且xe（0,+°°）.

（/）写出函数g（x）的单调性，无需证明；

（而）求使不等式g（2r-1）<g（?）成立的实数r的取值范围.

19.（2024秋•威海期末）已知函数/（无）=4V-2X-6.

（1）若/（无）<0,求x的取值范围；

（2）若关于X的方程/（无）=7"有两个不相等的实数根，设为XI，X2.

（Z）求的取值范围；

(z7)证明：xi+x2<-2.

20.(2024秋•龙岩期末)已知函数f(%)=log3®+1)+a%是偶函数.

(1)求实数。的值；

(2)若函数g(尤)=9'+9一旺〃2・3/3的最小值为-3,求实数m的值.

2025年高考数学复习难题速递之暮函数、指数函数、对数函数(2025年4

月)

参考答案与试题解析

选择题(共8小题)

题号12345678

答案DBDBBBCA

二.多选题(共4小题)

题号9101112

答案ADABDACDAB

选择题(共8小题)

1.(2025•宝鸡校级模拟)已知a>0且若函数/(无)=logg+2>x-log°x与g(x)=(a+2)x+a^

在区间(0,+8)上都单调递增，则实数。的取值范围是()

A.(0,V3-1)B.(V2-1,1)C.［V3-1,1)D.阳-1,1)

【考点】对数函数的图象；指数函数的图象.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用换底公式得/⑴=/看一器=［而后一焉的“，然后利用对数函数的性质即可求

解；对g(x)=(〃+2)%+/求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.

【解答】解：由题意〃>0且函数/(%)=log(a+2)x-logo%与g(%)=(〃+2)*+/在区间(0,

+8)上都单调递增，

可知/(*)=瓦羯-需=［高百-焉］"

1111

因为/(%)在区间(0,+8)上单调递增，所以「—--—>0,即—,当〃>1时，

ln^a+2)Inaln(a+2)Ina

有In(〃+2)<lna,即2V0,不成立，

11

当OVqVl时，有加(〃+2)>0,lna<0,则------->—成立，所以

ln^a+2)Ina

又g(%)=(〃+2)%+/在区间(0,+8)上都单调递增,

所以g'(x)—(〃+2)xln(Q+2)+储在XE(0,+°°)时怛成上，

所以(1+\工2八在xe(0,+8)时恒成立，

CvLiCvI乙J

2/T?n

因为尸所以

(1H—vL>1,—LjfL_IzLt.I_乙i_Jn\<1=—Ina<)(a+2)n+2),

所以—Wa+2na?+2a—120na2"\/2—1或a<—V2-1,

a

又0<a<l,所以鱼一IWaVl,

即实数a的取值范围是[夜-1,1).

故选：D.

【点评】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，是中档题.

cInW

2.(2025•龙岗区校级二模)若a=log318,b=ln(2e2),c=e^~,则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】由题意可得。=2+log32,b=2+ln2,c=V10,结合函数的单调性可得Iog2e<log23,可比较大

小.

【解答】解：a=log318=2+log32<3,

b=ln(2e2)=2+ln2<3,

仇10.___

c=e2=e'nVio=-^10>3,

又y=logix在(0,+°°)上单调递增，e<3,

所以Iog2e<log23,

所以/〃2>log32,所以c>6>a.

故选：B.

【点评】本题考查对数值大小的比较，属于中档题.

3.(2025•鹤壁二模)已知a>0且aWl,若函数/(x)=logs+2>尤-logax与g(x)=(a+2)斗/在区间

(0,+8)上都单调递增，则实数。的取值范围是()

A.(0,V3-1)B.(a一1,1)C.[V3-1,1)D.[V2-1,1)

【考点】对数函数的图象；指数函数的图象.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用换底公式得/⑺=冷-需=［反扁-右的x，然后利用对数函数的性质即可求

解；对g（x）=（a+2）求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.

