2025年高考数学复习难题之圆与方程

2025年高考数学复习难题速递之圆与方程（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025•石景山区一模）已知点N为圆/+y2-2y-3=0上两点，且阿2=2B，点尸在直线炜-y

-5=0上，点。为线段MV中点，则|尸。|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2025•城区校级开学）定义：到定点（a,b）的距离为定值d的直线系方程为（x-a）cos0+（y-b）

sin9=d（0GR）,此方程也是以（a,b）为圆心，d为半径的圆的切线方程.则当6变动时，动直线

xcos20+jsin20=2cos26（0GR）围成的封闭图形的面积为（）

A.1B.2C.11D.411

3.（2025•朝阳区模拟）已知直线x-y+m=0与圆O：/十/二？相交于人，B两点,且△Q48为等腰直角

三角形，则实数机的值为（）

A.土孝B.±1C.±V2D.±2

4.（2025春•江阴市校级月考）2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对

月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个‘'月亮"元素看作圆C,当动点尸（〃z,〃）

在圆C上运动时，OP斜率三的取值范围［-g，苧］,则直线OC的斜率为（）

A.-亨B.-1C.1-V3D.V3-2

5.（2025•乌鲁木齐模拟）已知圆C：（尤-2）2+9=2,直线/：y=?北直线/与圆C交于A,B两点，点

—>—>

尸为圆C上任意一点，。为坐标原点，则。的最大值是（）

A.V3+1B.V3+V2C.2V3+2D.2百+2/

6.（2024秋•郸城县校级期末）已知点A（-2,0）,B（0,-2）,点尸在圆C：（%-2）2+^=2上运动，

ZPAB的最大值为a,最小值为P，则sina+sin0=（）

V3V5V6V7

A.—B.—C.—D.—

2222

7.（2025•重庆模拟）已知△ABC的顶点A（-1,-1）,B（-3,5）,C（2,0）,AO是边5C上的高，

则下列结论错误的是（）

A.所在直线的方程是y=x

B./A4c的平分线所在直线的方程是y=2x+l

C.AABC外接圆的方程为/+/+x_5y-5=0

D.△ABC的面积为10

8.（2024秋•荷泽期末）已知直线丫=丘+1（蛇R）与圆O：/+;/=4相交于M（xi,yi）,N（%2,>2）两

点，则|3xi+4yi+12|+|3;e+4y2+12|的最小值为（）

232323

A.—B.—C.—D.23

1025

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•云南一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步

逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的

方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆/+/=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个

顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（）

A.x4-（V2—l）y—V2=0B.（1——y+=0

C.x-（V2+l）y+V2=0D.（V2-l）x-y+V2=0

（多选）10.（2025春•深圳校级月考）已知圆C：/+y2=4,P是直线/：x+y-6=0上一动点，过点P作

直线抬，尸8分别与圆C相切于点A,8,贝U（）

A.圆C与直线/相离

B.|9|存在最小值

C.|AB|存在最大值

D.存在点P使得△ABC为直角三角形

（多选）11.（2025•咸阳模拟）已知圆C的方程为/+y2-8x+12=0,点M（xo,yo）是圆C上任意一点，

。为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.圆C的半径为2

B.满足10M=5.5的点〃有1个

C.xo+2yo的最大值为4+24

D.若点P在x轴上，则满足|OM]=2|PM的点P有两个

（多选）12.（2025•长沙校级一模）圆M：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2依+办+6=0对称，记点P（a,

6）,下列结论正确的是（）

A.点尸的轨迹方程为x-y-3=0

B.以PM为直径的圆过定点。（2,-1）

C.|PM的最小值为6

D.若直线用与圆M切于点A,则|B4|N4

三.填空题（共4小题）

13.（2025•玉溪二模）已知点A（4,0）,B（2,2）,若直线/过。（0,0）且平分△048的面积，则/

被△OAB外接圆截得的弦长为.

14.（2024秋•官渡区期末）如果直线/：x+y-b=0与曲线C：y=VF三三有公共点，那么b的取值范围

是.

