2025年高考数学复习新题之二项式定理

2025年高考数学复习新题速递之二项式定理（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025春•荔湾区校级月考）在Qa心”的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10

项与第11项的二项式系数之和，则〃=（）

A.16B.15C.14D.13

2.（2025春•湖南月考）（小—》6的展开式中，常数项等于（）

A.1B.15C.-15D.-1

3.（2025•承德模拟）若（2——展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含尤4项的系数为（）

A.-80B.80C.-40D.40

4.（2025春•莱州市校级月考）©-2y）（2x+y）5的展开式中的系数为（）

A.-80B.-48C.-12D.24

5.（2025春•兴庆区校级月考）（1-2x）5的展开式中系数最大的项是（）

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

6.（2025春•兴庆区校级月考）0.991°的第一位小数为〃1,第二位小数为〃2,第三位小数为〃3,则“1,〃2,

〃3分别为（）

A.9,0,4B.9,4,0C.9,2,0D.9,0,2

7.（2025春•沙坪坝区校级月考）已知二项式（x+2）4=〃o+〃i（x+1）+〃2（x+1）+。3（x+1）+〃4（x+1）,

贝〃1+〃2+〃3+44=（）

A.81B.80C.16D.15

8.（2025•广安模拟）关于二项式Q2—今（1+久）6,若展开式中含小的项的系数为21,则。=（）

A.2B.1C.3D.-1

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•深圳校级月考）已知。—2）6=劭+%%++的汽3++的％5+。6%6,则

（）

A.40=1

B.“4=60

C.〃1+。2+〃3+〃4+〃5+〃6=-63

36-1

D.。0+。2+。4+。6=-9-

（多选）10.（2025•昌黎县校级模拟）己知（3x-1）"=ao+aix+a2x2+…廿，且展开式第6项与第7项

的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（）

A.ao=lB.Xili《=2049

C.总卷=3D.毙】号=1

（多选）11.（2025•黄梅县校级模拟）下列说法正确的是（）

A.。鹿9+Cl28+…+瑶=39

828

B.若（2%—I）=a0+arx+a2x+—I-a8x,则m+a2+…+。8=0

C.5555被8整除的余数为1

D.1.051°精确到0.1的近似数为1.6

2025

（多选）12.（2025•潮阳区校级模拟）已知二项展开式（1一x）2°25=a。++a2%?4-----1-a202Sx,

则（）

A.ao=l

B.al+〃2+…+Q2025=0

C.〃1+。2024=0

D.+。2+。4"!-----H。2024=22024

三.填空题（共4小题）

1

13.（2025•潮阳区校级模拟）（2+婿）6的展开式中的有理项个数为.

14.（2025•临汾二模）二项式电-毋的展开式的常数项是.

15.（2025春•郴州月考）（久一《尸的展开式中常数项为.

16.（2025•湖北模拟）（1+f）（1+x）5的展开式中的系数为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•南京月考）我们学过组合数的定义，C针二"九1）（n?!…（n一馆+1）,其中加eN,n£N*,并

且牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C记中的下标〃推广到任意实数，规定广义组

合数管=无（*7"［：一、+1）是组合数的一种推广,其中“ZCN,无CR,且规定以=1.于是广义二项式

定理可写成：（1+比）a=eg+&,/+/+C郎,久3+…+偌,其中国＜1.等式右端有无

穷项.

（1）求/和鬣,5的值.

（2）计算LI*的近似值，保留到小数点后2位.

（3）求C寻■史3+Co,7•盘,3+己5•此.3+…+器7-C也+史7•C袈的值.

10

18.（2025春•南京月考）已知（1—2%）i0=劭+%%+劭/4----Fa10x.

(1)求。2的值；

(2)求〃o+m+…+〃10的值；

(3)求|。1|+|〃2|+…+|〃io|的值.

19.(2025春•西湖区校级月考)对于无穷数列Q0,…，an,…，我们称/(%)==劭+%%+

…+册”+…为数列｛斯｝的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p,记方程

S1+S2+…+Sp=左(％=0,1,2,3,…)的非负整数解的个数为bk,则从为

(1+尤+…..…(1+»-+.+…)展开式中/前的系数.

