2025年高考数学压轴小题全面归纳与解析（9大题型）（讲义）原卷版+解析

压轴小题全面归纳与解析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破............................................................6

题型一：集合新定义6

题型二：函数与导数新定义7

题型三：立体几何新定义8

题型四：三角函数新定义10

题型五：平面向量与解三角形新定义12

题型六：数列新定义13

题型七：圆锥曲线新定义14

题型八：概率与统计新定义16

重难点突破：高等数学背景下新定义17

差情;奏汨•日标旦祐

创新意识与创新应用是当下时代的重要主题，也是高中数学教学和学习过程中应当持续融入与培育的

基本精神和能力。通过引入“新定义”，我们能够巧妙地促进数学知识中概念的类比理解、公式的创新设立、

性质的灵活应用以及知识的拓展与创新实践等方面的融合与交汇，从而有效融入创新意识与创新应用的培

养。

“新定义”型问题，具体指的是那些在问题中提出了高中数学课程中未曾涉及的一些新概念、新运算方

法或新符号，要求学生能够准确理解题意，并结合自身已有的知识和能力，根据这些新定义进行相应的运

算、逻辑推理以及知识迁移的一类题型。换言之，这类问题要求学生具备根据新定义进行思维拓展和问题

解决的能力。

考点要求目标要求考题统计考情分析

对于2025年新高考试

卷中的新定义问题，预测

其将继续考察学生的创新

思维与知识应用能力。题

掌握新定义，运用2024年I卷第11题，6分

圆锥曲线新定义目可能会引入新的数学概

性质解题

念、运算或符号，要求学

生理解并运用这些新定义

进行推理和解答，以检验

其综合数学素养。

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、代数型新定义问题的主要考察方式：

（1）新定义的概念考查；

（2）新定义的运算方式考查；

（3）新定义的规则应用考查。

2、解决“新定义”问题的策略：

解决这类问题时，核心在于准确捕捉新定义中的关键信息，如新概念、新公式、新性质等，并明确其

名称、符号及法则。接着，将这些信息与已有知识点进行对比，找出相似之处和差异点，从而确定解题思

路。最后，运用相关数学技巧和方法进行分析求解，并合理归纳结果。

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设计一条美丽的丝带，其造型匕可以看作图中的曲线C的

一部分.已知C过坐标原点。.且C上的点满足:横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的

距离之积为4,则()

A.a=—2B.点(20,0)在C上

4

c.c在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(%,%)在c上时，r

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：集合新定义

【典例1-1】已知集合乂={1,2,3},匕={1,2,3,,»},(neN+),设S“={(a,6)|a整除砥妨整除a,。eX,6e匕},

令/⑺表示集合S”所含元素的个数，则”2024)=.

【典例1-2】已知有限集合4={q,%,%,,%},定义集合8={4+%|14</"7,仃©此}中的元素的个数

为集合A的“容量”，记为L(A).若集合A={xeN+|lWxV3},贝|L(A)=；若集合A={xeN+|lVxV〃},

且L(A)=4047,则正整数n的值是.

【变式1-1]设P,。为两个非空实数集合，定义集合A={a+8若尸={0,1,2},。={1,2,3},

则集合A的子集的个数为.

【变式1-2]定义集合的商集运算为=kb=已知集合4={2,4},8=卜犬=：-1,左€4]

则集合夫2的真子集个数是--

1.若平面点集M满足：任意点(x,,存在te(0,+oo),都有则称该点集M是f阶聚合点

集.

①若M={(x,y)|x»y},则朋■是3阶聚合点集

②存在加对任意正数/,使"不是邛介聚合点集

'r211

③若M=(x,y)1+/=：!,则〃不是:阶聚合点集

④“e[1,+W”是“M={(x,y)，2尤}是/阶聚合点集”的充要条件

其中所有正确结论的序号是.

