2025年高考数学专项复习：用样本估计总体数字特征

专题9.2用样本估计总体数字特征

【知识梳理】...................................................................................1

【考点1：众数、中位数、平均数】..............................................................3

【考点2：标准差、方差】.......................................................................5

【考点3：频率分布直方图1........................................................................................................10

【考点4：百分位数】..........................................................................14

【考点5：利用样本的数字特征解决优化决策问题】...............................................18

【知识梳理】

1、众数、中位数、平均数:

数字

定义与求法优点与缺点

特征

众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值

一组数据中重复出现次数最多

众数的影响.但显然它对其他数据信息的忽视使得无

的数

法客观地反映总体特征

把一组数据按从小到大的顺序中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个

中位

排列，处在中间位置的一个数据极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对

数

(或两个数据的平均数)极端值的不敏感有时也会成为缺点

如果有〃个数据制，%2,…，&，平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多

平均那么这〃个数的平均数三=的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中

数的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可

xi+xzH----

n靠性降低

2、标准差、方差

①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s=

—X2X)2H-----F(X„—X)2].

)+(X2-

2

②方差：标准差的平方s2=%(xi—尤＞+(无2—尤----l-(xn—x)],其中为(i=l,2,3,…，w)是样本数据,

〃是样本容量，》是样本平均数.

③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算,

夸大了样本的偏差程度.

④若数据羽，尤2，…，尤”的平均数为尤，方差为S2,则数据mxi+a,mxz+a，…，加招十。的平均数为

mx~\-a,方差为nt2s

3、频率分布直方图：

1.绘制频率分布直方图时需注意的两点

(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确;

(2)频率分布直方图的纵坐标是频率端，而不是频率.

2.与频率分布直方图计算有关的两个关系式

(1)篇频率X组距=频率；

(2)至频篇数量=频率,此关系式的变形为频第数=样本容量，样本容量X频率=频数.

频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底

边中点的横坐标之和.

4、百分位数：

(1)一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的

任意一个数小于或等于它的可能性是P.

(2)25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总

体数据分成了4个部分,在这4个部分取值的可能性都是;.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数.

其他常用的百分位数有1%,5%,10%,90%,95%,99%.

(3)总体的p分位数通常是未知的,人们用样本的p分位数来估计它,样本容量越大，估计越准确.

［方法技巧］

计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:

第一步,按照从小到大排列原始数据；

第二步，计算i=np；

第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数，

则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

5、利用样本的数字特征解决优化决策问题：

(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、

方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

【考点1:众数、中位数、平均数】

【知识点：众数、中位数、平均数】

1.(2025高三•全国•专题练习)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：

甲：78109886

乙：91078778

则下列判断正确的是()

A.甲射击的平均成绩比乙好

B.乙射击的平均成绩比甲好

C.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数

D.甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数

【答案】D

【分析】利用平均数、众数、中位数的定义分别求出甲乙两人射击环数的平均数、众数、中位数，然后比

大小即可.

【详解】由题意得，甲射击的平均成绩为辱=7+8+10+；+8+8+6=8,众数为8,中位数为8；

乙射击的平均成绩为了乙=9+1。+7+；+7+7+8=8,众数为7,中位数为8；

故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，故AB错误；

甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误；

甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故D正确；

故选：D.

2.(24-25高二上•天津红桥,期末)从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为

68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为。,瓦。，则()

A.a-b<cB.a<b-c

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】C

【分析】根据平均数公式求出平均数根据中位数和众数定义，找到万和。，从而可以比较大小

【详解】平均数“=^(68+81+79+81+90+86+74+84+69+78)=79,

数据从小到大排列为：68,69,74,78,79,81,81,84,86,90,第五个数为79,第六个数为81,所以中位数

^=1(79+81)=80,

出现次数最多的是众数，所以众数c=81,

所以a<6<c.

故选：C.

3.（2025高三•全国•专题练习）有一组数据24,29,X,25,22,x+1,20,24,28,25.若该组数据的

中位数与众数相等，则平均数为（）

A.24.4B.25.8C.24.4或25.8D.24.4或24.8

【答案】D

【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出x=23,则平均数应用

定义即可计算.