【解答】解：由题意。>0且aWl,若函数/（无）=log<0+2）尤-log/与g（x）=（。+2）旺/.在区间（0,

+8）上都单调递增，

可知/（X）=无簿力-需=［高百-焉］"

11

因为/（X）在区间（0,+8）上单调递增，所以7------7-7—>0,

Zn（a+2）Ina

11

即------->----，当时，有加（〃+2）<lna,即2V0,不成立，

Zn（a+2）Ina

11

当OVaVl时，有历（〃+2）>0>0,lna<0,则------->—成立，

Zn（a+2）Ina

所以OVQVI；

又g（尤）=（〃+2）在区间（0,+8）上都单调递增,

所以g'（%）=（。+2）xln（。+2）+储7〃。20在xE（0,+°°）时怛成乂,

所以（1+务2八在xe（0,+8）时恒成立，

（XL11-I（XI乙）

7

因为

所以-/及：“三10一仇。<Zn（a+2）=Ina"1<Zn（a+2）,

所以—Wa+2na?+2a—120na2,\/2—1,或a<—V2—1,

a

又0<a<l,所以夜—lWaVl.

故选：D.

【点评】本题考查了指数、对数函数的图象及性质，是中档题.

4.（2025•朝阳区模拟）已知（无1，”），（X2，t）是函数y=/«x图象上两个不同的点，则下列4个式子中

正确的是（）

…+久2一+、2

①？（e2

^久1+冷、1+〃2

②2

③）一一<-当+。2

/+冷2

巧+。

@ln——>—2

巧+冷2

A.①③B.②③C.①④D.②④

【考点】对数函数的图象.

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】求出已知两点的中点坐标及函数y=/"的图象上纵坐标为宜之的点，结合函数图象建立不等

式，即可得解.

【解答】解：画出函数的图象，如图所示:

%+%2yi+21)

设A（xi，yi）,B（尤2，”），AB的中点为M（

22

点N在函数的图象上，且〃龙轴，则Ne港2,也产）,

光+光yi+y2

由图知点N在M的左侧，即六二〉eF",所以①错误，②正确;

…Xl+%2%1+%2%+3rr2yi+y2

贝ljIn——->lne~^~=即-In----->

22X-L+%22

即/，一一v—也坐，所以③正确，④错误.

Xx+%22

综上,正确的命题序号是②③.

故选：B.

【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是中档题.

5.（2025•广州一模）已知实数a,b满足3。=心，则下列不等式可能成立的是（）

A.b<a<0B.2b<a<0C.0<a<bD.0<2/?<4?

【考点】指数函数图象特征与底数的关系.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】根据题意分％=1,k>\,0<%<1三种情况结合对数的运算和性质即可求解.

【解答】解：设3a=心=上当上=1时，a=b=0,

当%>1时,a=log3%>0,b=log4）>0,

igk

aloa^k7^3la4一,

-=:----=——=logA>1,所以a>b>0,

blog4k坐lg33

2g4

igk

aloqIci3IQ2.

因为2b=log2%>0,—=——=iffc=—=log@VI，所以2b>a>o,

J2g2J

当0VZV1时，〃=log3左VO,b=log4%<0,2b=log2%V0,

Igk

K==假=黑=log34>l,所以Q>b>a,

1ig41

a

因为五=log32<1,所以0>〃>2b.

故选：B.

【点评】本题考查指对互化，对数的运算，对数函数的性质，属于中等题.

6.(2024秋•邢台期末)任何一个正数N可以用科学记数法表示成aXIO"(lWa<10,”6N)的形式，当

〃>0时，称N的位数为w+1.根据以上信息可知53°的位数是(欣2Q0.301)()

A.20B.21C.22D.23

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】可令53°=aX10〃，其中lWa<10,“CN,然后两边取对数即可得出”+盘4220+0.97,然后即

可得出”的值，从而得解.

【解答】解:令53°=aX10"(IWaClO,nGN),MOlg530=lg(aXIO"),整理得：3Qlg5=n+lga,

因为收5=1-欣2-0.699,所以30收5-20.97,即"+收。-20+0.97,又lWa<10,“CN,所以OW/ga<l,

所以"=20,3心0.97,故53°的位数是21.

故选：B.

【点评】本题考查了对数的运算性质，是中档题.

7.(2024秋•铜陵期末)高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复

的加法，幕是重复的乘法.定义：aTb=a,a-a......a=ab,aTTb=aTaTaT…Ta(从右往左计

b个ab个a

5TT3

算).已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为1082,则下列各数中与〒最接近的是(参考数据

/g2七0.3)()

A.102025B.1。2°55C,IO2105D.102125

【考点】对数运算求值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类.

【答案】c

【分析】先得到5tt3=53125,利用对数运算法则计算出国苧。2105.5,得到答案.

