2025年高考数学复习新题之概率

2025年高考数学复习新题速递之概率（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025春•沙坪坝区校级月考）抛掷同一枚硬币两次，若事件4="至少有一次正面朝上”,则事件彳=（）

A.两次均正面朝上B.至多有一次正面朝上

C.两次均反面朝上D.至少有一次反面朝上

2.（2025春•秦皇岛月考）已知随机变量X服从二项分布8（2,若随机变量丫满足X+Y=l,则E（F）

=（）

2112

A.—□B.—□C.-D.—

3333

3.（2025•安徽校级学业考试）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=”第一枚出现偶数点"，B="第二

枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（）

A.A与B互斥B.A与B互为对立

C.A与8相等D.A与8相互独立

4.（2025•唐山一模）随机变量X〜N（|i,o2）,o>0.若尸。）=p,贝l|尸（四-。<X<R+。）

=（）

1

A.\-pB.2-2pC.P-2D.2p-]

5.（2025春•沙坪坝区校级月考）甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（）

1111

A.-B.—C.—D.—

6121836

6.（2025春•深圳校级月考）若随机变量X的分布列如下：

X1234

P0.10.4a0.3

则尸(|X-1|>1)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

7.（2025•洗北区校级一模）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、

三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（）

1112

A.一B.—C.一D.一

4323

8.（2025•宝鸡校级模拟）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸

福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演

六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）

1317

A.一B.—C.—D.—

6201060

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•潮阳区校级模拟）设离散型随机变量X的分布列为

X01234

Pm0.40.12m0.2

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则（）

A.7%=01B.P（X+y>7）=0.2

C.E（X）=2,D（X）=1.8D.E（D=5,D（7）=8.2

（多选）10.（2025春•深圳校级月考）蓝牙耳机是基于蓝牙技术的一种小型设备，只需要把这种轻巧的设

备藏在耳边而不需要直接使用通讯设备（手机、电脑等）就可以实现自由通话.蓝牙耳机就是将蓝牙技

术应用在免持耳机上，让使用者可以免除恼人电线的牵绊，自在地以各种方式轻松通话.自从蓝牙耳机

问世以来，一直是行动商务族提升效率的好工具.假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率

的信息如下：

品牌甲乙其他

市场占有率50%30%20%

优质率80%90%70%

在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用4,42,凡分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌其他品牌，

2表示可买到的优质品，则下列说法正确的是（）

A.P（AIUA3）=0.7B.P（BA3）=0.70

C.P（B）=0.81D.P（Ai|B）=0.5

（多选）11.（2025春•大连月考）已知随机事件A、B满足：P（A）=J,P（B）=1则下列选项正确

36

的是（）

A.若PQ4B）=1,则A与B相互独立

B.若A与2相互独立，则P须）=|

C.若A与8互斥，则P（4B）=t

——11

D.若「(4)「(切4)=宣，则P(B|4)=*

（多选）12.（2025春•莱阳市校级月考）随机变量XE（2,。2）,且尸（04X42）+P（X>力=0.5,随

机变量G,p）,0<p<1,若E（X）=E（7）,则（）

A.r=4B.P（2<r<3）=|

C.p=1D.D（47）=4

三.填空题（共4小题）

13.（2025•河北区一模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此

次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某

商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：

盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖

从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，

则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为;该顾客第一

次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.

14.（2025春•莱阳市校级月考）排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在

21

甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为；，乙队获胜的概率为一，则在这场“五局三胜制”

的排球赛中乙队获胜的概率为.

15.（2025春•琼山区校级月考）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：

①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；

②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有“

（〃23）人玩游戏.

若3人玩一轮游戏，平局的概率P（3）=；若求n（〃23）人玩一轮游戏，

平局的概率P（«）=.（结果用〃表示）

16.（2025•承德模拟）已知随机变量X服从正态分布N（5,o2）,且尸（X23）=3P（X27）,则P（5

<X<7）=.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•海南模拟）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、

语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习

和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器

人的某个性能指数x(0<xW10)与孩子的喜爱程度〉(OWyWl)进行统计调查，得到如下数据表：

X56789

y0.550.500.600.650.70

(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量无，y的相关系数厂，回答是否可以认为该性能指数与孩子

的喜爱程度相关性很强.(当田日0.75,1］时，x与y相关性很强)

(2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率

为90%,出错率为10%.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，

使用者满意的概率为30%.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的

概率是多少？

(3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对

题数不小于3,则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为0,答对后两道题的概率均为P2.假设

每次答题相互独立，且互不影响.当%+P2=|时，求小李挑战成功的概率的最大值.

