2025年高考港澳台华侨生考试数学模拟试卷（含答案详解）

2025年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生考试

数学试题

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合/={-2,B={x\x2-x-2<0},则zn8=()

A.{-2,—1,0,1}B.{-1A1.2)C.{0,1}D.{-1,0}

2.已知复数z满足z(l+i)=3-3贝屹=()

A.1-2iB.1+2iC.2-21D.2+2i

3.已知向量五=(一6,2),b=(m,m+2),若五1另，则同=()

A.710B.3C.4D.2/5

4.已知点/(2,yo)(y()>0)在抛物线C:y2=2Px(p>0)上,厂是抛物线。的焦点.若|ZF|=4,则y°=()

A.4B.2C.8D.2A<2

5.已知函数/⑺=±一2"则/'(X)()

A.是偶函数，且在［0,+8)上是减函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在［0,+8)上是增函数D.是奇函数，且在R上是减函数

6.已知双曲线盘—3=l(a,b>0)的实轴与虚轴等长，则该双曲线的离心率为()

B.73C.2D.3

7,已知函数/'(%)=sin2x+或+1,若/'(a)=3,则/(-a)；=()

A.-2B.-1C.1D.2

8.若tan。=4,则:j―=()

1—sin20''

5335

A--3B-5C5D3

9.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为

()

1245

3-3-9-9-

10.下列函数中，以27r为最小正周期，且在区间G")上为增函数的是()

cosx

A.y=cos2%B.y=2|sinx|C.y=(1)D.y=cosx

11.已知等比数列｛an｝的前"项和为%,若工+°+且=7,a2=l，则53=()

0.2。3N

777

A-§ByC.-D,7

12.已知f(x)是定义在R上的函数，且有〃久+1)=f(x)+L当0<%Wl时，/(%)=3%+1,则方程

/(%)=4的根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

13.直线Z:x+y+2=0被圆。:x2+y2=4截得的弦AB的长为.

14.函数/(x)=J2-ln(l-久)的定义域为

15.球面上有不同的三点A、B、C,且4B=BC=AC=3,球心到A,B,C所在截面的距离为球半径的

一半，则球的表面积为.

16.不等式|x|<2x—1的解集为.

17.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为|;若乙执黑子先下，则乙胜的概率为《假定每局

之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙

各胜一局的概率为.

18.如图，在直三棱柱ABC-2/1G中，AC=AB=AA1,^BAC=120°,D,E,尸分别是棱/Q,BC,

AG的中点，则异面直线AO与EE所成角的余弦值为.

三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题15分)

在△力BC中，乙4为钝角，a=7,sin2B=y-bcosB.

⑴求乙4;

(2)若b=3,求△ABC的面积.

20.(本小题15分)

已知等差数列｛时｝的前"项和为Sn，且4s2=S4,a2n=2an+1,n6N*.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)设6n=(-1尸一】/^,求数列｛6n｝的前〃项和取.

Qy1an+1

21.(本小题15分)

已知函数/(久)=%2+(1—2a)x—alnx(aGR).

(1)当a=1时，求函数/(x)的单调递减区间；

(2)求函数f(x)在［1,2］上的最小值.

22.(本小题15分)

设椭圆C:^+'=l(a>6>0)的离心率为,且过点(手，回，右焦点为足

(1)求C的方程；

(2)若直线上％=my+4(m。0)与C交于不同的M,N两点，证明，直线尸M和尸N的倾斜角互补.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

求出集合8,利用交集定义能求出anB.

【解答】

解：•••集合4={-2,-1,0,1,2},

B={x\x2—x-2<0}—{x\—1<x<2],

■.AnB={0,1}.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

根据复数的运算法则直接计算求解即可.

【解答】

解：因为z(l+i)=3—i,

所以z=K=1-2i,

所以2=l+2i.

故选B.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了向量垂直关系和向量数量积的运算，属于基础题.

由向量垂直求出机得到方的坐标，然后计算其模长即可.