题型二：函数与导数新定义

【典例2-1]定理：如果函数“X）及g（x）满足：①图象在闭区间可上连续不断；②在开区间（a,6）内可

导；③对Vx«a2）,g'（x）wo,那么在（〃力）内至少有一点C,满足，〉＜二—K成立，该定理称为

g[b}-g[a}g（c）

丫2A

柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知/⑺=,，若存在正数。，瓦4H。），满足〃6）=Xln,+

/（«）,则实数％的取值范围为（）

■3211r82

A.T^—B.T^—

_eejLee_

411「42一

C.—^厂D.^厂

eejee_

【典例2-2】英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法一牛顿迭代法，做法如下：如图，

设「是〃x）=0的根，选取/作为r的初始近似值，过点（为"国））作曲线y=〃x）的切线

l：y-f（x0）=/'（陶（尤—X。），则/与X轴的交点的横坐标玉=%-等工（f（％）*0），称4是r的第一次近

似值；过点（%/（占））作曲线丁=/（力的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为X2,称尤2是厂的第二次近

似值；重复以上过程，得厂的近似值序列，其中当包=%一坐4（尸伍）W。），称x用是r的〃+1次近似值,

J\Xn）

这种求方程/（力=0近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程炉=3的近似解，则下列正确的是

A.若取初始近似值为1,则过点（L/⑴）作曲线y=/（x）的切线y=2尤-3

B.若取初始近似值为1,则该方程解的第二次近似值为（7

r/（x。）|/（一）/（%2）

l。一个）广⑺广㈤

n/（%o）/（%）/（%2）/（%〃）

■向一°f,M/'（%）-⑷尸（x“）

【变式2-1］函数y=fcr+6,其中左，耳左中0）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于

非线性可导函数/（元），在点与附近一点x的函数值/'（X）,可以用如下方法求其近似代替值：

〃尤卜/（5）+/'（无o）（x—%）.利用这一方法，机=«3位的近似代替值（）

A.一定大于优B.一定小于机

C.等于7〃D.与机的大小关系不确定

【变式2-2］对于三次函数〃力=加+芯+M+d（aHO）,现给出定义：设/'⑺是函数〃力的导数，/⑴

是/'（X）的导数，若方程/（力=0有实数解与,则称点（%,〃％））为函数/（力=加+加+cx+d（awO）的

“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称

中心，设函数g（x）=d_3f+2x+3,则函数的对称中心为（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（2,2）D.（2,3）

1.计算器计算Inx,sinx,cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒

展开式”的内容为：如果函数“X）在含有乙的某个开区间（。力）内可以进行多次求导数运算，则当"修时，

有〃x）=♦］。）（彳_%）+/［。，（工―%）。/、）@_0丫+…,其中/'（X）是/（无）的导数,

广⑺是广㈤的导数，尸（X）是尸⑺的导数，….取尤。=0,则sinl精确到0.01的近似值为（）

A.0.82B.0.84C.0.86D.0.88

题型三：立体几何新定义

【典例3-1】刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率

等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正

四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为则其各个顶点的曲率均为2Tl-3'鼻=兀.若正四棱锥

S-ABCD的侧面与底面所成角的正切值为及，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为（）

一4兀一5兀-2兀

A.兀B.——C.——D.——

363

【典例3-2】给定两个不共线的空间向量d与。，定义叉乘运算ax6，规定：①axb为同时与垂直的

向量；②。也46三个向量构成右手系（如图1）;③I"切=何卜卜出〈扇万〉.如图2,在长方体中

ABCO-ABiGR中，43=40=2,44=4,则下列说法中错误的是（）

a

ABxAD=AAi

ABxAD=ADxAB

（A5+A£））xM=ABxAAi+ADxAAi

=（ABxA£＞）.CC]

tCD—AB1c

【变式3-1]在空间直角坐标系。肛z中，定义：经过点尸（%,为〜）且一个方向向量为〃2=（4,6©（4次?中0）的

直线I的方程为与血=上消=宁，经过点P（x0,y0,z0）且法向量为n=（九〃,。）的平面的方程为

2"-/）+〃。一％）+0（2-20）=0.已知在空间直角坐标系。肛2中，经过点P（2,2,0）的直线/的方程为

2-尤=]-1=:,经过点P的平面a的方程为2x+y+2z-6=0,则直线/与平面a所成角的正弦值为（）

1.在《线性代数》中定义：对于一组向量％,%,4存在一组不全为0的实数%,瓦，…除使得:

匕必+七口2++发怎=0成立，那么则称内,«2,,图线性相关，只有当《=自=幻=。时，才能使

匕&]+左2a2++%“a”=0成立，那么就称％,%,%线性无关.若｛%,4,%｝为一组不共面的空间向量,

则以下向量组线性无关的是（）

A.戊1+戊2，戊1+。2+戊3，a3B.%,%+%,%—%

C.%,a1+a2,ax-a2D.ax+a2,al-a2,a3

题型四：三角函数新定义

【典例T点”将一条线段.分为两段加"若紫异铝，则称点M为线段钻的黄

金分割点.已知直线y=a(T<a<l)与函数y=sin(Ox+e)的图象相交，A,8,C为相邻的三个交点，则()

A.当。=0时，存在。使点B为线段AC的黄金分割点

B.对于给定的常数。，不存在。使点B为线段AC的黄金分割点

C.对于任意的“，存在。使点B为线段AC的黄金分割点

D.对于任意的。，存在。使点B为线段AC的黄金分割点

【典例4-2】古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函

数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot，=，，正割函数sec，=」，余割函数

csc0=—^--,正矢函数versine=l-cos。，余矢函数"夕8$6=1-5111。.如图角。始边为犬轴的非负半轴，

sin，

其终边与单位圆交点尸，A、3分别是单位圆与元轴和〉轴正半轴的交点，过点P作尸M垂直％轴，作尸N垂

直y轴，垂足分别为M、N,过点A作九轴的垂线，过点3作〉轴的垂线分别交。的终边于T、S,其中40、

PS、BS、N5为有向线段，下列表示正确的是()

A.versin3=AMB.esc3=PS

C.cot0-BSD.sec9=NB

【变式44】一般地，任意给定一个角IGR,它的终边OP与单位圆的交点月的坐标，无论是横坐标％还是

纵坐标y,都是唯一确定的,所以点p的横坐标冗、纵坐标y都是关于角a的函数.下面给出这些函数的定义：

①把点尸的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sin。，即sina=y；

②把点尸的横坐标工叫作。的余弦函数，记作cosa,即cosa=x；

③把点P的纵坐标y的倒数叫作a的余割函数，记作csca,即csca=；；

④把点P的横坐标x的倒数叫作a的正割函数，记作seca,即seca=^.

X

下列结论错误的是()

A.sincr-csca=1

c271c

B.sec——=一2

3

C.函数/（x）=secx的定义域为左eZ}

D.sec2a+sin2a+esc2a+cos2a>5

【变式4-2】由倍角公式cos2尤=2COS2X-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x,我们

有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2无一l）cos龙一2sinxcos尤sin尤=4COS3X-3COSX,可见

cos3x也可以表示为cosx的三次多项式.一般地，存在一个〃次多项式月⑺，使得cosnr=E,(cos尤)，这些

多项式E,⑺称为切比雪夫(PLTschebyschelf)多项式.(提示：18。、3=90。-18。、2)如图，在等腰VABC中,

已知44C=54。，AB^AC,且VA2C的外接圆半径OC=1,结合上述知识，可得3C=()

Q布+1

D,

044

1.正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念是由伊朗数学家阿布尔・威发首先引入的.定义正割

11(左兀

seca=-------,余割csca=^—.已知〃［为正实数，且根-esc?x+tai?15对任意的实数8xw工,左eZ

cosasma\2

均成立，则机的最小值为()

A.1B.4C.8D.9

题型五：平面向量与解三角形新定义

LlULrUUUI

【典例5-1】在平面直角坐标系中，向量Q4=〃=(%,%),05=1=(%2,%)，若〃，/?不共线，记以。4,

05为邻边的平行四边形的面积3(5,-.已知OA/=m,ON=n,OP=p=Am+/Lm，

(Z〃CRI+〃2N。)，则S%磊，方］()

14〃I

A.|2+〃|B.|X〃|C.m+lAlD.―――-

【典例5-2】已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转6角得到向量

AP=(xcos。-ysin0,xsin0+ycosO),叫做把点8绕点A沿逆时针方向旋转6角得到点尸.已知平面内点

A(l,2),B(1+72,2-2A/2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转!■后得到点尸，则尸的坐标为()

A.(0,-1)B.(2,5)C.(4,1)D.(3,-1)

【变式5-1］几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外

接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在VABC中，已知A=90。，AC=2尽

BC=4出,现以边AB，BC,CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为。，E,F,则。£的长为

()