P个括号

(1)写出无穷常数列1,1,1,…的生成函数g(x)(0<|x|<l)并化简；

1

(2)证明：n—”=£之0^+人1,；

I1X)

(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项

目获取最终分数.计分规则如下：通过第左(后=1,2,10)大项中的每一个小项，都可获得2&分;

通过第H项中的每一个小项，可获得1分.记即为获取九分的所有得分组合数，求。2025.

20.(2025春•莱阳市校级月考)设实数%满足。2+1)(2]+1)9=劭+%(%+2)+的(％+2)2+,・・+

%.i(%+2)u.

(1)求40；

(2)求41+42+43+…+”11；

(3)求展开式中含2项的系数.

2025年高考数学复习新题速递之二项式定理（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DBBACADD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCBCABDACD

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•荔湾区校级月考）在（a+b）n的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10

项与第11项的二项式系数之和，则”=（）

A.16B.15C.14D.13

【考点】二项式系数与二项式系数的和.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】D

【分析】由题意可得：*+第=*+*。，结合组合数的性质优T+优=等1，第=印-分析求

解.

【解答】解：由的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的

二项式系数之和，

可得：%+第=资+吗。，则鬃+1=盘匕，

可得“+1=14,所以72=13.

故选：D.

【点评】本题主要考查二项式系数的性质应用，属于基础题.

2.（2025春•湖南月考）（/-36的展开式中，常数项等于（）

A.1B.15C.-15D.-1

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式求出Q2-》6展开式的通项，再令通项中尤的次数为0,进而求

出常数项.

【解答】解：展开式的通项公式为：T『+i=盘（/）6-『（一Jr,

122rrrr123r

§PTr+1=C^x-（-l）x-=（-l）C^x-,r=0,1,...5,

令12-3r=0,解得r=4.

可得常数项为小启1=需=.

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

3.（2025•承德模拟）若（2/一》兀展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含¥项的系数为（）

A.-80B.80C.-40D.40

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】B

【分析】根据二项式系数和为2〃可得〃=5,利用通项公式计算可得结果.

【解答】解：由题可得：2"=32,故〃=5,

12）5-/_］5k

...（2/_35展开式的第k+i项为几+=若（2久产=度-2-.（-i/xio-3fc,

由10-3左=4得k=2,

324

：.T3=Cf-2-（-l）x=80x3即含/项的系数为80.

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题.

4.（2025春•莱州市校级月考）©-2y）（2x+y）5的展开式中尤2y4的系数为（）

A.-80B.-48C.-12D.24

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】A

【分析】利用二项式定理计算（2x+y）5展开式中/y3的系数即可.

11

【解答】解：(--2y)(2%+y)5=-(2%+y)5-2y(2x+y)5,

1

因为：-2y(2x+y)5展开式中x2y4项为一2y-C5(2x)2y3=一80%2y4,一(2%+y)，展开式中没有x2〉4

'x

项，

所以©-2y)(2x+的展开式中的系数为-80.

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

5.(2025春•兴庆区校级月考)(1-2%)5的展开式中系数最大的项是()

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】C

【分析】在通项中令r=0,2,4时比较可得系数最大的项.

【解答】解：(1-2无)5展开式的通项为：7>+i=C>(-2)左｛0,1,2,3,4,5),

因为r为奇数时为系数为负数，

所以当r=0时，盘(-2)°?=1；

当r=2时，Cl(-2)2/=40/；

当r=4时，C1(-2)4无4=8Q/；

所以(1-2无)5展开式中系数最大的项为80X、为第五项.

故选：C.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

6.(2025春•兴庆区校级月考)0.99”)的第一位小数为wi,第二位小数为"2,第三位小数为“3,则力i,m>

“3分别为()

A.9,0,4B.9,4,0C.9,2,0D.9,0,2

【考点】二项式定理的应用.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】A

【分析】借助二项式定理，由0.9910=(1-0.01)1°,将其展开后计算即可得.

【解答】解：已知0.991°的第一位小数为m,第二位小数为破，第三位小数为“3,

0.9910=(1-0.01)10

1098210

=Cfoxlx(-O.O1)°+C^0xlx(-0.01)xlX(-0.01)+...+C^xl°X(-0.01)

=1-0.1+0.0045+^0.9045,

故〃1,m,分别为9,0,4.