15.（2025春•浦东新区校级月考）在△481C1中，若Mi,Ni,Pi三点分别在边AiBi,BiCi,C1A1上（均

不在端点上），则△AiMiPi,ABiMiNi,ACiMPi的外接圆交于一点O,称为密克点.在梯形ABCD

中，ZB=ZC=60°,AB=2AD=2,/为CD的中点，动点P在8c边上（不包含端点），AABP与

△CM尸的外接圆交于点。（异于点尸），则8。的最小值为.

16.（2024秋•天津期末）已知圆C：（x-3）2+（厂1）2=1,直线/过点尸（4,3）,若直线/与圆C相

切，则直线/的方程为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•辽宁一模）己知圆。：x2+y2=l,C2：x2+y2=4,。为坐标原点，过圆C1上一动点G作圆C1

的切线/1交圆C2于C,。两点，直线OG交圆C2于A,8两点.

（1）四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；

（2）对平面上所有点进行如下变换俨：品。,（即：原坐标Go,yo）在这个变换下的新坐标为（旧配，

y=%

y0）,圆。、圆C2、直线/1分别变换成C3,C4,/2,点A,B,C,D,G变换成Ai,Bi,Ci,£）i,Gi.

①写出C3,C4的方程，/2与C3是否相切，证明你的结论；

②四边形A1C131D1的面积是否是定值，请说明理由.

18.（2025春•黄浦区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：%2+y2-2x-2V3y-12=0,

Mi,M2是圆C上的动点，=4V3,的中点为

（1）求点M的轨迹方程；

（2）设点A是直线I：遮》—y+4百=0上的动点，AP,A0是M的轨迹的两条切线，P,。为切点,

求四边形APCQ面积的最小值；

(3)若垂直于y轴的直线/i过点C且与M的轨迹交于点D,E,点N为直线尤=-3上的动点，直线

ND,NE与M的轨迹的另一个交点分别为RG(PG与。E不重合)，求证：直线FG过定点.

19.(2024秋•浦东新区校级期末)已知圆C：?+/=4,直线/：y=kx-4.

(1)当直线/与圆C相切时，求直线/的方程；

(2)直线/与圆C交于A、2两点，弦长|4B|=2值，求直线/的方程.

20.(2024秋•高州市期末)已知圆C过两点A(3,2),B(1,4),且圆心C在直线2x+y-10=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过圆心C的直线/在x轴，y轴上的截距相等，求直线/的方程.

2025年高考数学复习难题速递之圆与方程（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BCCDDDCD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ABDABACABD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•石景山区一模）已知点N为圆/+廿-2厂3=0上两点，且阿川=2百，点尸在直线炜-y

-5=0上，点。为线段MV中点，则|PQ的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】B

【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦的距离，

进而确定点。的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|「。|的最小值.

【解答】解：因为圆的方程为7+y2-2y-3=0,

所以X2+-1）2=4,

所以圆心坐标为C（0,1）,半径r=2.

因为点。为线段MN的中点，根据垂径定理可知

已知|MN|=2V3,则巳\MN\=V3.

在RtZXCQM中，|CQ|=Jr2-(^\MN\Y=J22-(V3)2=1.

所以点。的轨迹是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.

己知点尸在直线久—y—5=0上，可得圆心C(0,1)到直线V5x—y-5=0的距离为：

I|A/3X0—1-5|_„

CL=-]:—3.

JW+(-1)2

因为点。的轨迹是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆，

所以IPQI的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1,即3-1=2.

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题.

2.(2025•城区校级开学)定义：到定点(a,b)的距离为定值d的直线系方程为(x-a)cos0+(y-b)

sin0=d(0GR),此方程也是以(a,b)为圆心，d为半径的圆的切线方程.则当6变动时，动直线

xcos20+jsin20=2cos20(0eR)围成的封闭图形的面积为()

A.1B.2C.ITD.4n

【考点】过圆外一点的圆的切线方程；点到直线的距离公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类.

【答案】C

【分析】先确定直线xcos2e+ysin26=2cos2。(0GR)围成的封闭图形的形状，就可以求它的面积.

【解答】解：由尤cos2e+ysin28=2cos%(OCR)=>(x-1)cos20+j>sin20=1.

