2025年高考数学复习难题之统计

2025年高考数学复习难题速递之统计（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025•上海模拟）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行

粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对

自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再

放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数

量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：

①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；

②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；

③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果

与实际情况误差较大的是（）

A.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼

B.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

C.第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼

D.第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

2.（2025•鹤壁一模）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结

构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因13+3余1,应存放

于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值10和13

均映射到同一位置）.现有一个容量为7个位置（编号。〜6）的哈希表，以除留余数法（除数为7）进

行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为制，ai,。2,43,。4,C15,。6,则下

列说法中正确的是（）

A.至少有1个位置存放了不少于5个数据

B.若这22个数据的键值恰好是0〜44间的所有奇数，则以）〜°6的中位数为2

2904

C.若〜的方差为$2,则$2的最小值为0,最大值为——

49

D.若40〜46的极差为5,则最多有2个位置没有存放数据

3.（2024秋•宝山区校级期末）下列关于散点图的说法中，正确的是（）

A.任意给定统计数据，都可以绘制散点图

B.从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系

C.从散点图中可以看出两个量的因果关系

D.从散点图中无法看出数据的分布情况

4.（2024秋•广东校级期末）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据

分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图

估计，下列最接近a的数是（）

频率

5.（2024秋•官渡区期末）为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空

气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数

分别为2,y,z,且依次构成等差数列，而2,y-1,z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的

30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（）

A.18B.16C.10D.4

6.（2024•射洪市校级三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年

龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2）,则下列结论中错误的是（）

快递行业从业人员年龄分布饼状图“90后”从事快递行业岗位分布条形图百分比

A.占一半以上

B.快递行业从业人员中,从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中,从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多

D.快递行业从业人员中,从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多

7.（2024春•汕尾月考）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比

例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120,女员工的平均体

重为50m，标准差为6,男员工的平均体重为70像，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工

的人数为（）

A.28B.35C.39D.48

8.（2023秋•江西期末）根据3对数据A（1,7）,B（3,m）,C（5,16）绘制的散点图知，样本点呈直

线趋势，且线性回归方程为F=2.25X+4.25,则加=（）

A.11B.10C.9D.8

多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•安庆二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支

出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：［20,30）,［30,40）,［40,50）,［50,60］,整

理得频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本中水费支出位于区间［50,60］的频率为0.03

B.按分层抽样，从水费支出位于区间［20,30）和［50,60］的用户中共抽取16户，则应从水费支出在［20,

30）的用户中抽4户

C.水费支出的中位数的估计值为45

D.若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间［30,50）

的用户数的估计值为3

（多选）10.（2025•合肥二模）从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满

分：100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率.记高一年级

学生得分平均数的估计值为x,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z.从高一和高二

年级各随机抽取一名学生，记事件"高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80

分”，事件N="高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”，则（）

高一年级学生得分高二年级学生得分

A.x<zB.y>z

C.事件M,N互斥D.P(M)=P(N)

（多选）11.（2025•柳州三模）下列说法正确的是（）

A.有一组数1、2、3、5,这组数的第75百分位数是3

B.在a=0.01的独立性检验中，若x2不小于a对应的临界值尤o.oi,可以推断两变量不独立，该推断

犯错误的概率不超过0.01

C.随机变量X〜8P),若E(X)=60,D(X)=20,贝！Jw=180

D.以丫=ce-拟合一组数据时，经z=/町代换后的经验回归方程为z=0.2久+0,3,则c=e03,k=Q.2

（多选）12.（2025•辽宁一模）有一组样本数据xi,X2,…，X",其平均数、中位数、方差、极差分别记

为ai,bi,ci,di,由这组数据得到新样本数据yi,yi,…，yn,其中yi=fcw+2025（z=L2,•••,n）,

其平均数、中位数、方差、极差分别记为。2,b2,C2,d2,则（）

A.〃2=&n+2025B.历=上加+2025

C.c2=k2clD.d2=kdi

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•临泉县校级月考）某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法,

从中抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为.

14.（2025•南岗区校级一模）由样本数据（见，yi）（i=l,2,3,…，10）,求得回归直线方程为y=2%-1,且

元=3,若去除偏离点（4,10）后，得到新的回归直线方程为y=擀久+上则去除偏离点后，相应于样

本点（2,2）的残差值为.