参考公式：相关系数丁=,£之1(%；一一厂歹)

Ml(々一幻£%。「力

18.(2025•二模拟)一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次

移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6,留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在

一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前

房间的概率均为05已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第”分钟时，猫和老

鼠在0号房间的概率分别为p”，qn.

(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；

⑵求证：d—务，(Qn+|pn-各均为等比数列；

(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？

19.(2025春•琼山区校级月考)(1)数据xi，X2,--小的平均数为元，数据yi，”，…，加的平均数为区

a,。为常数，如果满足yi=〃xi+。，yi—axi^b,…，yn—axn+b,证明：y=dx+b.

(2)证明：如果两个事件A与5独立，那么事件A与互也独立.

22

(3)设数据ai，a2,a3,…，斯的均值为瓦方差为。,请利用已经学过的方差公式:小=(心-a)

来证明方差第二公式：。2=：£上1aj-a2.

20.(2025•射阳县校级模拟)小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大

45

会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为1小王每轮猜对的概率为「在

每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；

(2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率.

2025年高考数学复习新题速递之概率（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案CCDDBBAA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACACACDABC

选择题（共8小题）

1.（2025春•沙坪坝区校级月考）抛掷同一枚硬币两次，若事件4="至少有一次正面朝上”，则事件彳=（）

A.两次均正面朝上B.至多有一次正面朝上

C.两次均反面朝上D.至少有一次反面朝上

【考点】事件的互为对立及对立事件.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】利用对立事件的定义求解即可.

【解答】解：因为事件4=“至少有一次正面朝上”，

所以事件方="两次均反面朝上”，故C正确，ABD错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查对立事件的定义，属于基础题.

2.（2025春•秦皇岛月考）已知随机变量X服从二项分布8（2,1）,若随机变量丫满足X+V=l,则EQ）

=（）

2112

A.一5B.-5C.-D.—

3333

【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】利用二项分布的期望公式及性质计算得解.

1

【解答】解：因为X〜B（2,1）,

所以E（X）=2x1=

因为X+y=l,所以Y=]-X,

所以E（Y）=-X）=1-E（X）=

故选：c.

【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式，考查了期望的性质，属于基础题.

3.（2025•安徽校级学业考试）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A="第一枚出现偶数点"，B="第二

枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（）

A.A与8互斥B.A与8互为对立

C.A与B相等D.A与B相互独立

【考点】互斥事件与对立事件.

【专题】整体思想；定义法；概率与统计；数学抽象.

【答案】D

【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.

【解答】解：事件A与8能同时发生，如第一枚的点数2,第二枚的点数为1,故事件A与8既不是互

斥事件，也不是对立事件，故选项A,8错误；

。⑷=第4「伊）=旗弓，。（硕=蔡]P⑷4⑻另

因为尸（A）•尸（B）=PCAB）,所以A与B独立，故选项。正确；

事件A与8不相等，故选项C错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查了互斥事件，对立事件及相互独立事件的判断，属于基础题.

4.（2025•唐山一模）随机变量X〜N（〉i,。2）,o>0.若尸（X<p_+。）=p,贝！IP（u-。<X<u+。）

A.1-pB.2-2pC-P~2D.2p-1

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据正态分布曲线的对称性求解.

【解答】解：因为XW(n，。2),。〉0且尸(X<u+。)=0,

所以尸(X2(1+0)=1-P，

所以P(XWu-0)=p(X2u+。)=1-p,

所以尸(H-O<X<N+o)=1-P(XWR-O)-P(X2H+O)=1-2(1-p)=2p-1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

5.(2025春•沙坪坝区校级月考)甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为()

1111

A.一B.—C.—D.——

6121836

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】先求出总事件数，再求出符合条件的事件数，最后利用古典概型概率公式求解概率即可.

【解答】解：因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有6X6=36种情况，

点数之和为4的有(1,3),(2,2),(3,1),共3种，

所以所求概率「=嘉=各

故选：B.

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

6.(2025春•深圳校级月考)若随机变量X的分布列如下：

X1234

p0.10.4a0.3

则P(|X-1|>1)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据题意，先求出。的值，而P(|X-1|>1)=P(X=3)+P(X=4),计算可得答案.

【解答】解：根据题意,由X的分布列，a=\-0.1-0.4-0.3=0.2；

P(|X-1|>1)=P(X=3)+P(X=4)=0.2+0.3=0.5.

故选：B.

【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题.

7.（2025•跳北区校级一模）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、

三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（）

1112

--C--

A.4B.32D.3

【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】A

【分析】利用条件概率公式求解.