【解答】解：定义：alb=a'a-a...a=ab,aTTh=aTaTaT---Ta(从右往左计算).

b个ab个a

所以：5TT3=5S5=5312S,

STTR13125

则匈岑=匈53125_匈1082=3125仞5-82=3125(1-32)-82«3125X0.7-82=

2105.5,

....5TT3.

所以——〜1()721f0)I5.

T

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：定义性问题的应用，对数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

8.(2025•单县校级一模)已知人无)=弓上7,则下列不等关系正确的是()

A.f(log26)<f(logo.51.25)</(1)

B.f(logo.51.25)<f(log26)</(1)

C./(I)</(logo.51.25)<f(log26)

D.f(1)<f(log26)<f(logo.51.25)

【考点】对数函数的单调性与最值；对数值大小的比较.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由题意，画出函数/(%)的大致图像，由函数无)的图像可知，/(I)是最大值，f

(X)的图像关于直线x=l对称，再比较log26和logo.51.25与1的距离,即可得到f(log26)与

f(logo.51.25)的大小关系，从而得出结论.

【解答】解：画出函数/0)=($附7的大致图像，

如图所示：，

函数/(x)的图像关于直线x=l对称，

由函数/(无)的图像可知，/(I)是最大值.

|log26-l|=|log26-Iog22|=log23,

|logo.51.25-l|=|logo.51.25-logo.50.5|

25

=|logo.52.5|=\log2g|=log25-1=log2^.

由于1002尚<10g23,

.*./(log26)<f(logo.51.25),

•V(1)>f(logo.51.25)>/(log26).

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数值的大小比较，考查了数形结合法的应用，同时考查了学生的计算能力,

是中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•六盘水月考）已知函数/（无）=1。以芸竺（a>0,a41,keR,k力1）为奇函数，

则下列说法正确的是（）

A.k--1

B.若0<a<l,如果当xe（造，1）时，函数/（X）的值域是（1,+8）,则a=^

C.若a=10,则不等式-1</（%）<"的解集为希

D.若41,如果存在实数生［0,1）,使得弓—2，刍成立，则实数a的取值范围是（2,+8）

【考点】对数函数的图象；函数的奇偶性.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到方程，求出k=-1；8选项，由复合函数单调性得到八久）=

log。（亳-1）在xe俘，1）上是严格增函数，从而得到f造=1求出a=2—8；C选项，由函数单

11—V1

调性得到一<—<-,求出解集；D选项，由/（x）的单调性得到值域为（-8,0］,进而得到（-

101+x2

8,3与。子，勺的交集为非空，得到不等式，求出答案.

【解答】解：对于A：因为/（x）为奇函数，

所以f（-x）+f（x）=loga^^+loga^~=loga=0,则严=1,

因为左Wl,所以左=-l,A正确.

对于3：令g（x）=L则由得-IV九VI.

因为g（龙）在（-1,1）上单调递减，

所以当0<“<1时，/（%）=2。坂（&-1）在xe（亭，1）上是严格增函数，

F5叵_、

所以/（T）=109=l°9aTf+i=1，

所以a=*；=（石=2一遮,B错误.

V3+1乙

1_y

对于C：当〃=10时，/（%）=，。耳p

111—X1

则由—1</（%）<lg^得，。而^^1+%<仞2，

11—%119

所以77V；—<-，解得二4<77，。错误.

101+%2311

对于。：当4>1时，f（X）=10坂（备一1）在［。，1）上单调递减，

所以/（x）在［0,1）上的取值范围是（-8,0］.

11111

由题意知（-8,0］与（不―2，引的交集为非空，所以£—解得。>2,。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查了函数的综合问题，是中档题.

（多选）10.（2025•湖南模拟）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对

污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S（X）=FY~屹，A-e［0,1］,a>0,

xa+（l-x）

其中x表示污染物浓度，。为设备灵敏度参数（。越大，灵敏度越高）.下列结论中正确的是（）

11

A.s（X）过定点（云!）

B.S（x）在污染物浓度区间［0,1］上单调递增

1

C.S(x)关于％=2对称

D.取定x的值(04V》，灵敏度越高，监测值越小

【考点】指数函数的实际应用；幕函数图象特征与幕指数的关系；指数函数的单调性与最值.

【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解；新定义类.