【详解】将已知数据从小到大排列为20,22,24,24,25,25,28,29.

因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个.

因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的.

又该组数据中除24,25外其他数据均只出现一次，且x与X+1不可能相等，故众数只能是24和25中的一

个.

若中位数与众数均为24,则x+l=24,x=23,此时平均数为

1

——X(20+22+23+24+24+24+25+25+28+29)=24.4

10

若中位数与众数均为25,则x=25,

止匕时平均数为《义（20+22+24+24+25+25+25+26+28+29）=24.8,故该组数据的平均数为24.4或24.8.

故选：D.

4.（2025高二下•上海■期中）一组样本数据1,2,2,3,3,4,4,4,4,5,则该组数据的中位数和众数

之和为•

【答案】7.5

【分析】利用中位数、众数的定义求解.

3+4

【详解】样本数据1,2,2,3,3,4,4,4,4,5的中位数为［「=3.5,众数为4,

2

所以该组数据的中位数和众数之和为7.5.

故答案为：7.5

5.（2025高一上•河南•阶段练习）将25个数放入如图所示的5x5方格表，则这25个数的众数为,若

从这25个方格中选5个方格，要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值

为.

1021304150

1120304049

1019294051

1120313950

1123324352

【答案】11157

【分析】根据众数的定义，将表格每一列分列减10,20,30,40,50,取表格中尽可能大的，可得答案.

【详解】由表格中的数据可知H出现次数最多，一共有三次，故众数为11；

对于表格由第一列到第五列分列减10,20,30,40,50,可得下表：

01010

1000-1

0-1-101

101-10

13232

易知若要取得符合题意的最大值，在第五行取3,其他行分别取1,

所以最大值为10+20+30+40+50+1+3+1+1+1=157.

故答案为：11：157.

【考点2：标准差、方差】

【知识点：标准差、方差】

1.（2025高二下•重庆•期中）有一组样本数据：6,4，马，…，毛，已知它的平均数为6,方差为10,则

新数据4，X2,…，/的方差为.

【答案】12

【分析】代入平均数和方差公式，即可求解.

【详解】根据题意新数据的平均数为8（辿=6,

设其方差为$2,

因为10=：[（6-6）2+（占_6）2+伍_6）2+_+伍_6）〔，

222

所以（%-6）+（x2-6）++（x5-6）=60,

22

所以d=1[（X]-6）+（X2-6）++伍-6）1=曰=12.

故答案为：12.

2.（2026高三•全国•专题练习）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38

岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年

龄的平均数和方差分别为

【答案】39,20.67

【分析】求出高级职称的教师年龄平均数及方差，再利用分层抽样的平均数及方差公式计算得解.

【详解】依题意，高级职称教师的平均年龄为耳==45（岁），

高级职称教师年龄的方差为*='[3（58-45）2+5（40-45）2+2（38-45）1=73,

所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为了（岁），

该校中级职称和高级职称教师年龄的方差为一=给二、[2+（38-39力+/7；*[73+（45-39）2卜20.67.

50+1050+10

故答案为：39；20.67

3.（2025高一下•河南•期中）已知样本占,马，尤3,…，-25的方差为16,则样本2%+1,2%+1,2%+1,...,2x2025+l

的标准差为（）

A.8B.64C.底D.33

【答案】A

【分析】根据。（依+b）=/D（x）求解即可.

【详解】由题意,样本数据不，孙三，…，马阳的方差为16,

则样本2%+1,2%+1,2三+1,…,2尤2025+1的方差为2酿16=64,

所以样本2%+1,2X2+1,2%+1,…，2尤2025+1的标准差为=8.

故选：A

4.（江西省新八校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了

5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（）

甲同学：中位数为22,众数为20

乙同学：中位数为25,平均数为22

丙同学：第40百分位数为22,极差为2

丁同学：有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断.