15.（2025春•南阳校级月考）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干

名员工，所得数据统计如表所示，其中xCN*,且x<16,若有90%的把握可以认为性别与对工作的满

意程度具有相关性，则尤的值是

对工作满对工作不

意满意

男5x5x

女4x6x

附：K2=3）图篇（b+d），其中〃="b+c+d-

P（蜉》0.100.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko2.7063.8415.0246.6357.87910,828

16.（2024•江苏模拟）寰宇巨星知更鸟的新专辑《空气蛹》发布在某平台后，其一周内的累计播放量如表

所示，其中，v册=1,2,3,4,5,6,7）为该专辑发布后截至第x天的累计播放量.若将表中数据

用经验回归方程丫=。N，进行拟合，贝帕+"a=.（结果保留3位小数）

x/天1234567

y万次12024034051076012001730

参考数据及公式，在回归直线y=bx+a中，b=%吃1=第1砂厂零,a=歹一人元，对

于表中的数据已知£品"%=43.51076,£?=]%仇％=186.07144.

四.解答题（共4小题）

17.（2024秋•嘉定区校级期末）2022年我国各省级行政区（表中简称“区域”）普通高等学校本科招生人

数（单位：万人，表中简称“人数”）如表所示.

区域人数区域人数区域人数区域人数

北京14.00上海10.04湖北23.71云南12.36

天津9.15江苏30.01湖南22.48西藏0.70

河北22.91浙江16.76广东31.09陕西18.14

山西12.49安徽18.19广西14.62甘肃7.55

内蒙古6.44福建13.74海南3.08青海1.23

辽宁18.10江西17.27重庆12.27宁夏2.53

吉林12.95山东28.01四川26.21新疆7.22

黑龙江14.17河南31.52贵州8.99

(数据来源：国家统计局；本表不含港澳台地区数据)

(1)上表数据是否足以反映2022年我国各省行政区高等教育普及情况？若足以，请说明理由；若不足

以，请举一例需要补足的数据.

(2)若根据2022年我国各省级行政区普通高等学校本科招生人数数据绘制频率分布直方图，组距为

10,且第一组下限为0,求数据在第二组的频率；

(3)计算2022年我国各省级行政区普通高等学校本科招生人数的第85百分位数；

(4)计算2022年我国各省级行政区普通高等学校本科招生人数的样本标准差.(计算结果保留至0.01

万人)

参考数据：根据表中数据计算，2022年我国各省级行政区普通高等学校本科招生人数之和£%=467.93、

平方和£/=9351.4865.(单位略)

参考资料：在统计实验中，为了消除系统性误差，往往使用样本标准差表征数据的离散程度；样本标准

差So=(x；-x)2.

18.(2025•齐齐哈尔二模)北海舰队开放日活动中，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比

赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：

性别绳子打结速度合计

快慢

男生45

女生3590

合计

(1)完成列联表，并根据小概率值a=0.01的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有

关联，并说明理由；

(2)现有"(尤N*)根绳子，共有2”个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳

头打结完毕视为结束.

(z)现在有4根绳子，求恰好能围成两个圈的概率；

(拓)这w根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为板，求泉

附：=(a+b^+dXa+cXb+dy"=a+b+c+d.

a0.050.010.001

xa3.8416.63510.828

19.(2025•长安区二模)某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性

检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所

示.

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)；

(3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N⑺，。2),其中为样本平均数的估计值，。p14.初

试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数).

附：若随机变量X服从正态分布N(山。2),则尸⑺-OWXWR+O)«0.6827,尸⑺-2OWXWR+2

20.(2025•开福区校级模拟)某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其

质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单位：克)

中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值；

(2)现按分层抽样的方法从质量为[250,300),[300,350)的水果中随机抽取6个，再从6个中随机

抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在[300,350)内的概率；

(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售.

经销商提出如下两种收购方案：

方案A：所有水果以10元/千克收购；

方案3：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个

数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？

2025年高考数学复习难题速递之统计（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DDBCBDCB

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BDABBDABC

一.选择题（共8小题）

1.（2025•上海模拟）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行

粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对

自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再

放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数

量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：

①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；

②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；

③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果

与实际情况误差较大的是（）

A.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼

B.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

C.第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼

D.第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

【考点】简单随机抽样.