根据条件中的定义：到定点(a,6)的距离为定值d的直线系方程为(x-a)cos0+(j-Z,)sin0=J(0eR),

此方程也是以(a,b)为圆心，d为半径的圆的切线方程，

可得：动直线是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的切线.

所以动直线围成的封闭图形为：以(1,0)为圆心，以1为半径的圆.

其面积为：TT.

故选：C.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

3.(2025•朝阳区模拟)已知直线x-y+m=0与圆。：/+尸=2相交于A,8两点，且△OAB为等腰直角

三角形，则实数机的值为()

A.土苧B.±1C.±V2D.±2

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】c

【分析】由题意得|0*=\0B\=V2,\AB\=2,从而得圆心。到直线尤-y+m=0的距离，再结合点到

直线距离公式即可求解.

【解答】解：由题意直线尤-y+«7=0与圆。：7+9=2相交于A,8两点，且△OAB为等腰直角三角形，

可得|0*=\OB\=VL\AB\=J|04|2+|皆=2,

所以圆心O到直线x-y+m=0的距离为d=吗'==1m=±V2.

故选：C.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

4.（2025春•江阴市校级月考）2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对

月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个‘'月亮"元素看作圆C,当动点尸（“3〃）

在圆C上运动时，OP斜率£的取值范围［-百，苧］,则直线OC的斜率为（）

A.一亭B.-1C.1-V3D.V3-2

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】D

【分析】分析可知，直线y=-后、为圆C的两条切线，设圆心C（a,b）,数形结合可知，直

线OC的斜率为负数，利用圆心C到直线y=-信、产字x的距离都相等，可求得的值，由此可得出

结论.

【解答】解：如图所示：

jn

MP=m,

w的取值范围1—B曷，

...直线OP的倾斜角的取值范围是［0,加争办

由题意可知，直线y=-回、y=岁为圆C的两条切线,

即直线8%+、=0,%-V5y=0为圆C的两条切线，

b

由图可知，直线OC的斜率为负数，则-V0,

a

_\y/3a+b\Id—y/3bI

设圆心C(a,b),贝U-------=--------，

22

整理可得(V5a+b)2-(a-V3b)2=0,

即彦+2y/3ab—b2=0,

可得德)2-2存\一1=o,

bbI

V-<0,解得一=V3-2,

CLCL

因此，圆心C一定在直线y=(遮—2)x上，

即直线OC的斜率为百-2.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题.

5.(2025•乌鲁木齐模拟)已知圆C：(%-2)2+/=2,直线/：尸圣.直线/与圆C交于A,8两点，点

—>—>

尸为圆C上任意一点，。为坐标原点，贝IJOPSB的最大值是()

A.V3+1B.V3+V2C.2V3+2D.2V3+2V2

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】D

【分析】建立直线的方程和圆的方程，可得点A,8的坐标，设点尸的参数坐标，求出这两个向量的数

量积的表达式，由辅助角公式整理可得该数量积的最大值.

(%—2)2+V=2

【解答】解：联立整理可得:

[y=Tx

3V3V313V31V3

设A(--一，一一一),B(-+—,-+一),

22222222

->

可得ZB=(V3,1),

—>

设尸(2+V2cosa,鱼sina),贝1」。尸=(2+V2cosa,V2sina),

则晶•旗=2V^+V^cosa+&sina=2W+2V^sin(a+荽)+2a.

当且仅当a+畀*+2E,k€Z,即a1+2加，在Z时取等号.

即届•我的最大值为2旧+2V2.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的综合应用及向量的运算性质的应用，属于中档题.

6.(2024秋•郸城县校级期末)已知点A(-2,0),B(0,-2),点尸在圆C：(%-2)2+y=2上运动,

ZPAB的最大值为a,最小值为0,则sina+sinP=()

V5C.法

A.省B.—D.叱

2222

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】D

【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解.

【解答】解：如图，点A(-2,0),B(0,-2),点P在圆C：(x-2)2+，=2上运动,APAB的最

大值为a,最小值为p,

过点A向圆引两条切线，切点分别为尸1,P2,

则NPAB与/P2AB分别为的最大、最小角，设/PiAC=4

由|4C|=4,ICPJ=V2,可得sin。=*,cos®=孚,

由A(-2,0),B(0,-2)可知/BAC=45°,

/.sina+sinp=s讥(45°+9)+sin(45°-0)=V2cos0=节.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题.