A.4应B.2出C.3A/3D.2逐

【变式5-2】克罗狄斯・托勒密(约90-168年)是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是

欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，

2兀

当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,ZADC=—,

则3。的最大值为()

A.5B.3A/2C.276D.2币

1.已知对任意平面向量A5=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量

AP=(xcosO-ysin^xsin0+ycos0),叫做点B绕点A沿逆时针方向旋转6角得到点P.已知平面内点A(0,l),

点3(0』-26)，把点8绕点A沿顺时针方向旋转^■后得到点尸，则点尸的坐标为()

A.(―3,—1)B.(-3,0)C.(-1,-2)D.(-1,-3)

题型六：数列新定义

【典例6-1】斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列｛%｝满

足《1=。2=1，an=an-\+an-2(〃23,〃CN*).给出下列四个结论：

a

①存在meN*,使得4”，m+i>。,*+2成等差数列；

a

②存在小wN*，使得a,”，m+i,。叫+2成等比数列；

③存在常数r,使得对任意〃eN*,都有。“，%+2，%+4成等差数列；

④不存在正整数£弧…，34使得4+%+•+”=2023.

其中所有正确结论的序号是.

m1+a

【典例6-2］设数列｛%｝和低｝的项数均为m,称£|q-用为数列｛4｝和低｝的距离.记满足。用=「的

1a

1=1n

所有数列｛%｝构成的集合为c.已知数列｛4｝和｛4,｝为集合c中的两个元素，项数均为祖，给出下列四个

结论：

①数列1,3,5,7和数歹1J2,4,6,8的距离为4

②若m=4P(peN)则AA-A=

③若zn=4p(p£N)则£1A.\<m

i=\

④若A=2出=3,数列｛4｝和｛凡｝的距离不超过2025,则m的最大值为3470.

其中，所有正确结论的序号是

【变式6-1］对于给定的数列｛4｝,如果存在实数0、q,使得。用=。%+4对任意weN*成立，我们称数列

｛4｝是“线性数列”，数列｛1｝满足9=1，q用=c,+d(〃eN*),则给出下列四个结论：

①等差数列是“线性数列”；

②等比数列是“线性数列”；

③若也｝是等差数列，则｛%｝是“线性数列”；

④若也｝是等比数列，则匕,｝是“线性数列”.

其中正确的结论是.

【变式6-2】在一组互不相同的有序数组｛1,%，/，4｝（〃22,〃eN*）中定义：在4aLI,2,3,㈤的右边比

其大的数的个数称为由的“顺序数”，在4的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”.我们把有序数组

｛4%%，叫的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为T,.

①有序数组｛2,4,1,3,5｝的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和4=.

_1111

⑸一+一+―++---=

1TT1T1T-------------------■

23472025

1.在数列｛。“｝中，若存在两个连续的三项弓，aM,62与勺，勺+2相同（，*/）,则称｛%｝是“3阶可

重复数列”.已知给定项数为机（租eN,加24）的数列｛%｝,其中a,e｛0,l｝（i=l,2,，㈤一定是“3阶可重复

数列”，则〃2的最小值是.

题型七：圆锥曲线新定义

【典例7-1】阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其

弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形A3c的顶点C在抛物线上，且在

过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的现已知直线y=-x+：p与抛物线E：

9=2。%（。＞0）交于48两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为/,线段AB的中点为D,直线

DC〃彳轴所在的直线交E于点C,下列说法错误的是（）

A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6

B.切线/的方程为2x-2y+p=0

C.若•4=Swc（〃©N*）,则弦A3对应的抛物线弓形面积大于A+&+…+4T+g4（〃22）

D.若分别取AC,5c的中点匕匕，过几%且垂直＞轴的直线分别交E于C，C2,贝U

Q+V-J_V

U

°△ACC]丁ABCC2-4

mn

【典例7・2】曲线C：x+y=lf其中机，〃均为正数，则下列命题簿送的是（）

A.当根=3,几=1时，曲线。关于（0,1）中心对称

11

B.当根==，〃=大时，曲线。是轴对称图形

C.当机=4,〃=2时，曲线C所围成的面积小于兀

D.当机=3,〃=2时，曲线。上的点与（0,0）距离的最小值等于1

【变式7・1】定义：若直线/将多边形分为两部分，且使得多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，