【解答】

解：向量五=(一6,2),b=(m,m+2),

因为41无所以—6zn+2(zn+2)=0,解得zn=1,

所以3=(1,3),所以同=

故选：A

4.【答案】A

【解析】【分析】

由抛物线的定义即可求解.

【解答】

解：根据抛物线的定义，得2+%4,解得p=4.

将点力(2,%))的坐标代入y2=Qx,得y()=4或一4(舍去)

故选:A

5.【答案】D

【解析】解：函数定义域为R

"—%)=3—2-=2*—%=—〃>),函数为奇函数，

设t=2x,t>0,该函数单调递增，函数y=；-t在(0,+8)上单调递减，

故函数/(久)=表-2,在R上是减函数.

故选。.

6.【答案】A

【解析】解：•••双曲线胃一，=1(。>0,6>0)的实轴与虚轴等长，

■■■a=b,

c2=a2+b2=2a2,

：

.e=-a-

故选4

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性应用，属基础题.

利用奇函数的性质来求值即可.

【解答】

1

解：因为/(a)=sin2a+京■+1=3,

所以/(一。)=sin(-2a)+(1户+1=—(sin2a+2+1)+2=—3+2=—1.

故选：B.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题.

利用二倍角公式及同角三角函数的关系式化简求值即可.

【解答】

解：tan。=4,

cos29cos20—sin20cos0+sin0-1+tan01+45

"1—sin20—(cos0—sin0)2—cos0—sin。1—tan0-1—4—3'

故选4

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果.

【解答】

解：从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),

(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),10种情况，

若这三个数之积为偶数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),

(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),9种情况，

它们之和不小于9共有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),5种情况,

从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，

则它们之和不小于9的概率为P=1

故选：D.

10.【答案】C

1

【解析】解：选项A,y-cos2x=-(1+cos2x),

最小正周期为兀，故A错误；

选项2,

由正弦函数图象可知，

最小正周期为2x午=兀，故B错误；

选项C,y=的最小正周期为2兀，且在区间兀)上为增函数，故C正确;

选项D,y=cosx最小正周期为2兀，在区间(5兀)上为减函数，故。错误.

故选C.

11.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查等比数列的性质及其前〃项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题.

根据题意可得上+工+工=膂+工=也型产=与=7,进一步结合=撷可求出S3.

口1a2a3a2a2L

【解答】

解：•.•｛时｝是等比数列，

ala3ala3'

.J_IJ_J_—。1+的iJ__a1+，2+-3_£3_7

a2a3帽a2帽aj

1

「a?=Q

7

4s3=7,即S3=

故选：B.

12.【答案】C

【解析】解：当0<xWl时，f(x)=3x+1,

易知此时f(x)单调递增，且f(x)值域为(1,4],

故/(久)=4有唯一解1；

已知〃久)是定义在R上的函数，且有f(x+1)=/(x)+1,

故%<0时，/(久)的值域U(-8,3])(久)=4无解;

1<x<2时，/(x)=/(x—1)+1=3(%—1)+1+1=3x—1,

其单调递增，值域为(2,5],故f(x)=4有唯一解右

2<%<3时，/(%-1)+1=f(%-2)+2=3(%-2)+1+2=3%-3,

其单调递增，值域为(3,6],故/(%)=4有唯一解(；

可得%>3时，/(%)的值域G(4,+8),故/(%)=4无解；

综上所述，/(%)=4的根的个数为3.

故选C.

13.【答案】2/2

【解析】解：根据题意，可求得圆心到直线x+y=2的距离，即弦心距为黑=，！，

圆/+*=4的半径为2,

所以半弦长为互，

贝。弦A8的长为

故答案为：2/1.

14.【答案】［l—e2,l)

【解析】解:由题要使得f(x)有意义，

则忆吧二)2。,

故x>1—e2且无<1,

从而/(久)的定义域为［1-e2,1).

故答案为：［1—e2,l).

15.【答案】167r

【解析】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆。',

设截面圆。,的半径为厂，由正弦定理可得2.焉，解得r=C，

设球0的半径为R,•••球心0到平面ABC的距离等于球0半径的一半，

•••由勾股定理可得厂2+(今2=R2,解得R2=92=4,

二球0的表面积S=4TTR2=16TT,

故答案为：16兀.