7.(2025•重庆模拟)己知△ABC的顶点A(-1,-1),3(-3,5),C(2,0),AD是边2C上的高，

则下列结论错误的是()

A.所在直线的方程是y=x

B.ZBAC的平分线所在直线的方程是y=2x+l

C.AABC外接圆的方程为?+/+%-5y-5=0

D.AABC的面积为10

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】C

【分析】利用两点的斜率公式可得BC的斜率，从而可得的斜率，利用点斜式可得直线的方程，

即可判断选项A;求出|A8|,|AC|,设/BAC平分线与交于点E,根据角平分线定理可得|BE|=2|EC|,

再由定比分点公式可得点E的坐标，从而可得直线AE的方程，即可判断选项8；设出△ABC外接圆的

一般方程，将点A,B,C的坐标代入，解方程即可得圆的方程，即可判断选项C；求出|BC|及直线8C

的方程，利用点到直线的距离公式可得点A到BC的距离，由三角形面积公式可得△ABC的面积，即可

判断选项D.

【解答】解：对于A,kBC=与之=—1,因为是边BC上的高，

所以kBC，kAD=-1,所以以。=1,

所以AQ所在直线的方程为y-(-1)=1X(X+1),即、=工，故A正确；

对于8,\AB\=V(-l+3)2+(-l-5)2=2V10,\AC\=V(-l-2)2+(-1-0)2=V10.

设NA4C平分线与BC交于点E,根据角平分线定理黑=聆=2,则|8E|=2|EC|,

设_£(%,y),由定比分点公式%=芍：2=y==今

[<§+1

已知A(-l,-1),%,|),则AE所在直线斜率为%E—=2,

3+1

所以AE所在直线方程为y+l=2(尤+1),即y=2x+l,故8正确；

对于C,设△ABC外接圆方程为/+、2+瓜+£>+歹=0,

l+1-D-E+F^O

将A(-1,-1),B(-3,5),C(2,0)代入方程得9+25-3D+5E+F=0,

.4+0+2D+F=0

解得£)=1,E=-5,尸=-6,所以外接圆方程为/+y2+x-5y-6=0,故C错误；

对于。，由8(-3,5),C(2,0),可得|BC|=J(—3—2尸+(5—0)2=5a,

直线8c的方程为厂0=-IX(尤-2),即x+y-2=0,

则点A到直线BC的距离d=「J—J21=272,

所以SAABC=2x\BC\xd=2X5&x2&=10,故D正确•

故选：C.

【点评】本题主要考查直线方程，圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

8.(2024秋•范泽期末)已知直线丫=依+1(keR)与圆O：7+y2=4相交于M(xi,yi),N(X2,”)两

点，贝U|3xi+4yi+12|+|3%2+4y2+12|的最小值为()

232323

A.—B.—C.—D.23

1025

【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】D

【分析】先求得弦的中点E(x,y)的轨迹方程，则13利+?1+12|十号"2」?2+121的几何意义为

P(xi,yi),Q(必”)两点到直线3x+4y+12=0的距离之和，即点E(x,y)到直线3%+4y+12=0距

离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：已知直线y=fcr+l(ZER)与圆0：/+/=4相交于M(XI,yi),N(x2,y2)两点，

直线/：y=fci+l与y轴的交点为A(0,1),设弦MN的中点为E(x,y),

—>—>

连接OE,贝1JOE±MN,即OE±AE,所以。E•ZE=0,

即(x,y)・(x,y-1)=~+丁(y-1)=0,

所以点E的轨迹方程为/+(y—1)2=I，

11

即右的轨迹是以（0,分为圆心，5为半径的圆，

12+121123

设直线I为3x+4y+12=0,则E到I的最小距离为§一&=

过M、E、N分别作直线/的垂线，垂足分别为P,R,Q,

则四边形MNQP是直角梯形，且R是尸。的中点，

则ER是直角梯形的中位线，所以尸l+INQI=2|ER|,

即|3%+?】+12|+13冷+?2+12|=2|网

即|3xi+4yi+12|+|3%2+4y2+12|=10|ER|223,

所以|3xi+4yi+12|+|3%2+4y2+12|的最小值为23.