22

则称/为多边形的一条“等线”.已知双曲线C：A-与=1（a,b为常数）和其左右焦点耳与，尸为C上的

ab

一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A,B,已知四边形4片2鸟与三角形尸耳区有相同的“等线”

I.则对于下列四个结论：

①照=附；

②等线/必过多边形的重心；

③/始终与与-孚=1相切；

ab

④/的斜率为定值且与a,b有关.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【变式7-2］（多选题）已知点P到点（L0）的距离与点P到y轴的距离的差为定值机，记动点P的轨迹为曲

线C,则（）

A.当加=1时，C由抛物线和x轴的负半轴构成

B.当机＞1时，C关于原点中心对称

C.当机＞1时，C为轴对称图形

D.当机＜-1时，C是由两部分抛物线构成的封闭图形

1.（多选题）我们把形如日"+EJ=l（a,6,〃eR*）的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•

拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的.下列说法正确的是（）

A.若〃=1,则拉梅曲线2*+国'=1围成的封闭区域的面积为4"

a\b\

n

若力=g,则拉梅曲线x

B+2=1围成的封闭区域的面积小于（4-兀）储

aa

C.若拉梅曲线2+）=1与曲线I孙1=1恰有4个公共点，贝5=log°2

aa

D.若*%%）为拉梅曲线2"+口「=1上第一象限内一点，则民yj4空

a\b\4

题型八：概率与统计新定义

【典例8-1］（多选题）为了估计一批产品的不合格品率P,现从这批产品中随机抽取一个样本容量为〃的

）1AK

:八［"=1，2,于是P（「=l）=p，P（4；=O）=1-P,z=l,2,,n,记

0,第Z次合格

Z（P）=P&=再，2=々,…&=x0）（其中%=0或1,，=1,2,,〃），称〃P）表示。为参数的似然函数.极大似然

估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若

干个可能的结果4B,C,若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即

A出现的概率很大.极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数

未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大.根据

以上原理，下面说法正确的是（）

A.有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽

取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的

B.一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼

的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的

c£或“S*

■L（p）=pM（1-p）-（玉=0或1,，=1,2,,〃）

D.Z（P）达到极大值时，参数P的极大似然估计值为工之占

【典例8-21条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的

应用到日常生产生活中.定义：设x,y是离散型随机变量，则x在给定事件y=y条件下的期望为

E（X|y=y）=tkP（X=xi\Y=y）=,其中｛%,Z,…，5｝为X的所有可能取值集合,

Z=1Z=1

P（X=X,y=y）表示事件“X=X”与事件“y=y”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500

元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为。（0＜。＜1）,某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖

机会.设4表示第一次抽中奖品时的抽取次数，〃表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则E（4〃=4）=.

【变式8-1］在“维空间中（”22,neN）,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为〃维坐标

（%,%,,an）,其中4€{0,1}。口＜”,他川.则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在"维空间中两点

（%,%,，见）与（4也，也）的曼哈顿距离为4|+|%-伪|++|%-々|.在5维”立方依，的顶点中任取两

个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E（x）=.

【变式8-2】马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是…，

X_2，XT，X”X,M，…，那么X,M时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,,即

P（X,"…,号2，叫“笈）=「（%」尾）.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一

个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%,每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以

为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000

金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.

1.产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，在产品中随机抽"件做检

查，发现左件不合格品的概率为P（乂=人）=年近欢="+1,…,s,其中s是M与”中的较小者，『在"不

大于合格品数（即时取0,否则f取〃与合格品数之差，即/=根据以上定义及分布

列性质，请计算当N=16,M=8时，C；C；+C；C；+C；C；+C；C；+C；C；=—；若N=2n,M=n,请计算

c；c；+c：C+c：c：+,+c：-2c：-1+c：-1c;;=—.（用组合数表示）

重难点突破：高等数学背景下新定义

【典例9-1】（多选题）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起

源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G是一个非

空集合，是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G对"”构成一个群：（1）封

闭性，即若a,6eG,则存在唯一确定的ceG,使得c=。b；⑵结合律成立，即对G中任意元素。力,c都

有（ab）c=a（bc）；（3）单位元存在，即存在eeG,对任意aeG,满足ae=ea=a,则e称为单位

元；（4）逆元存在，即任意aeG,存在6eG,使得。b=ba=e,则称。与6互为逆元，b记作一般

地，a6可简记作曲。。可简记作Yd.a可简记作疗，以此类推.正八边形ABCDEFG〃的中心为。.以e

TT

表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以「表示以点。为中心，将正八边形逆时针旋转二的旋转变换；