故选：A.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

7.(2025春•沙坪坝区校级月考)已知二项式(%+2)4=〃O+QI(x+l)+〃2(x+l)+〃3(x+l)+〃4(x+1),

则〃1+〃2+〃3+〃4=()

A.81B.80C.16D.15

【考点】二项式定理.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】D

【分析】根据二项式定理相关知识可解.

【解答】解：,二项式(X+2)4=QO+〃I(x+l)+a2(x+l)+〃3(x+l)+〃4(X+l),

又二项式(X+2)4=[1+(x+l)『的展开式的通项公式为小1=噩(X+1)r,

令r=0时，〃o=l,

令X=0时，〃0+。1+42+〃3+〃4=16,

贝！J。1+〃2+〃3+〃4=16-1=15.

故选：D.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

8.(2025•广安模拟)关于二项式(久2一乡(1+乃6,若展开式中含短的项的系数为21,则。=()

A.2B.1C.3D.-1

【考点】二项式定理的应用.

【专题】分类讨论；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】D

【分析】分别计算(1+X)6展开式中尤项系数和x4项系数，进而可求解.

【解答】解：由题意，二项式(1+尤)6展开式中尤项的系数为盘=6,尤4项的系数为4=d=辫=15,

所以二项式(公一9(1+久)6展开式中含小的项的系数为1义6+(-a)X15=21,

解得a=-1.

故选：D.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025春•深圳校级月考)已知(％—2)6=即+%%+的％2+口3/++。6%6,则

()

A.QO=1

B.“4=60

C.〃1+〃2+〃3+〃4+〃5+〃6=-63

36-1

D.劭+的+。4+。6=—2—

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】BC

623456

【分析】设/(%)=(%—2)=a。+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,利用赋值法可判断ACD

选项；利用二项展开式通项可判断5选项.

623456

【解答】解：因为(％—2)=a。+arx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,

623456

令/(%)=(%-2)=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6%.

对于A选项，。0=/(0)=(-2)6=64,A错；

对于8选项，(x-2)6的展开式通项为几+1=喏./f.(一2)/k=0,1,2,…,6),

令6-左=4,可得左=2,则ci4=靠•(-2)2=15X4=60,B对；

对于C选项，Q1+〃2+43+«4+45+Q6=(〃0+〃1+〃2+。3+〃4+〃5+〃6)-40

=/(1)-/(0)=(1-2)6-64=1-64=-63,C对；

对于。选项，勿D；a°+%+f+03+:+。5+：6=1

(—1)=q。-0]+@2-03+04-05+@6=(-3)

36+1

所以，劭+。2+。4+。6=-2-'D错•

故选：BC.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

(多选)10.(2025•昌黎县校级模拟)己知(3x-l)n—ao+aix+a2x2+,•,+an^2,且展开式第6项与第7项

的二项式系数相等，则下列结论中正确的是()

A.砒=1B.%1a；=2049

C.%1自=3D.%】争=1

【考点】二项式定理的应用.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】BC

【分析】先求出«=11,然后利用赋值法判断选项A，B,C的正误；然后将二项式两边求导，再赋值

即可判断选项。的正误.

【解答】解：因为(3x-1)n=ao+aix+a2x2+'"+anx'\且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，

所以喘=循，则”=11.

令X—0,得a0=(—I)"=-1,

令x=l,得七==2048,所以£也1四=£聂°at-a0=2049,

令x=得劭+因当*=(3x}1尸=0,所以4=1，所以富匕3=3,

33333

11211

因为(3%—I)=劭+%%+a2x4---Fan%,所以两边同时求导得

33(3%—I)10=%+2a2%+3a3/+—卜lla^x10=Ya=i必4-1，令%=.得空当=0,

所以昭?=0,

结合选项可得3c正确，AD错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

(多选)11.(2025•黄梅县校级模拟)下列说法正确的是()

A.一材+盘28+…+瑞=39

828

B.若(2x—I)=a0+arx+a2x+—I-a8x,则ai+a2+…+。8=0

C.5555被8整除的余数为1

D.1.051°精确到0.1的近似数为1.6

【考点】二项式定理的应用.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】ABD

【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令x=0,尤=1求解可判断2项，由5555=(56

-1)55,结合二项式定理计算可判断C项，1。51°=(1+0.05)1°,结合二项式定理计算可判断。项.