【答案】ABD

【分析】选项A,计算S(f的值，即可判断；选项B,求S'(x),利用在［0,1］时S'(x)NO,

判断即可；选项C,由S(x)为单调递增函数，判断即可；选项，以a为自变量，设S(x)为7(a),

求7(a),判断(a)的正负，由此得出结论.

1CL

S(-)=a®]a=I，11

【解答】解：对于A,在SCr)=_中函数的图象过点(

xa+(l-x)a2(1)+(lf2?

选项A正确;

对于B,S'(x)=矶01一初当xe［0,1］时，S'(x)》0,S(x)为单调递增函数，选项2正确；

［xa+(l-x)a］

对于C,由选项3知，S3)为单调递增函数，所以不存在轴对称性，选项C错误；

对于D以a为自变量，设S(x)为7(a),则T'(a)=—取1初~~力---,

［一+(1T)T1-x

因为a>0,所以看;_所以7,Q)的正负取决于历一，

［xa+(l-x)a］21-x

当0VeVI,即0<xV,时，T'(a)<0,随着°的增大S(x)减小；

X1

当——>1,即一时，VQ)>0,随着a的增大S(无)增大；选项。正确.

1-x2

故选：ABD.

【点评】本题考查了函数模型应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

(多选)11.(2024秋•同心县期末)若41,函数/(x)=|logfl(x+2)|,则下列说法正确的是()

A-/(一7令=/(2)

B.函数/(无)在区间(-1,+8)上单调递减

C.函数无)在区间［―怖，0］上的最小值为。

D.若/'(xi)=f(X2)(X1<X2),则(xi+2)(X2+2)=1

【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】计算对数式判断A;根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B,根据函数的单调性得

出函数的最小值判断C;应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D.

【解答]解：a>l,函数/(x)=|logfl(x+2)|,

77

因为/(—力=|logfl4|,又/⑵=|log«4|,所以/(—分可⑵,故A正确；

当抚(-1,+8),a>\,所以/(x)=|loga(x+2)|=logn(x+2)在区间(7,+°°)上单调递增，

故8错误；

Q1

当工0]时，loga(x+2)e\loga-^,loga2],/(%)=\loga(x+2)|>logal=0,故C正确；

当在(-2,-1)时，x+2G(0,1),又〃>1,所以/(%)=|logq(x+2)|=-log。(x+2),

所以函数/(x)在区间(-2,-1)上单调递减，又函数/(%)在区间(-1,+8)上单调递增，若/

(xi)=f(X2)(%1〈X2)，则-2<X1V-1<兀2，

所以lloga5+2)|=|loga(X2+2)|,即-log”(xi+2)=log。(M+2),所以logfl[(xi+2)(X2+2)]=0,

所以(X1+2)(X2+2)=1,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了对数函数性质的综合应用，属于中档题.

(多选)12.(2024秋•资中县校级期末)下列说法正确的是()

A.函数/(x)="一2一4(〃>0且〃W1)的图象恒过定点(2,-3)

2

B.函数/(%)="天与9(%)=表示同一个函数

x(Vx)

C.函数/(x)=V^T4+"1-------的最小值为3

JX2+4

D.若关于x的不等式办^Zx+cVO的解集为{小<-1或x>2},贝!]ac=-6

【考点】指数函数图象特征与底数的关系；运用基本不等式求最值；解一元二次不等式.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】AB

【分析】根据指数函数的性质求得定点判断4根据同一函数的概念判断3,根据基本不等式的应用条

件判断C,根据二次不等式的解集及韦达定理求解a,c即可判断。.

【解答】解：对于4根据指数函数的性质可得，函数/(无)=^2-4的图象恒过定点(2,-3),故

A正确；

对于B,函数/（%）=f与g（X）=x2的定义域为（。，+8）,

x（V%）

且/（%）="L=l，0。）=%2=L故它们为同一个函数，故3正确;

x（V%）

____k2+4+1_____1

对于C,/(%)=7#+4+==7x?+4++192V%2+4-7^—+1=3,

J/+4JX2+4JX2+4

当且仅当旧3=〒工时取等号，显然等号不成立，故c错误;

J/+4

2

-1+2=--

对于D,依题意关于x的方程ax2+2x+c=0有两根为-1和2,故必有•a

-1x2=-a,

解得。=-2,c=4,所以碇=-8,故£）错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

13,（2024秋•固镇县校级期末）已知函数丁=（2机-1）才+"-2是募函数，一次函数丁=履+万（%>0,b

419

>0）的图象过点（m,几）,则7+工的最小值是二.