【详解】甲同学的5个数据的中位数为22,众数为20,则数据中必有20,20,22,余下两个数据都大于

22,

且不相等，所有数据一定都不小于20；

乙同学的5个数据的中位数为25,平均数为22,当5个数据为17,18,25,25,25时，

符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；

丙同学的5个数据的第40百分位数为22,极差为2,则5个数据由小到大排列后第二和第三个

数只可能是22,22或21,23,由极差为2知，所有数据一定都不小于20；

丁同学的5个数据中有一个数据为30,平均数为24,设其余4个数据依次为占,々，尤3，尤4，

2

则方差/=?36+（%-24）+（%-24）2+（%—24）2+（%_24）21

=7.2+g[（X]-24）2+（々-24『+&-24）2+（儿-24）2],若%,%,W，%中有小于20的数，

?>7.2+5=12.2>10.8,不符合题意，因此网,斗，%均不小于20,5个数21,21,24,24,30可满足条

件，

所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.

故选：C

5.（2025•浙江杭州•模拟预测）已知某4数据的平均数为6,方差为3,现再加入一个数据8,则这5个数

据的方差为（)

12167618

A.——B.—C.—D.——

55255

【答案】C

【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设原来4个数据依次为。、b、c、d,贝!]a+b+c+d=24,

方差为3,则;［(“-6)2+(6-6)2+(c-6『+m_6)〔=3,

即［伍-6)2+修-6)2+(c-6)2+(d-6『］=12,

所以+/+H+/)-12(〃+〃+c+d)+36x4=12,

贝以2+/+。2+/=12+12x24-36x4=156

113?

再加入一个数据8,贝IJ其平均数为：(Q+b+c+d+8)=y(24+8)=方，

则这5个数据的方差为、+^-yJ+^-yJ+^-yJ+［8-y］

g(〃2+/+/+/)一£(4+〃+。+2)+［三］X4+£

/2、

64〜32r/6476

=-156-——x24+x4+——

55512525

故选：c.

6.（2025高一下•安徽宿州•期中）已知互不相等的一组数百,斗，不，4尤5，/，毛，玉的平均数为看,方差为s：,

若不，尤2，三，无4，不，％,多的方差为S；,则（）

A.s；＞s；B.s；=s；

C.s：＜s；D.s；与s；的大小关系不确定

【答案】C

【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项.

［详解］由题意可知，.+%+%+.广+%+/+/=%,

8

byrn,iX

X}+X?+X,+Xd+X.+X^+7

所以再+%+%+%4+%5+/+%7=7/，贝U----------------j---------------=X8,

所以数据玉，%，尤3，兀4，毛，工6，%7的平均数是4，

S；与的分子相同，比较分母，可知s；<s；.

故选：C

7.(2025•湖北黄冈•二模)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计

结果，可以判断出一定没有出现点数5的是()

A.平均数为4,中位数为3B.中位数为4,众数为3

C.中位数为4,方差为2D.平均数为3,方差为3

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义和性质，逐一分析每个选项，判断是否一定没有出现点

数5.

【详解】对应A选项，平均数为4,中位数为3.设这5次掷骰子的点数从小到大排列为6,3,c,d.

根据平均数的计算公式"+0+；+°+”=4,可得a+Hc+d=17.

当a=3,b=3,c=5,d=6时满足条件，所以有可能出现点数5,A选项错误.

对应B选项，中位数为4,众数为3.

设这5次掷骰子的点数从小到大排列为“也4,c,d.因为众数为3,所以3至少出现2次，若a=>=3,c=5,

d=6时满足条件，所以有可能出现点数5,B选项错误.

对于C选项，中位数为4,方差为2.

设这5次掷骰子的点数从小到大排列为a,6,4,c,d.

若a=2,b=3,c=5,d=6时，平均数于=2+3+；+5+6=

方差s2T(2_4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]

-1[(-2)2+(-1)2+02+12+22]

=1(4+1+0+1+4)

=1xl0=2,满足条件，所以有可能出现点数5,C选项错误.

对于D选项，平均数为3,方差为3.

设这5次掷骰子的点数分别为再,%，尤3，Z，%.

根据平均数公式可得%+%+?匕+』=3,即玉+%+斗+%+%=15.

根据方差公式/=-3)2+(Z-+(元3-3Y+(玉-3)2+(%-3)2]=3,则

（无］一3）~+（无z—3）-+（马—3）~+（尤4—3）~+（%—3）~=15.