【解答】解：设事件A表示“男生入选”，事件2表示“男生担任一辩”,

343，

则尸⑷=邑餐=3，p（AB）=a=1，

雇545

1

-1

5

所以尸（B|A）=今簿----

44

5-

故选：A.

【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

8.（2025•宝鸡校级模拟）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸

福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演

六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）

1317

A.-B.—C.—D.—

6201060

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】A

【分析】通过器乐在第三个位置或第四个位置或第五个位置或第六个位置演出，确定演出顺序总数，再

结合古典概型概率公式即可求解.

【解答】解：六个节目总的排序有M，

当器乐在第三个位置演出时，共有心“=12种不同的演出顺序，

当器乐在第四个位置演出时，共有用掰题=24种不同的演出顺序，

当器乐在第五个位置演出时，共有4心题=36种不同的演出顺序，

当器乐在第六个位置演出时，共有用心题=48种不同的演出顺序，

所以共有120种不同的演出顺序，

则根据古典概率公式可得，2=空=2

屋6

故选：A.

【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•潮阳区校级模拟)设离散型随机变量X的分布列为

X01234

Pm0.40.12m0.2

若离散型随机变量¥满足y=2X+l,则()

A.〃i=0.1B.P(X+y>7)=0.2

C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(K)=5,D(K)=8.2

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据分布列的性质列方程来求得相，根据概率、期望、方差的知识进行分析，从而确定正确答

案.

【解答】解：若离散型随机变量Y满足y=2X+l,

对于A,由分布列性质可得加+0.4+0.1+2租+0.2=1,所以"2=0.1,故A正确；

对于B,由X+y>7得3X+1>7,即X>2,

所以尸(X+F>7)=0.2+0.2=0.4,故B错误；

对于C,又E(X)=0X0.1+lX0.4+2X0.1+3X0.2+4X0,2=2,

D(X)=(0-2)2X0.1+(1-2)2X0.4+(2-2)2X0.1+(3-2)2X0.2+(4-2)2X0.2=1.8,故C

正确；

对于D,因为y=2X+l,所以E(y)=2E(X)+1=5,D(K)=4D(X)=7.2,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查分布列的性质以及离散型随机变量期望，方差等知识，属于中档题.

(多选)10.(2025春•深圳校级月考)蓝牙耳机是基于蓝牙技术的一种小型设备，只需要把这种轻巧的设

备藏在耳边而不需要直接使用通讯设备(手机、电脑等)就可以实现自由通话.蓝牙耳机就是将蓝牙技

术应用在免持耳机上，让使用者可以免除恼人电线的牵绊，自在地以各种方式轻松通话.自从蓝牙耳机

问世以来，一直是行动商务族提升效率的好工具.假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率

的信息如下：

品牌甲乙其他

市场占有率50%30%20%

优质率80%90%70%

在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用4,42,加分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌其他品牌，

B表示可买到的优质品，则下列说法正确的是()

A.P(AIUA3)=0.7B.P(BA3)=0.70

C.P(B)=0.81D.P=0.5

【考点】求解条件概率.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用互斥事件的概率加法公式与条件概率公式求解可判断每个选项的正误.

【解答】解：Ai，A2,①分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌其他品牌，8表示可买到的优质品，

则尸(Ai)=0.5,P(A2)=0.3,P(&)=0.2,

因为Ai与A?互斥，所以P(AIUA3)=0.5+0.2=0.7,故A正确；

P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=0.2X0.7=0.14,故2错误；

P(B)=P(Ai)P+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5X0.8+0.3X0.9+0.2X0.7=0.81,

故C正确；

P(A_P(AF)_P(4i)P(B|4i)_0,5X0.8_40物错误

故选：AC.

【点评】本题主要考查条件概率的求解，属于基础题.

(多选)11.(2025春•大连月考)已知随机事件A、2满足：P(A)=1，P(B)=|,则下列选项正确

的是()

A.若PQ4B)=/,则A与8相互独立

B.若A与8相互独立，则P(而)=卷

C.若A与2互斥，则「■)=，

——11

D.若「(4)「伊|4)=各则P(B⑶=(

【考点】求解条件概率；互斥事件的概率加法公式；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

【答案】ACD

【分析】由独立事件的乘法公式可得A正确，3错误；由互斥事件的加法公式可得C正确；由全概率

公式可得D正确.

【解答】解：随机事件48满足：P(A)=|,尸(B)=|,

PQ48)=：PQ4)P(B)=於看，故A与8相互独立，即A正确；

对于8,若A与8相互独立，则彳与互也相互独立，

则PQ4B)=1-PQ4B)=1-P⑷P(B)=1—2义高=会故B错误；

对于C,若A与B互斥，则P(AB)=0,

——1

P(8)=P(2B)+P(4B)=PQ4B)=不，故C正确；

对于D,由全概率公式可得P(B)=P(1)P(BW)+P(a)P(B|4),

1121

所以一=一+-P(B|4)nP(B|4)=-,故O正确.