【考点】求募函数的解析式；运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

、9

【答案】

2

【分析】根据幕函数的定义，求出如n,再结合一次函数，并结合基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：函数尸（2m-1）/+〃-2是幕函数，

则解得｛^=01,

1几-2=0m=2

一次函数丁=丘+万（Z>0,Z?>0）的图象过点（相，〃）,

贝（Jk+b=2,

4

k£f-

9c3

时

即

4bk1万-

411411i-

於广及+/.）=2（5+丁+万）2（5+2]22

匕

k十2-

3

等号成立，

419

故■的最小值是

7k+b:21

9

故答案为：—.

【点评】本题主要考查求基函数的解析式，属于基础题.

14.(2024秋•江西期末)已知函数/(%-1)的定义域为(-1,3),则函数。(久)=乎：梨的定义域为

4I.L)

1

(-1,0)U(0,.

【考点】求对数函数的定义域.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(—1,0)U(0,分1.

【分析】根据给定条件,利用抽象函数的定义域,结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域.

【解答】解：由函数/(X-1)的定义域为(-1,3),得则-2<尤-1<2,

f-2<2x+1<2

在函数g(x)=\中，j%+1>0，解得TVxV担x#0,

Q+1大1

所以函数g(x)的定义域为(—1,0)U(0,

1

故答案为：(—L0)U(0/2)-

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于中档题.

1

15.(2025•杨浦区校级开学)函数/(x)=log,v(2x7)的定义域为(、，1)U(1,+8).

【考点】对数函数的定义域.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

1

【答案】(一，1)U(1,+8).

2

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【解答】解：/(x)=logv(2x7),

%H11

{2x—1>0'解得了>讶且xWL

1

故函数/(x)的定义域为(5，1)U(1,+8).

1

故答案为：(一，1)U(1,+8).

2

【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题

目.

16.(2024秋•福州期末)函数/(x)=logfl(x-1)Q>0且aWl)的图象必经过定点P,则点尸的坐标

为(2,0).

【考点】对数函数的单调性与最值.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】令X-1=1,求得x=2,f(x)=0,从而求得点尸的坐标.

【解答】解：根据函数y=log“x的图象经过点(1,0),

对于函数/(x)=loga(x-1),令x-l=l,求得x=2,且/(2)=0,

可得点P的坐标为(2,0),

故答案为：(2,0).

【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•上海校级月考)已知函数/(%)=loga(1+x)-loga(1-尤)(。>0且aWl)

(1)讨论了(x)的奇偶性与单调性；

(2)若不等式，(x)|<2的解集为求a的值.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用.

【专题】综合题；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先确定函数的定义域，再验证/(-尤)与f(x)的关系，可得函数为奇函数；利用导数，

结合分类讨论，可得函数的单调性；

(2)根据不等式的解集与方程解的关系，建立等式，从而可求a的值.

11+%>0

【解答】解：(I)・・・,，V(x)定义域为止(-1,1)

■:于(-X)=loga(1-X)-loga(l+x)=-[loga(l+x)-logfl(1-x)]=-f(x)

：.f(x)为奇函数；

V/(x)=logfl(l+x)-loga(1-x),

•"Q)=Z。外胃1-4-V，

求导得/'(x)=M-logae•(关)'=-^2logae,

①当a>l时，/(x)>0,.V(x)在定义域内为增函数；

②当0<。<1时，f(x)<0,：.f(x)在定义域内为减函数；

(2)①当。>1时，•.》(尤)在定义域内为增函数且为奇函数，不等式|/(x)|<2的解集为｛久|—/VxV

=2,.\loga3=2,：.a=V3；

②当0<a<l时，

V/(x)在定义域内为减函数且为奇函数，不等式，(x)|<2的解集为⑶-34V知

.•./(一》=2,；./o混=2,；.£1=李

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学

思想，属于中档题.

18.(2024秋•石嘴山期末)若函数/(%)=(小-3m+3)/2+2馆-4为幕函数，且在(0,+8)单调递减.

(1)求实数m的值；

(II)若函数g(x)=x