【专题】应用题；转化思想；优选法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.

【答案】D

【分析】先计算出理论数量N=誓，分别分析四个选项，结合公式，得到A2C选项，采用标志重捕法

m

估算出的种群数量与实际种群数量大致相等；。选项，采用标志重捕法估算出的种群数量越等于种群中

大鱼数量，与实际种群数量相比小.

Nn

【解答】解：理论计算公式为一，其中N为估算的种群数值，M为第一次捕获并标记的个体，

Mm

〃为一段时间后，在原来的捕获点再次捕获的个体数，相为二次捕获的个体中有标记的数量，

转换后得N=等，

假设池塘中的鱼分为大鱼和小鱼，大鱼是指用大网和小网均能捕获的鱼，小鱼指仅能用小网能捕获的鱼，

对于A,第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼，

第一次用小网眼的渔网捕鱼，M=MI+M2,其中Ml为捕获并标记的大鱼，加2为捕获并标记的小鱼，

设M为池塘中实际的大鱼数，N2为池塘中实际的小鱼数，No为池塘中实际的鱼条数，

则NO=NI+N2,

MIM

标记后全部放回池塘后,池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为一，被标记的小鱼占全部小鱼比例为一7,

NiN2

MIMM

假设每条鱼被捕获的概率相等，则U7

NiN2NO

第二次捕获的大鱼条中，理论上含标记的大鱼有位，

No

TioM

第二次捕获的小鱼〃2条中，理论中含标记的小鱼有二一，

No

所以n=n\+rt2,

故总的标记条数为“端+器=蛆孝=黑,

所以No〜黑，又2嚓所以No^N,

结论：若两次捕鱼都用小网眼的渔网捕鱼，

采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等；

对于8,第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼，

第一次用小网眼的渔网捕鱼，M=MI+M2,其中MI为捕获并标记的大鱼，的为捕获并标记的小鱼，

设M为池塘中实际的大鱼数，N2为池塘中实际的小鱼数，

标记后全部放回池塘后,池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为一，被标记的小鱼占全部小鱼比例为一,

NiN2

假设每条鱼被捕获的概率相等，则等=等=察，其中No为池塘中实际的鱼条数，

N]N2NO

第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即

理论上，加"今”=卷，所以No〜噜，又"=噜，所以No七N,

结论：第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼，

采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等；

对于C,第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼，

第一次用大网眼的渔网捕鱼，标记后将鱼全部放回到池塘后，

池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为一=一，

第二次用小网眼渔网捕鱼，捕获的鱼中既有大鱼也有小鱼，〃=小+〃2,

由于第一次用大网眼渔网捕鱼，标记的均为大鱼，故第二次捕获的鱼中，只有大鱼也有可能被标记，

理论上，加《勺”，

7V1

其中N=3一吗=四=（%+改泗1=M+吗,

m九1“Ji】nn]

五1

因为每条鱼捕获的概率相等，所以第二次用小网眼渔网捕获的鱼中，

大鱼和小鱼的比例与池塘中的大鱼和小鱼的比例相等，即也=—,

%N1

bi、i几2*1N1

所以N=Ni+^^*Ni+-^IO

72]/v]=N+N2=N,

结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼，

采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等；

。选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼，

第一次用大网眼的渔网捕鱼，M=Mx,标记后将鱼全部放回到池塘后，

池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为一=—1

第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即〃1="，

理论上，加〜$：=胃，所以Ma*,又但噜,所以No^NiVN,

结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼，

采用标志重捕法估算出的种群数量约等于种群中大鱼数量，与实际种群数量相比小，误差大.

故选：D.

【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

2.（2025•鹤壁一模）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结

构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因13・3余1,应存放

于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值10和13

均映射到同一位置）.现有一个容量为7个位置（编号0〜6）的哈希表，以除留余数法（除数为7）进

行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为次，ai,ai,。3,。4,as,俄,则下

列说法中正确的是()

A.至少有1个位置存放了不少于5个数据

B.若这22个数据的键值恰好是0〜44间的所有奇数，则«o~G6的中位数为2

2904

C.若碗〜。6的方差为$2,则S2的最小值为0,最大值为——

49

D.若的〜a6的极差为5,则最多有2个位置没有存放数据

【考点】方差；极差.