若假设出现点数5,不妨设玉=5,则尤2+%+匕+X5=10.

则（5-3）2=4.则-3）2+（%-3）2+（匕-3）2+（$-3）2=11.

展开变形，得到11=x；+x；+X：-6（X2+x3+x4+x5）+36,

即11=居+考+尤:+x；—6x10+36,解得尤;+无；+无：+无；=35,

因为书=36>35,所以%，*3，*三中不能有6.

由工2+退+Z+%=10,不妨令无2<x3<x4<x5,

则%,三，％，无5所有可能取值为：

1,1,3,5；1,2,2,5；1,1,4,4；1,2,3,4；2,2,2,4；2,2,3,3；1,3,3,3,

因为12+12+32+52/35；

12+22+22+52^35:

2222

1+1+4+47^35；

12+22+32+42^35；

22+22+22+42^35;

22+22+32+32^35;

12+32+32+32^35

综上，不存在工2，三,无4，三€{123,4,5,6},使得马+忍+尤4+%=1。且考+后+无：+后=35.故假设错误，不

会出现点数5.D选项正确.

故选：D.

【考点3：频率分布直方图】

【知识点：频率分布直方图】

1.（多选）（2025•安徽淮北•二模）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，

已知所有学生成绩均在区间［50,100］内，贝I（）

小频率/组距

0.04

0.03

0.02

—5,50击708090lit）施绩

A.图中。的值为0.005

B.这组数据的平均数为73

C.这组数据的众数为75

D.这组数据的中位数约为71.7

【答案】ABD

【分析】根据频率分布直方图中各小矩形得面积之和为1,可求出。的值，再结合平均数、众数、中位数的

定义判断BCD.

【详解】对于A,由频率分布图可知:（2a+0.02+0.03+0.04）x10=1,解得。=0.005,故A正确;

对于B,由频率分布图可知：55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73,故B正确；

对于C,由频率分布图可知众数为65,故C错误；

对于D,设这组数据的中位数约为x,因为0.05+0.4=0.45<0.5,0.05+0.4+0.3=0,75>0.5,

所以中位数x在区间［70,80］内，贝lj（x-70）*0.03=0.5—0.05-0.4,解得x=71.7,故D正确；

故选：ABD.

2.（多选）（2025•河南鹤壁•二模）我国新能源发展势头强劲，产业前景广阔，特别是新能源汽车产销已

经连续8年位居世界第一，如图，这是某国产新能源汽车公司的100家销售商在2023年4月份的销售数据

频率分布直方图，则（）

频率

组距

0.003

0.002

°50100150200250300汽车销售量（辆）

A.a的值为0.004

B.估计这100家销售商新能源汽车销量（每组的销量按中点值计算）的平均数为135

C.估计这100家销售商新能源汽车销售量的中位数为158.3

D.若用分层随机抽样法从这100家销售商中抽取20家，则应从销量在［200,300］内的销售商中抽取5

家

【答案】AD

【分析】根据频率和为L计算。的值判断A；B.根据平均数公式计算可判断B；C.根据百分位数公式计算可

判断C；计算销量在内的频率，再结合分层抽样计算可判断D.

【详解】由（0.0。1+0.002+0.003+24+0.006）x50=1,得。=0.004,故A正确；

平均数约为(0.002x25+0.003x75+0.004x125+0.006x175+0.004x225+0.001x275)x50=150,

，故B错误；

设中位数为无，易知xe[150,200),贝U(0.002+0.003+0.004)x50+(x—150)x0.006=0.5,得x=1583,故C

错误；

应从销量在［200,300］的销售商中抽20x（0.004+0.001）x50=5家，故D正确.

故选：AD.

3.（多选）（2026高三•全国・专题练习）（多选）在某运动会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工

作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布

直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（)

A.6的值为0.25

B.候选者面试成绩的中位数约为69.4

C.在被抽取的候选者中，成绩在区间165,75）之间的候选者有30人

D.估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5

【答案】BD

【分析】根据频率和为1可求6的值，判断A的真假；根据频率分布直方图估计中位数，判断B的真假;

计算区间［65,75）的频数，判断C的真假；计算总体的平均数判断D的真假.