故选：D.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•云南一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步

逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的

方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆/+丁=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个

顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（）

A.x+（V2-l）y-V2=0B.（1-V2）x-y+V2=0

C.%-（V2+l）y+V2=0D.（V2-l）x-y+V2=0

【考点】直线和圆的方程的应用；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】ABD

【分析】设圆/+/=2的一个内接正八边形为ABCDEFGH,圆心为O,分别以04,OC所在直线为x,

y轴建立平面直角坐标系，写出A,B,C,D,E的坐标，从而可求48,BC,CD,OE的直线方程,

根据平行关系即可求解.

【解答】解：由图可知：

A(V2,0),B(1,1),C(0,V2),£)(-1,1),E(-V2,0),

1-0

所以直线AB,BC,Cn£)E的方程分别为y=(x-V2),y=(1—V2)x+V2,y=(V2—l)x+V2,

1-V2

+冉

整理为一般式即x+(V2—l)y—y/2—0,

(1-V2)x-y+V2=0,

(V2-l)x-y+V2=0,

x-(V2-l)y+V2=0,

前三个分别对应题中的A,B,。选项,

而正八边形中，AB与EF,BC与FG,CD与GH,DE与AH所在直线分别平行,

由第四个式子可知，正八边形各边所在直线不可能为选项C

故选：ABD.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

(多选)10.(2025春•深圳校级月考)已知圆C：/+y2=%p是直线/：x+y-6=0上一动点，过点尸作

直线B4,P8分别与圆C相切于点A,8,贝|()

A.圆C与直线/相离

B.|9|存在最小值

C.|AB|存在最大值

D.存在点P使得△ABC为直角三角形

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】AB

【分析】由直线和圆的位置关系可判断A；求得切线长，结合点到直线的距离公式，可判断8；由四边

形的面积可得|42],结合|PC|的最小值，可判断C；由的最小值和直角三角形的定义，可判断Z).

【解答】解：圆C：/+y=4的圆心C(0,0),半径为2,

备夜＞

直线/：x+y-6=0,可得C到直线/的距离为d==32,

即直线/与圆C相离，故A正确;

由PALAC,可得|E4|=—4,

而|PC|的最小值为d=3&,则|朋|的最小值为｛18-4=V14,故B正确；

11

由PC±AB可得四边形PACB的面积为二|尸C|・|A8|=2x三x2|B4|,

f2z

即有以2|=^^=411—市:，24,1_万宗=竽,可得|4同有最小值，而无最大值，故C错误;

要使△ABC为直角三角形，只能是/ACB为直角，即|A8|=2VL

由C可得学>2/，则不存在点尸使得△ABC为直角三角形，故。错误.

故选：AB.

【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

(多选)11.(2025•咸阳模拟)已知圆C的方程为/+/-8尤+12=0,点M(xo,yo)是圆C上任意一点,

。为坐标原点，则下列结论正确的是()

A.圆C的半径为2

B.满足10M=5.5的点M有1个

C.xo+2yo的最大值为4+2代

D.若点P在x轴上，则满足10M=2|PM的点尸有两个

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解.

【答案】AC

【分析】将圆的方程化为标准方程可判断A；由|OM|d的取值范围结合圆的对称性即可判断8；设M

(4+2cos8,2sin。)，结合三角函数的值域可判断C；设尸G,0),由两点间的距离公式化简可得(6-2t)K°-

9+产=0对任意的尤0日2,日恒成立，建立f的方程，求解后由f的解的个数可判断。.

【解答】解：由题意可得：圆C的标准方程为(x-4)2+y2=%所以圆C的半径为2,故A正确；

因为|OC|=4,所以2WQMW6,由圆的对称性知，满足|OM]=5.5的点M有两个，故8错误；

_-1

设M(4+2cos0,2sin0),则久0+2yo=4+2cos3+4sin0=4+2V5sin(0+(p),其中tang=于

所以xo+2yo的最大值为4+2V5,故C正确；

设P(2,0),则J&2+y02=2A/(&-t)2+光,所以3%()2+3y02-st%。+4产=0,

22

又因为(久o—4)+y：=4,所以琢+y衣—8%o+12=0,所以(6—2t)x0—9+t=0,

因为该式对任意的刈日2,旬恒成立，所以，2二2；二;，解得f=3,所以满足条件的点P只有一个，故

D错误.