61238

故选：ACD.

【点评】本题主要考查概率的求解，属于基础题.

(多选)12.(2025春•莱阳市校级月考)随机变量XMH2,o2),且尸(0(X42)+P(X》f)=0.5,随

机变量¥力(3p),0<p<l,若E(X)=E(K),则()

A.t=4B.P(24丫43)=|

i

C.p=jD.D(47)=4

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABC

【分析】根据正态分布的性质即可得.

【解答】解：对于A,：X<V(2,。2),则尸(0<X<2)+P(XW0)=0.5,

VP(XWO)=P(X>4),又尸(04X42)+P(X)。=0.5,

；，=4,故A正确；

对于c,,:E(X)=2,：.E(K)=E(X)=2,Vy-fi(4,p),

1

：.E(y)=4p=2,，P=W，故C正确；

对于B,•“〜B(4,.,.P(2<r<3)=C^(i)4+C3(i)4=|,故8正确；

11

对于D,VD(y)=4X^X(1-i)=I，：.D(47)=160(K)=16,故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025•河北区一模)第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此

次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某

商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：

盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖

从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，

9

则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为工；该顾客第一次抽奖没有中奖的

条件下，第二次抽奖中奖的概率为.

【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

92

【答案】—;二.

495

【分析】利用古典概型的概率公式和独立事件的概率公式求解第一空；利用条件概率公式求解第二空.

【解答】解：由题意可知，某顾客两次抽奖都中奖的概率为「=里4x奖葛，

C7C7

设事件A表示“顾客第一次抽奖没有中奖”，事件3表示“第二次抽奖中奖”，

则尸⑷=¥=：,P(AB)=.密L.绊焉

的egb3b

所以尸(印L)=?翳=常

即该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为g

、92

故答案为：—;7-

495

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题.

14.(2025春•莱阳市校级月考)排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在

21

甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为一，乙队获胜的概率为一，则在这场“五局三胜制”

33

17

的排球赛中乙队获胜的概率为K-

【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

17

【答案】Z7.

81

【分析】乙队获胜可分为乙队以3：。或3：1或3：2的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，由

互斥事件概率的加法公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，乙队获胜可分为乙队以3：。或3：1或3：2的比分获胜.

若乙队以3：0获胜，即乙队三场全胜，其概率为=(-)3=/，

若乙队以3:1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，其概率尸2=仁(1-|)(|)2x|=^,

乙队以3：2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，其概率尸3=4d-1)2(|)2x|=^-,

所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率尸=尸1+尸2+尸3=之+东+白=奈.

17

故答案为：—.

81

【点评】本题考查互斥事件的概率计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题.

15.(2025春•琼山区校级月考)“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：

①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；

②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有“

(〃23)人玩游戏.

1

若3人玩一轮游戏，平局的概率尸(3)=；若求〃(〃23)人玩一轮游戏，平局的概率P(«)

=1—2兀j.(结果用“表不)

石头剪刀布

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】①3②1-言.

J3

【分析】应用古典概型公式计算可得第一空；应用古典概型及对立事件概率公式计算可得第二空.

【解答】解：用坐标（x,y,Z）表示三人出的手势顺序，则三人所有可能手势情况有：

（布，布，布），（石头，石头，布），（石头，布，石头，），（布，石头，石头），

（石头，石头，剪刀），（石头，剪刀，石头，），（剪刀，石头，石头），（布，布，石头），

（石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头），

（布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀），

（布，石头，布），（石头，布，布），（剪刀，布，布），（布，剪刀，布），

（布，布，剪刀），（剪刀，剪刀，布），（剪刀，布，剪刀），（布，剪刀，剪刀），

（石头，剪刀，剪刀），（剪刀，石头，剪刀），（剪刀，剪刀，石头），共27种，

其中平局的情况有：

（石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头），

（布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀），

（布，布，布），共有9种，

所以平局的概率P⑶=3=寺；

由于平局的情况比较多，我们可以考虑〃（”23）人玩游戏分出胜负的概率Pi,

n_c|（ci+c„d----l-Cn1）

C3（Cn+ci+Cn+--+Cn-1+Cn-2）3（2n-2）_2n-2

=r=3n=尹’

其中此表示分出胜负的三种情况，

即〃人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，

而分出胜负与平局是对立事件，

故P=1-P]=l一爵.