【解答】解：对于A,启29+程28+..+%=(2+1)9=3、故A正确；

对于8,令x=l得l=ao+ai+a2+…+。8①，令x=0得ao=l②，

所以①②可得ai+42+…+。8=0,故2正确;

对于C,5555=(56-l)55=砥5655-废55654+c.5653—+C居561—C黄56°,

由此可得5555被8整除的余数为8-1=7,故c错误；

1010o110

对于。，1.05=(1+0.05)=CfoO.O5+C^oO.O5+...+C^O.O5,

=1+0.5+0.1125+-=1.5+0.1125+-,

所以1.05.精确到0.1的近似数为1.6,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

(多选)12.(2025•潮阳区校级模拟)已知二项展开式(1—%)2。25=劭+的久+a2/+…+(12025久2°25,

则()

A.40=1

B.a\+。2+…+42025=0

C.6Z1+4/2024=0

D.劭+g+。4+…+。2024=22024

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】ACD

【分析】令x=0即可判断A；令x=l即可判断&根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令

x=-1即可判断。.

【解答】解：令％=0,可得“0=1,A正确；

令X=1,可得ao+〃1+。2+…+42025=。①，

则m+〃2+…+”2025=0-1=-LB错误;

因为ai=废025X(-1)=-2025,“2024=C需型X(-1)2024=2025,

所以。1+。2024=0,C正确；

令X=-1,贝U22025=6Z0-〃1+〃2-〃3+…+32024-12025②，

①+②可得：22°24=QO+〃2+〃4+…+42024,。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

1

13.(2025•潮阳区校级模拟)(2+娼T的展开式中的有理项个数为3.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】3.

【分析】根据二项式的展开式通项分析求解即可.

11k

fc6k

【解答】解：（2+婚）6的展开式通项为=C”26-k.（X3）=c”2--x3（0<k<6,k€N）,

k

由］eZ可得任｛0,3,6）.

1

即（2+久3）6的展开式中的有理项个数为3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题.

14.（2025•临汾二模）二项式。1-孙的展开式的常数项是1二5.

yjX乙4

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

15

【答案】—.

4

【分析】电一》6的展开式的通项为般+1=瞅—3心弊3,令与一3=0,求出匕再代入通项公式

计算即可.

【解答】解：展开式的通项为〃+i=C”（击尸•（—寅—，者-3,-0,1,6,

3k

令工--3=0,解得k=2,

所以展开式的常数项△=量（—扔=苧.

一〜，15

故答案为：—.

4

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

15.（2025春•郴州月考）（x-《）3的展开式中常数项为72.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】72.

【分析】求出。-5）3的展开式的通项，再令通项中X的次数为0,进而求出常数项.

【解答】解：（％一《）3的展开式的通项公式为：4+1=。「/”（_今）r=（-4），・点・户3。r=0,1,

2,3,

令3-3r=0可得r=l,

故（x—《）3的展开式中常数项为：（-4）1•废=一12.

故答案为：-12.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题.

16.（2025•湖北模拟）（1+/）（1+无）5的展开式中d的系数为15.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】15.

【分析】写出展开式通项，令x的指数为4,求出参数的值，代入通项即可得解.

【解答】解：（1+x）5的展开式通项为几+1=麾・#（（）WkW5,keN）,

因为（1+/）（1+X）5=（1+X）5+/（1+x）5,

在x?（l+尤）5中，展开式通项为/cj./=星.久『+2（。<rw5,「eN）,令厂+2=4,可得厂=2,

在（1+无）5中，其通项为若―/（0三上三5,kGN）,令k=4,

所以，（1+x2）（1+x）5的展开式中无4的系数为c/+量=15.

故答案为：15.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•南京月考）我们学过组合数的定义，C$=如T）S-？J（—+1）,其中加eN,“6N*,并

且加《小牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C铲中的下标〃推广到任意实数，规定广义组

合数管=刿0奈卫±D是组合数的一种推广，其中无CR,且规定欧=1.于是广义二项式

定理可写成：（1+X）a=C?+&,/+■/+党,比3+…+《2.%”+…，其中㈤<1.等式右端有无

穷项.