【专题】分类讨论；定义法；概率与统计；逻辑思维；运算求解；新定义类.

【答案】D

【分析】设)为数据除以7的余数为i(i=0,1,2,3,4,5,6)的数的个数，利用特例法可判断A

选项；求出如〜。6这7个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出s2的最大

值和最小值，可判断C选项；对7个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断。选项.

【解答】解：设。为数据除以7的余数为iM=0,1,2,3,4,5,6)的数的个数，

对于A,22=7X3+1,不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3、3、3、3、3、3、4,所以选项A

错误；

对于2,由题意可知，这些奇数分别为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、

31、33、35、37、39、41、43,

这些数据除7的余数分别为1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1,

所以。0=3,<21=4,02—3,<73=3,04=3,<75=3,<76=3,

将ao〜CZ6这7个数由小到大排列依次为3、3、3、3、3、3、4,中位数为3,选项2错误；

对于C,由题意知，碗〜。6这7个数的平均数为元=与，且3<与<4,|3-竿|V|4-刍，

因为cweN(i=0,1,2,3,4,5,6),s2=1XF=O(七一与产，

当以〜°6这7个数中有6个3,1个4时，/取最小值，

即(S2)m讥=}[6X(3一竿/+(4-竿/]=*；

当40〜46这7个数中有6个0,1个22时，$2取最大值，

即(s2)max=1[6X(0-^)2+(22—^)2]=鬻，选项C错误；

对于。，不妨设〜46这7个数依次为1、6、3、3、3、3、3,满足极差为5,此时，所有位置都有数

据，

若存在一些位置没有数据，则碗〜优这7个数据中的最大值为5,最小值为0,因为22=5X4+2,

此时，至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位置没有存放数据，选项D正确.

故选：D.

【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了理解与运算能力，是难题.

3.（2024秋•宝山区校级期末）下列关于散点图的说法中，正确的是（）

A.任意给定统计数据，都可以绘制散点图

B.从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系

C.从散点图中可以看出两个量的因果关系

D.从散点图中无法看出数据的分布情况

【考点】散点图；变量间的相关关系.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据散点图的概念判断即可.

【解答】解:散点图不适合用于展示百分比占比的数据,另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，

故A错误；

散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故8正确，C错误；

散点图中能看出数据的分布情况，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查散点图的定义，属于基础题.

4.（2024秋•广东校级期末）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据

分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过。厘米，根据直方图

估计，下列最接近。的数是（）

频率

A.93.5B.94.1C.94.7D.95.5

【考点】频率分布直方图的应用.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】c

【分析】由频率分布直方图计算频率可得可解托（94,95）,从而可解.

【解答】解：由图可得1-（0.05+0.15）X1=0.80,1-0.05X1=0.95,

又0.80<0.9<0.95,

所以a&（94,95）,且（a-94）X0.15+0.8=0.9,

得a=94.67.

故选：C.

【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题.

5.（2024秋•官渡区期末）为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空

气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数

分别为2,y,z,且依次构成等差数列，而2,y-1,z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的

30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（）

A.18B.16C.10D.4

【考点】分层随机抽样.

【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】利用三县内观测点的个数分别为2,y,z,依次构成等差数列，且2,y-1,z成等比数列，求

出y,z,根据分层抽样的定义建立比例关系求解即可.

【解答】解：因为甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2,y,z且依次构成等差数列，而2,y-1,

z成等比数列，

（2y=2+z

l（y-l）2=2z，

解得y=5,z=8,

若用分层抽样抽取取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为30x六|率=16,

Z十b十&

故选：B.

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查分层抽样的应用，属于中档题.

6.（2024•射洪市校级三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年

龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2）,则下列结论中错误的是（）

快递行业从业人员年龄分布饼状图“90后”从事快递行业岗位分布条形图百分比

占一半以上

B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多

D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多

【考点】统计图表获取信息.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】利用快递行业从业人员年龄分布饼状图、“90后”从事快递行业岗位分布条形图，分析数据能

求出结果.