故答案为：①孑；②1_jn-j.

【点评】本题考查古典概型及对立事件概率相关知识，属于中档题.

16.（2025•承德模拟）已知随机变量X服从正态分布N（5,o2）,且尸（X23）=3P（X27）,则P（5

1

<X<7）=-.

-4-

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】7-

4

【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.

【解答】解：根据题意，随机变量X服从正态分布N(5,。2),

11

设尸(5VX<7)=x,则P(X23)=寺+x,P(XN7)=尹％,

,,11

又由P(X23)=3P(X》7),贝耳+%=3(--%),

11

解得x=?即P(5<X<7)=?

,,­,1

故答案为：

4

【点评】本题考查正态分布的性质和应用，注意正态分布的对称性，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025•海南模拟)某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、

语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习

和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器

人的某个性能指数x(0<xW10)与孩子的喜爱程度y(OWyWl)进行统计调查，得到如下数据表：

X56789

y0.550.500.600.650.70

(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量x,y的相关系数r,回答是否可以认为该性能指数与孩子

的喜爱程度相关性很强.(当|r|e［0.75,1］时，x与y相关性很强)

(2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率

为90%,出错率为10%.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，

使用者满意的概率为30%.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的

概率是多少？

(3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对

题数不小于3,则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为pi，答对后两道题的概率均为P2.假设

每次答题相互独立，且互不影响.当Pi+P2=9时，求小李挑战成功的概率的最大值.

参考公式：相关系数r=『第1(一］)(先^^.

翻=1OF限1—)2

【考点】概率的应用.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】(1)r=0.9,可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强;

(2)0.72；

3

(3)—.

4

【分析】(1)根据公式求出r的值，进而判断即可；

(2)利用全概率公式和条件概率公式求解；

(3)利用独立事件的概率乘法公式，结合二次函数的性质求解.

5+6+7+S+9__0.55+0.50+0.60+0.65+0.70

【解答】解：(由表知，%==0.6,

1)--------5--------=7,y5

所以2乙®—为(%—>)=(-2)X(-0.05)+(-1)X(-0.1)+0X0+1X0.05+2X0.1=0.45,

因为2LXF=i(%-歹¥=0.025,

所以毙1®-x)2-Ef=i-y)2=0.25,

所以r=28丁)(%-歹)=黑=09

物=1谟1Oj-y)V0,25

因为|木[0.75,1],

所以可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强；

(2)记事件A：机器人正确执行命令，则事件加机器人执行命令出错；事件B：使用者对结果满意,

则互表示使用者不满意，

依题意：P(A)=0.9,P(X)=0.1,P(B|A)=1-0.8=02P(B\A)=1-0.3=0.7,

所以p(豆)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=0.9x0.2+0.1x0.7=0.25,

0.18

所以P(晌=需=「(%警-22^-0.72,

0.250^5

即如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率是0.72；

(3)设小李挑战成功为事件C,

22222-

则P(C)=Pip2+2px(l-Pi)p2+P1？2(1?2)=/?iP2[pip2+2(1-pi)P2+20(l-p2)1=P1P2

(2pi+2p2-3mp2),

由Pl+P2=5，得尸(C)=P1P2(3-3002)=3pip2(1-P1P2),

Q1

令％=P1P2=Pi(]-Pi),因为OWpiWl,OWpzWl,所以3WPiw1,

所以％eg，，

设/(x)=3x(1-x),

c1cq

则/(%)=3x(1—x)=-3%2+3%=-3(%—2+4，

13

当％=时，/(入)取得最大值：，

/4

所以，当P1=91或Pl=l时，小李挑战成功的概率取得最大值73

【点评】本题主要考查了相关系数的计算和性质，考查了全概率公式和条件概率公式的应用，属于中档

题.

18.(2025•二模拟)一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次

移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6,留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在

一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前

房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在。号房间，老鼠在1号房间.设在第〃分钟时，猫和老

鼠在0号房间的概率分别为p”，qn.

(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；

⑵求证：仇—务，(qn+lpn-$均为等比数列；

(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？

【考点】概率的应用.

【专题】应用题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】⑴0.5；

(2)证明见解析；

(3)第2分钟.

【分析】(1)求出猫和老鼠分别在。与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计

算得解.(2)根据给定条件，求出Pn.q”的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.(3)由(2)

的通项公式，按〃取奇数和偶数分类求出最大值.

【解答】解：(1)在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设加j为第1分钟时，猫在i号房

间，老鼠在/号房间，

则尸(to,o)=0.4X0.5=0.2,PGo,i)=04X0.5=0.2,P(fi，0)=0.6X0.5=0.3,P(h