【详解】对于A,由(0.005+6+0.045+0.020+0.005)x10=1,解得6=0。25,故A错误；

对于B,设候选者面试成绩的中位数为x,则(0.005+0.025)x10+(x-65)x0.045=0.5,解得工。69.4,故B

正确；

对于C,成绩在区间［65,75)的频率为0.045x10=0.45,故人数为80x0.45=36,故C错误；

对于D,因为

50x0.005x10+60x0.025x10+70x0.045x10+80x0.020x10+90x0.005x10=69.5,故D正确.

故选：BD

4.(多选)(2025高三•全国•专题练习)工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产

的产品数量(单位：件)进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的是()

0.0401........1~।

0.0251........1-4-1

0.020卜~~

O.oiol----1

Opp;出土仁

O455565758595产品敢哒

A.该车间工人上月产量的极差恰好为50件

B.该车间约有120名工人上月产量低于65件

C.该车间工人上月产量的平均数低于64件

D.该车间工人上月产量的中位数低于63件

【答案】BD

【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率的计算，以及平均数和中位数的计算方法，逐项判定，即

可求解.

【详解】因为频率分布直方图丢失了原始数据，所以无法求得极差，故A不正确；

因为产量低于65件的频率为(0.02+0.04)x10=0.6,0.6x200=120,

所以该车间约有120名工人上月产量低于65件，故B正确；

0^0.02x10x50+0.04x10x60+0.025x10x70+0.01x10x80+0.005x10x90=64,

所以平均数为64件，故C不正确；

设该车间工人上月产量的中位数为x件，则Q02xl0+(x—55)x0.04=05,解得x=62.5,故D正确.

故选：BD.

5.（2025高二上•云南红河•阶段练习）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天

生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示.

⑴求频率分布直方图中a的值.

（2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，中位数和平均数.

【答案】⑴0.025

（2）60,62.5,64

【分析】（］）根据频率分布直方图性质，利用频率之和为1,列出等式，即可求解；

（2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率分布直方图中的数据，即可求解.

【详解】（1）解：由频率分别直方图的性质，可得（Q020+0.040+4+0.010+0.005）x10=1,

解得a=0.025.

（2）解：由频率分布直方图，可得众数为9答=60,

2

设中位数为x,贝110.2+（无一55”0.04=0.5,解得％=62.5,所以中位数为62.5,

这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：0.2x50+0.4x60+0.25x70+0.1x80+0.05x90=64,

所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64.

【考点4：百分位数】

【知识点：百分位数】

1.（陕西省咸阳市2025届高考第三次模拟检测数学试题）样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的

第75百分位数为（）

A.20B.21C.23D.23.5

【答案】D

【分析】数据从小到大排列，再根据百分位数的概念求解即可.

【详解】样本数据从小到大排列为13,16,19,20,21,23,24,28,共8个数据,

所以8x75%=6,则第75百分位数为二1=23.5.

2

故选：D.

2.（2025•湖南郴州•三模）马拉松爱好者小丽712月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则

小丽7~12月份每个月的跑步里程的60%分位数为（）

月份7月8月9月10月11月12月

跑步里程310254220210248300

A.210公里B.251公里C.254公里D.248公里

【答案】C

【分析】根据百分位数的公式计算即可.

【详解】将小丽712月份每个月的跑步里程从小到大排列：210,220,248,254,300,310.

因为6x60%=3.6,所以小丽712月份每个月的跑步里程的60%分位数为254公里.

故选：C.

3.（2025高三下•广东肇庆•阶段练习）已知一组数据12,17,15,》,20的平均数为16,则这组数据的第65百

分位数为（）

A.17B.16.5C.16D.15.5

【答案】A

【分析】根据平均数的计算公式，求得x=16,结合百分位数的算法，即可得到答案.

【详解】由数据12,17,15,x,20的平均数为16,可得12+17+；5+x+2°=i6,可得天二房，

将这组数据从小到大排列，可得12,15,16,17,20,

因为5x65%=3.25,所以这组数据的第65百分位数为17.

故选：A.