【解答】解：由快递行业从业人员年龄分布饼状图、“90后”从事快递行业岗位分布条形图得：

由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%,超过一半，故A正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%X39.6%=22.176%,

超过20%,

...快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%,B正确；

快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%X17%=9.52%,

超过“80前”的人数占总人数的百分比，故C正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%,

小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知,

故。错误.

故选：D.

【点评】本题考查饼状图、条形图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.（2024春•汕尾月考）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比

例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120,女员工的平均体

重为50依，标准差为6,男员工的平均体重为70依，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工

的人数为()

A.28B.35C.39D.48

【考点】分层随机抽样；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】设女、男员工的权重分别为3(3>0.5)和1-3,根据方差公式计算，即可得到本题的答案.

【解答】解：由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为标=50,Sl=6,所占权重为3(3

>0.5),

男员工的平均体重和标准差分别为双=70,S2=4,所占权重为1-3,

所以样本中全部员工的平均体重为元=3配+(1-=70-203,方差

S2=3屏+(X-%?)2]+(1-3)/+(X-%7)2]

=3[36+(20-203)2]+(1-3)[16+(-203)2]

=-400W2+420(D+16=120,

化简得IOO32-1053+26=0,即(203-13)(53-2)=0,

解得3=0.65或3=0.4(舍)，

21

所以女员工的人数为：------X0.65=39.

1-0.65

故选：C.

【点评】本题主要考查平均数与方差的计算、分层抽样等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于

基础题.

8.(2023秋•江西期末)根据3对数据A(1,7),B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直

线趋势，且线性回归方程为F=2.25X+4.25,则加=()

A.11B.10C.9D.8

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据线性回归方程的定义可解.

【解答】解：由题意3对数据A(1,7),B(3,m),C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，

得元=3,9=安竺，又Q2.25X+4.25经过点（3,专”）,

23+m

所以-----=2.25x3+4.25,

3

解得“2=10.

故选：B.

【点评】本题考查线性回归方程的定义，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•安庆二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支

出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：［20,30）,［30,40）,［40,50）,［50,60］,整

理得频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本中水费支出位于区间［50,60］的频率为0.03

B.按分层抽样，从水费支出位于区间［20,30）和［50,60］的用户中共抽取16户，则应从水费支出在［20,

30）的用户中抽4户

C.水费支出的中位数的估计值为45

D.若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间［30,50）

的用户数的估计值为3

【考点】频率分布直方图的应用.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据频率之和为1即可求解4根据抽样比即可求解2,根据中位数的计算即可求解C,根据

二项分布的期望公式即可求解D.

【解答】解：因为1-（0.01+0.024+0.036）X10=0.3,

所以在［50,60］的频率为0.3,所以A选项错误；

0.11

又一=一，16x-=4,

0.33

所以按分层抽样，从水费支出位于区间［20,30）和［50,60］的用户中共抽取16户，

则应从水费支出在［20,30）的用户中抽4户，所以2选项正确：

因为0.5-（0.1+0.24）=0.16,所以中位数的估计值为40+摩x10=44.4,所以C选项错误;

U.36

设抽出的5户中一季度水费支出位于区间［30,50）的用户数为X,

又0.24+0.36=0.6,

则根据题意可知X学（5,0.6）,

所以E（X）=5X0.6=3,所以。选项正确.

故选：BD.

【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

（多选）10.（2025•合肥二模）从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满

分：100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率.记高一年级

学生得分平均数的估计值为无，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z.从高一和高二

年级各随机抽取一名学生，记事件M="高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80

分”，事件N="高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”，则（）

高一年级学生得分高二年级学生得分

A.x<.zB.y>z

C.事件N互斥D.P(M)=P(N)

【考点】频率分布直方图的应用.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AB

【分析】由频率分布直方图求出对应无，》z的值，即可判断选项；由互斥事件的定义求MCN来

判断C选项；求出尸（M）,P（N）来判断。选项.