（1）求盘和C技的值.

（2）计算LI*的近似值，保留到小数点后2位.

（3）求C需.%+.-%+C投Ch+…+盘7-唱+*-C猾的值.

【考点】二项式定理的应用；组合数的化简计算及证明.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；二项式定理；运算求解；新定义类.

【答案】⑴0；—余

(2)1.19；

(3)0.

【分析】(1)根据广义组合数公式代入即可求解；

(2)根据11L8=(1+0.1)]-8,代入广义二项式定理的展开式即可求解；

(3)分析式子特征，考虑(1+x)2=(1+x)°，7.(1+尤)L3的展开式中，的系数即可求解.

【解答】解：(1)由广义组合数以1=这二写尸凶的定义可得：

k6_4x3x2xlx0x(-l)_n「2_0.5x(-0.5)_1

=g!=U，°o.5=21=~8;

(2)1.118=(1+0.1)L8

=以8+盘.8,0・1+*8,0・12+匠8,0.13+…，

,1.8„.,1.8X0.8„,1.8x0.8x(-0.2)„,

=14+—X0.1+—21x0.Id22+--------------------X0.I3+­••,

=1+0.18+0.0072-0.000048+

F.19；

(3)考虑(1+X)2=(1+x)°-7-(l+x)13的展开式中，小。的系数，

左式为(1+x)2=l+2x+?,的系数为0,

右式中X20的系数为C号•史3+C热-叱3+C热-Ch+…+盘7•C也+以7-

CCCCC

所以C碧-Cf3+Co7,C13+CQ.7,13----卜0.7'13+1.7'1.3•

【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了二项式定理的应用，属于中档题.

18.(2025春•南京月考)已知(1—2x)1°=即+囱£+(^产+…+的0炉°.

(1)求。2的值；

(2)求ao+ai+…+aio的值;

(3)求团|+陵|+…+|aio|的值.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)180；

(2)1；

(3)59048.

【分析】(1)写出展开式通项，令尤的指数为2,求出参数的值，即可得出及的值；

(2)令无=1,可得出ao+ai+…+aio的值;

210

(3)设。(久)=(1+2x)i°=b0+brx+b2x4----Fb10x,结合展开式通项可得以|=以，则|°1|+陵|+…

+|。10|=61+历+…+加0,结合赋值法可得结果.

【解答】解：⑴展开式通项为〃+1=%-l10-k-(~2x)k=味•(-2)3(0<k<10,k6N),

令k=2,可得a2=C/o•(-2)2=45x4=180.

(2)令x=1,则a0+a[+…+di。=(-1>°=1.

(3)(l-2x)1°的展开式通项为联+1=婚•(一2)Mk(0WkW10,k€N),

则以=Cio■(-2)k(0<fc<10,k6N),

210

设g(x)=(1+2x)1。=b0+brx+b2x4----卜bwx,

(l+2x)1°的展开式通项为2匕+1=eg-l10-k-(2x)k=eg-23(0<fc<10,kGN),

则以I=I欧•(-2)fc|=%•=尻(0WkW10,kEN),

所以,|ai|+|a2|+-+|aio|=bi+b2+-+bio=(60+61+62+…+610)-bo

=g(1)-g(0)=31°-1=59048.

【点评】本题已知考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

19.(2025春•西湖区校级月考)对于无穷数列ao,ai,an,我们称f(x)=220aA：/=a。+的久+

…+an/+…为数列｛斯｝的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p,记方程

S1+S2+…+Sp=左(4=0,1.2,3,■■■)的非负整数解的个数为以，则bk为

(1+无+…+久叫…).(i+久…(1+»-+川+…)展开式中/前的系数.

P个括号

(1)写出无穷常数列1,1,1,…的生成函数g(x)(0<|x|<l)并化简；

(2)证明：=£之0。。+”1，；

(J.X)

(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项

目获取最终分数.计分规则如下：通过第左(左=1,2,10)大项中的每一个小项，都可获得2«分;

通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记4”为获取"分的所有得分组合数，求“2025.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；构造法；转化法；二项式定理；运算求解；新定义类.

【答案】(1)g(无)

(2)证明见解析.