故选：AC.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆的参数方程的应用，属于中档题.

(多选)12.(2025•长沙校级一模)圆M：/+/+2尤-4y+3=0关于直线2or+by+6=0对称，记点尸(。,

6),下列结论正确的是()

A.点尸的轨迹方程为x-y-3=0

B.以PM为直径的圆过定点。(2,-1)

C.|PM的最小值为6

D.若直线必与圆M切于点A,则|B4|24

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】ABD

【分析】圆A/：9+^^尤-4y+3=0关于直线2ox+by+6=0对称，点M在直线上，可得a-6-3=0,

可判断A；以PAf为直径的圆N的方程为(尤+1)(x-O)+(y-2)(y-b)=0,把点Q的坐标代入方

程可判断&|PM的最小值即为点M到直线x-y-3=0的距离，求出］可判断C,进而可判断。.

2

【解答】解：由圆跖/+B+2r-4y+3=0得(龙+1)+(厂2)2=2,

所以圆心M(-l,2),半径7?=迎，

由圆A/：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ar+by+6=0对称，

所以M在直线2ax+6y+6=0上，所以2a(-1)+bX2+6=0

所以a-b-3=0,所心点P的轨迹方程为无-y-3=0,故A正确；

以为直径的圆N的方程为(龙+1)(x-a)+(y-2)(y-b)=0,把点Q(2,-1)代入圆的方程

的左边，

有3(2-a)-3(-1-Z?)=9-3a+3b=-3(a-b-3)=0,所以点。在圆N上，故8正确；

|PM的最小值为点M到直线尤-y-3=0的距离，又故C错误；

因为|B4|=J|1―22建=1=4,故。正确；

故选：ABD.

【点评】本题考查点的轨迹问题，过定点问题，距离的最小值问题，属中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025•玉溪二模)已知点A(4,0),B(2,2),若直线/过。(0,0)且平分△048的面积，则/

被△042外接圆截得的弦长为审

【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

a6V10

【答案】

【分析】分析可知△。48外接圆圆心为N(2,0),半径r=2,直线/过。(0,0),M(3,1),结合

垂径定理求弦长.

【解答】解：分别取。4,4B的中点N(2,0),M(3,1),

则|ON|=|M4|=|NB|=2,可知△048外接圆圆心为N(2,0),半径厂=2,

直线/过。(0,0)且平分△0A8的面积，

1

则直线/过0(0,0),M(3,1),则直线匕y即x-3y=o,

|2-0|_2

则圆心N(2,0)到直线/的距离d=

jl2+(-3)28，

同

所以/被△Q4B外接圆截得的弦长为2s'2—d2=26

Ji俞-5-•

6V10

故答案为:

5

【点评】本题主要考查直线与圆相交的弦长，属于中档题.

14.(2024秋•官渡区期末)如果直线/：x+y-b=0与曲线C；y=(1-尤2有公共点,那么b的取值范围

是[-1,&]■

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；直线与圆.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点M(cosa,sina)是曲线C上的点，其中OWaWn.因此

问题转化为方程cosa+sina-b=0,在区间[0,a]上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质,

即可算出实数b的取值范围.

【解答】解：对于曲线C；y=V1—x2,设x=cosa,则y=71-cos2a=sina（OWaWit）

因此点M（cosa,sina）是曲线C上的点，其中OWaWit

:线/：x+y-b=0与曲线C有公共点

二方程cosa+sina-6=0,在区间[0,a]上有解

即Z?=cosa+sina=V2sin（a+?）

4

Va+可得sin（a+g）6[—1]

444q，

b=V2sin（a+[）G[-1,V2]

即直线/：x+y-6=0与曲线C；y=，1一%2有公共点时,。的取值范围是[-1,V2]

故答案为：L1,V2]

【点评】本题给出直线/与曲线C有公共点，求参数万的范围.着重考查了同角三角函数的关系、三角

函数的图象与性质与函数的值域求法等知识，属于中档题.