【解答】解：根据题意可得高一年级学生得分平均数的估计值为：

X(35X0.01+45X0.02+55X0.03+65X0.02+75X0.01+85X0.005+95X0.005)X10=58.5,

高二年级学生得分平均数的估计值分别为：

z=(35X0.005+45X0.01+55X0.015+65X0.02+75X0.03+85X0.015+95X0.005)X10=67.5,

因为高二年级学生得分的频率分布直方图的前几组的频率依次为：0.05,0.1,0.15,0.2,

所以y=70,

所以尤<z,所以A选项正确；

因为y>z,所以8选项正确；

因为MCN="高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”W0,所以C选项错

误；

由评率估计概率得:p(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)X(0.15+0,05)=0.08,

P(N)=(0.05+0.05)X(0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07,。选项错误.

故选：AB.

【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

(多选)11.(2025•柳州三模)下列说法正确的是()

A.有一组数1、2、3、5,这组数的第75百分位数是3

B.在a=0.01的独立性检验中，若x2不小于a对应的临界值xo.oi,可以推断两变量不独立，该推断

犯错误的概率不超过0.01

C.随机变量X〜2(M,P),若E(X)=60,D(X)=20,则”=180

D.以，=ce-拟合一组数据时，经z=/町代换后的经验回归方程为z=0.2x+0,3,则c=e°，3,左=0.2

【考点】经验回归方程与经验回归直线；独立性检验；二项分布的均值(数学期望)与方差；百分位数；

样本相关系数.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】BD

【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；

利用独立性检验可判断B选项；

利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；

利用回归分析可判断D选项.

【解答】解：A选项，因为4X0.75=3,所以，这组数据的第75百分位数是r=4,故A项错误；

2选项，在a=0.01的独立性检验中，若x2不小于a对应的临界值无03,

可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01,故B项正确；

C选项，随机变量X~8(n,p),若E(X)=np=60,D(X)=np(1-/?)=20,

7

解得P=W，几=90,故。项错误；

。选项，以丫=ce也拟合一组数据时，经z=/〃y代换后的经验回归方程为z=0.2%+0.3,

即"y=0.2x+0.3,可得y=e°-2x+0-3=e0-3•e0-2x=cekx,故c=e°3,左=0.2,故D项正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了经验回归方程，独立性检验，二项分布的期望和方差公式，属于基础题.

(多选)12.(2025•辽宁一模)有一组样本数据如，X2,xn,其平均数、中位数、方差、极差分别记

为〃1,bi,ci,d\,由这组数据得到新样本数据yi,yi,…，其中玖=丘叶2025(z=l,2,­­­,几),

其平均数、中位数、方差、极差分别记为〃2,历，。2,d2,则()

A.〃2=女〃1+2025B.历=妨1+2025

2

C.c2—kcrD.d2=kdi

【考点】平均数；中位数；方差；极差.

【专题】分类讨论；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABC

【分析】利用平均数的性质可判断A选项；利用中位数的性质可判断3选项；利用方差的性质可判断C

选项；分左＞0、左＜0两种情况讨论，可判断。选项.

【解答】解：对于A,由平均数的定义与性质得，及=h1+2025,选项A正确；

对于B,不妨设W物，

若九为奇数，设〃=2m+1(mGN),则数据xi、X2、…、％2町+1的中位数为加+1,

若k＞0,新样本数据由小到大依次为yi、丁2、…、y2m+if

则中位数为历=m+1=丘加+1+2025=妨1+2025；

当上W0,新样本数据由小到大依次为"加+1、*加、…、yi,

则中位数为b2=ym+\=-+1+2025=妨1+2025；

若儿为偶数,同理，历=妨1+2025,选项5正确；

对于C,由方差的定义与性质得，。2=经。1,选项。正确；

对于。，若双、xj(IWi,jWn)是%1、%2、…、初中最大值、最小值，

当上＞0时，玖=%+2025为yi、＞2、…、》中的最大值，

乃=5+2025为yi、.2、…、»中的最小值，

此时，di—yt-yj=k(xz-x/)=kdi；

当无WO时,»=fcn+2025为yi、＞2、…、y”中的最小值，

方=依/+2025为yi、＞2、…、中的最大值，

此时，d2=yj-yi=-k（,xi-x/）=-kdi,选项D错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了平均数与中位数和方差、极差的计算问题，是中档题.

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•临泉县校级月考）某单位有男职工450人，女职