(3)02025=1027182.

【分析】(1)根据题意，直接计算g(x)的值即可;

1

(2)令。=-〃，计算C练，由此得出;;二奇=£葭。•4

I1x)

1

(3)设｛斯｝的生成函数为7(x),计算/(x),从而得出了(x)与尸(久)=3的展开式中/°25

(l+x)(l—X)

前的系数相同，即可得出。2025.

【解答】解：(1)g(x)=£连°1+X+/+…,

]

法一：g(x)=l+x+x2+-=l+x(l+x+x2+-)=l+xg(x),解得g(x)=yzp

、，7c1——1

法二：g(x)=£连0/=1+%+/+...=Um-；---=—.

TL—>+oo-LX-LX

,则——九(31)(一九一2)・“(一几―々+1)

(2)证明：令a=-n

k\

(])左n(n+l)(n+2)...(n+/c-l)

k\

=(-1)Y+kr，

11

可得(1+P=2窘)(-1)”・僚+上一1・/,所以*=E乙)ch。1号

(3)设｛斯｝的生成函数为/(%),则/(%)=(1+%21)3(1+%22)3•••(1+%210)3(1+%)2,

131323I。3

_(1—%2)(1+%2)(1+x2)•••(1+x2)

/(X)=(1+久2,3(1_|_炉2)3…&_|_x21°)3(l+%)2-(1+x)2

i3

(1—X2)

113113

=(L1(1+XTQ-4])

3»

(1一％2)(1+%)(1—%)

因为2025<211=2048,故/(x)与尸(x)=1的展开式中/。25前的系数相同.

(l+x)(l—%)3

11

F(x)=

(l+x)(l-x)(l-x2)(l-x)

1

由⑴知「=1+/+八…=£之。铲

1

k

由(2)知取见=2时有=C3X.

故"x)=£连。x2k-,其中x2025前系数为

(2+2026>1013

^2026+^2024+1"废==1013x1014,

2

所以。2025=1013X1014=1027182.

【点评】本题考查了二项式定理应用问题，也考查了运算求解能力，是难题.

2

20.(2025春•莱阳市校级月考)设实数x满足(久2+1)(2%+=%+a^x+2)+a2(x+2)+-+

。1式X+2)ii.

(1)求40；

(2)求41+。2+。3+…+”11；

(3)求展开式中含金项的系数.

【考点】二项式系数与二项式系数的和.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)-5X39；

(2)5X39-2；

(3)4704.

【分析】(1)根据已知等式，运用赋值法进行求解即可；

(2)根据已知等式，结合(1)的结论，运用赋值法进行求解即可；

(3)根据二项式(2x+l)9的通项公式进行求解即可.

2

【解答】解:(1)在(久2+1)(2%+I,-a0+ar(x+2)+a2(x+2)-+--Fan(x+2)11中,

令x=-2,得[(—2)2+1]x[2x(-2)+l]9=%na0=—5x39；

(2)在+1)(2x+l)。=CLQ+Gt[(X+2)+Cl2(%+2)2+…+Gt]](x+2)11中，

令x=-1,得[(—I)?+1][2x(-1)+Ip=%+%+a2+,1,+du=>a[+a2+,,,+a】1=-2一a0=

5x39—2；

(3)二项式(2无+1)9的通项公式为「+1=4•(2x)9-『•=舄•(2x)9-r,

因此展开式中含2项的系数为：e-2-6+以.2-4=4704.

【点评】本题考查二项式系数与二项式系数的和的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

考点卡片

1.组合数的化简计算及证明

【知识点的认识】

-组合数表示从w个不同元素中选出厂个元素的总数，其公式为品==!(£「)!.

-组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明.

【解题方法点拨】

-熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系.组合数的性质如对称性*=册-是化简计算的重

要工具.

-证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法.

-在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简.

【命题方向】

-常见命题包括要求考生化简复杂组合数表达式、证明组合数恒等式，以及应用组合数公式解决实际问题.

-可能涉及组合数的递推公式推导、组合数的对称性证明，以及复杂组合问题的综合应用.

2.二项式定理

【知识点的认识】

二项式定理又称牛顿二项式定理.公式函"(也通过这个定理可以把一个多项式的多

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