以7”表示以。4所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即/g表示将正

八边形先进行g变换再进行了变换的变换.以形如"w/（p,qeN,并规定r°="?°=e）的变换为元素，可组成

集合G,则G对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作鼻.则以下关于&及其元素的说

法中，正确的有（）

22

A.mre£>8,且mr—r'm

B.丁3加与「5相互为逆兀

c.4中有无穷多个元素

D.2中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身

“11吗2Mlm

。21'&222nl

【典例9・2】（多选题）A=%,。32，%n是由於加个数与（复数或实数）排列成〃行相列的长方阵，简

_anVan2^anm_

称〃x机矩阵，记作：4曲，这机个数称为矩阵A的元素，简称为元，数%•位于矩阵A的第i行第j歹U，

称为矩阵A的亿/）元.两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能定义（做

乘法），如A是"xm矩阵，B是mxp矩阵，记为AB=C,它们的乘积C是一个"X。矩阵，它的任意一个元

素值为：%=岫j+%2b2j++生力时=工。也,则下列选项中正确的是（）

r=l

120221210

A.B.[2-1]=[2-1]

431532301

C.矩阵的乘法满足交换律Afi=54D.矩阵的乘法满足结合律（A5）C=A（BC）

【变式9-1］（多选题）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式,

下面给出两个泰勒展开式

ex=l+x+—+—+—+L+—+L

2!3!4!n\

2〃一1

.XXX/nn+1

smx=x------1------------I-L+-1（2H-1）!+L

3!5!7!v7

由此可以判断下列各式正确的是（）.

A.=cosx+isinx（，是虚数单位）B.eu=—i（i是虚数单位）

C.2"2l+xln2+（'I""（-NO）D.cosx<1——-+——（xG（0,1））

2，

【变式9-2］（多选题）在平面直角坐标系中，定义〃（4,5）=!11^｛归-引,|"-为|｝为两点4（%%），8（工2，%）

的“切比雪夫距离”,又设点P及直线I上任意一点。，称d（P,Q）的最小值为点P到直线I的“切比雪夫距离”,

记作d（尸,/）,则下列命题中正确的是（）

A.加-《1，N-$一1,7

则d（M,N）=z

66

B.。为坐标原点，动点H满足d（QR）=l,则H的轨迹为圆

C.对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）Nd（A5）

D.已知点尸（1,3）和直线/：x-2y+l=0,则d（P,/）=g

1.（多选题）由倍角公式cos2x=2cos2x-l,可知cos2x可以表示为cos%的二次多项式.一般地，存在一

nn2

个〃（〃EN*）次多项式匕（1）=aQt+印〃T+a2t~+…+q（%Mi,出…耳£R），使得cos%=尺（cos%）,这些多

项式勺⑺称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）

A.6（，）=-4r+3，B.心（，）=1615—20户+5%

C.sinl80=叵1D.cosl80=叵r

44

压轴小题全面归纳与解析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破............................................................6

题型一：集合新定义6

题型二：函数与导数新定义7

题型三：立体几何新定义8

题型四：三角函数新定义10

题型五：平面向量与解三角形新定义12

题型六：数列新定义13

题型七：圆锥曲线新定义14

题型八：概率与统计新定义16

重难点突破：高等数学背景下新定义17

创新意识与创新应用是当下时代的重要主题，也是高中数学教学和学习过程中应当持续融入与培育的

基本精神和能力。通过引入“新定义”，我们能够巧妙地促进数学知识中概念的类比理解、公式的创新设立、

性质的灵活应用以及知识的拓展与创新实践等方面的融合与交汇，从而有效融入创新意识与创新应用的培

养。

“新定义”型问题，具体指的是那些在问题中提出了高中数学课程中未曾涉及的一些新概念、新运算方

法或新符号，要求学生能够准确理解题意，并结合自身已有的知识和能力，根据这些新定义进行相应的运

算、逻辑推理以及知识迁移的一类题型。换言之，这类问题要求学生具备根据新定义进行思维拓展和问题

解决的能力。

考点要求目标要求