16.【答案】{x|x>1}

{K>1,

【解析】解：|x|<2x—1Q-(2x-1)<x<2x-1且2x—1>0Q(龙>百今”>1，

Ul

所以不等式田<2x—1的解集为{x|x>1}.

故答案为；{%|X>1}

17.【答案】|

【解析】【分析】

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.

【解答】

解：依题意，甲乙各胜一局有两种情况，

第一种：第一局甲胜，第二局乙胜，

甲胜第一局的概率为主第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为今

因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为Pl=|xg=/;

第二种：第一局乙胜，第二局甲胜：

乙胜第一局的概率为主第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为|,

因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为P2=gx|=£,

所以甲、乙各胜一局的概率为

故答案为：

18.【答案】5

【解析】解：把直三棱柱力BC-Ai/G补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示:

因为。M=AE,且

所以四边形ADWE为平行四边形，所以力

所以异面直线AD与E尸所成的角为NFEM或其补角，

不妨设AC=AB=AAt=a,

因为乙^4C=120。，所以乙4BN=60。，所以△ABN为等边三角形,

11

所以AN=a,EN=^AN=^a,

所以ME=7MN2+EN2=Ia2+(ja)2=^a>

因为△&MC1为边长为。的等边三角形，所以FM=2^a，

又因为EF=Ja2+0。）2=年。'

所以在AEFM中，由余弦定理可得，COSNFEM=空把"三史=工，

2EFXEM10

即异面直线A。与所成角的余弦值为

故答案为：5

19.【答案】解：⑴由题意得2sin8cos8=芋6cos8,因为乙4为钝角，

得cosB*0,则2sin8=~b,

由TF弦定理，一=-M—=—=—=—

sinXsinB寸sinB夕sinXsin/

7

解得Sina=亨，

因为乙4为钝角，则力=等

（2）当b=3时，由余弦定理M=庐+_2bccosA,

得49=9+c2-6ccosy,即c2+3c-40=0,解得c=5（负值舍去）,

贝！JSAABC=j^csinX=1x5x3x^=

ZZZ4

【解析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得4=竽；

（2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积.

20.【答案】解：（1）设等差数列｛%｝的首项为的，公差为d.

因为4s2=S4,a2n=2an+1,

4al+6d=4（2。]+d）

+（2n-l）d=2[%+（ji-l）d]+1'

化简得色=24[所以的=1,d=2,

所以数列｛a“｝的通项公式为厮=2几—1；

0bL（T尸二=d•西翁西=（-1尸・（++焉），

1111

Gn1

则数列｛%｝的前W项和加3-D7-+1

271

1+同，门为奇数

整理得7；=｛

1-士中为偶数

【解析】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、数列的裂项相消求和，属于中档题.

(1)由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，可得所求；

(2)求得加=(-1)叱1•(++焉)，由数列的裂项相消求和，可得所求和.

21.【答案】解：⑴当a=1时，/(%)=%2-%-Inx,该函数的定义域为(0,+oo),

则/0)=2%-1-1=(2x+?d),由?<0得。<X<1,

所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,1).

(2)r(x)=2x+(l-2a)-^==(2x+?(x-a),其中1三久《2,

当a工1口寸，对任意的xG［1,2］,/'(%)>0,/(%)在［1,2］上单调递增，

此时,/(x)mill=/(I)=2-2a；

当aZ2时，对任意的xe［1,2］,/'(%)<0,/(%)在［1,2］上单调递减，

此时，/(%)min=/(2)=4+2(1—2d)-a\n2=6—4a—aln2；

当1<。<2时，令/'(%)=0,可得x=a,列表如下：

X[1,a)a(a,2]

f'M-0+

f(x)极小值/

所以，函数/(%)在［1,。］上单调递减，在口2］上单调递增,

22

此时，/(x)min=a+a(l—2a)—alna=a—a—alna.

2—2a