15.（2025春•浦东新区校级月考）在△481。中，若Mi,Ni,Pi三点分别在边4,，BiCi,C1A1±（均

不在端点上），则△AiMiPi,ABiMiNi,AC1MP1的外接圆交于一点O,称为密克点.在梯形ABCD

中，NB=NC=60°,AB=2AO=2,M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），△A2P与

ACMP的外接圆交于点。（异于点尸），则BQ的最小值为_V7-1_.

【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】V7-1.

【分析】延长BA,交于点E得△EBC为正三角形，且得△ASP、△CMP、△AME的外接圆有唯一

公共点为密克点。接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径R=AO=1,再在

△ABD中由余弦定理求出BD即可得BQ的最小值.

【解答】解：由题意在梯形ABC。中，ZB=ZC=60°,AB=2AD=2,M为CO的中点，动点尸在

BC边上（不包含端点），ZkAB尸与的外接圆交于点。（异于点P）,

可延长BA,CD交于点、E,作出图象：

由题设结论△ABP,ACMP,的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点。,

故点。在△侬£的外接圆上，如上图，

又由题AO=DM=1,ZBAD=ZADM=180°-ZBCD=180°-60°=120°,

所以/AAffl=30°,故NEAM=180°-ZAMD-ZA££）=180°-30°-60°=90°,

所以是直角三角形，故其外接圆半径R=AD=L

在△ABO中，由余弦定理BD=V22+l2-2x2xlxcosl20°=V7,

所以8。的最小值为V7-1.

故答案为：V7—1.

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题.

16.（2024秋•天津期末）己知圆C：（%-3）2+（厂1）2=1,直线/过点尸（4,3）,若直线/与圆C相

切，则直线’的方程为尤=4或3尤-4v=0.

【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】尤=4或3x-4y=0.

【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解.

【解答】解：已知圆C：（x-3）2+（厂1）2=1,

则圆心坐标为（3,1）,半径为1,

又直线/过点P（4,3）,且与圆C相切，

当直线的斜率不存在时，显然x=4满足题意,

当直线的斜率存在时，不妨设直线方程为y-3=左（x-4）,

由题意可得：需=1'

即k=?，

即直线方程为y-3=4（尤-4）,

即3x-4y=0.

故答案为：x=4或3x-4y=0.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•辽宁一模）已知圆Ci：?+/=1,C2：?+/=4,。为坐标原点，过圆Q上一动点G作圆Ci

的切线人交圆C2于C,。两点，直线OG交圆C2于A,8两点.

（1）四边形AC8O的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；

（2）对平面上所有点进行如下变换俨二8”。，（即：原坐标Go,州）在这个变换下的新坐标为（百配,

yo）,圆。、圆。2、直线/1分别变换成C3,C4,/2,点A,B,C,D,G变换成Ai,Bi,Ci,Di,Gi.

①写出C3,C4的方程，/2与C3是否相切，证明你的结论；

②四边形AICLBLDI的面积是否是定值，请说明理由.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

L%2%2y2

【答案】（1）是，4次；（2）①三-+y=1,不+丁=1,/2与C3相切，证明见解析；②四边形A151C1D1

3124

的面积是定值，理由见解析.

【分析】（1）四边形对角线垂直，且对角线长不变；

（2）①代入原方程后整理得到C3,C4,讨论直线/1的斜率不存在，得到直线/2方程，证明是否相切;

讨论/I的斜率存在时，设直线方程，由切线的性质建立关系，从而得到直线/2方程，联立后由判别式

判断是否相切；

②讨论直线/i斜率存在时设Ci,D1,联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，由韦达定理和交点

弦长公式求得得到0至IJ12的距离，从而求出治0℃,由线段的比例得到SABG%，SA”1c/

SAARDI的关系，然后得到四边形面积•讨论当斜率不存在时，直接得到点四边形定点坐标，求得四边

形面积.从而证明面积为定值.

【解答】解：(1)由与垂直，四边形的面积Si=|x4x2V22-I2=4^/3,

四边形A