4.（2025・广东•二模）一组数据由小到大排列为2,4,5,羽11,14,15,39,41,50,已知该组数据的40%分位数是

9.5,则无的值是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】先判断40%分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可.

【详解】因为解x40%=4,

所以该组数据的40%分位数是第4、第5位数的平均数，

所以一^=9.5,解得x=8,

2

故选：C.

5.（2025•江西宜春•二模）已知一组数据1,2,3,4,机的75%分位数是机，则加的取值范围为（）

A.[3,4）B.[2,3]C.[3,4]D.{4}

【答案】C

【分析】根据百分位数的定义将条件转化为五个数中第二大的数是小，再求解.

【详解】因为5x75%=3.75,

所以数据1,2,3,4,机的75%分位数为五个数中第二大的数，

由已知数据1,2,3,4,机中第二大的数是机，所以3WmW4.

故选：C.

6.（2025•黑龙江•二模）某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，学有

信心，举办了英语手抄报比赛.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为〃的部分考生成绩，得到如图所

示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70百分位数为（）

A.74B.75C.76D.77

【答案】C

【分析】结合百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由频率分布直方图可知，考生成绩的第70百分位数为70+10x0・7。-（1-。-4。-010-0。4）=.

0.40

故选：C.

7.（多选）（江西省部分高中（上进联考）2025届高三下学期4月联考检测（二模）数学试题）赣南脐橙,

江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这

些脐橙的果径（单位：mm）,并将所得果径数据分成以下几组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,

100],所得数据如频率分布直方图所示（同组数据用该组区间的中点值作代表），则（）

B.这100个脐橙果径的平均数为75

C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80

D.这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为40

【答案】ACD

【分析】根据小矩形面积和为工得到关于。的方程，根据频率分布直方图的性质即可求解平均数，百分位数

等，

【详解】由10x（0.010x2+0.015+0+0.035）=1,得。=0.030,故A正确；

由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10,0.15,0.35,0.30,0.10,

故这100个脐橙果径的平均数x=55x（M0+65x0.15+75x0.35+85x0.30+95x0.10=76.5,

故B错误；

前三组的频率和为0.10+0.15+0.35=0.6,因此这100个脐橙果径的第60百分位数为80,故C正确；

果径不小于80mm的频率为0.30+0.10=0.40,

故这100个脐橙中果径不小于80"加的个数为100x040=40,故D正确.

故选：ACD.

8.（多选）（2025高一下•广东广州•期中）某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：80,68,

90,88,96,89,70,98,91,贝U（）

A.中位数是88.5B.上四分位数是91

C.下四分位数是80D.极差是30

【答案】BCD

【分析】由中位数，下四分位数，上四分位数，极差概念结合题目数据可得答案.

【详解】将数据从小到大排列，有68,70,80,88,89,90,91,96,98.

对于A,因数据个数为9,则中位数为第5个数据，即89,故A错误；

3

对于B,上四分位数为75%分位数，因9x[=6.75,则上四分位数为第7个数据，

4

即91,故B正确;

对于C,下四分位数为25%分位数，因9x：=2.25,则下四分位数为第3个数据，

即80,故C正确；

对于D,极差为98-68=30,故D正确.

故选：BCD

【考点5：利用样本的数字特征解决优化决策问题】

【知识点：利用样本的数字特征解决优化决策问题】

1.（2025高三下•江苏南通・阶段练习）在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失

球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,则（）

A.平均说来乙队比甲队防守技术更好

B.甲队比乙队防守技术水平更稳定

C.乙队很少失球

D.甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好

【答案】D

【分析】根据两个队伍的平均数和方差，进行比较，结合平均数以及标准差的意义逐项分析判断即可.

【详解】对于A,因为1.5<2.1,可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A不正确；

对于B,因为1.4>0.4,可知乙队比甲队技术更稳定，故B不正确；

对于C,因为乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,

所以乙队失球数更多，且乙队防守技术更稳定，即乙队很少不失球，故C不正确；

对于D,由B可知甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故D正确.

故选：D.

2.（2025高一下•重庆,期中）在重庆复旦中学"复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众

代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A：858692878995829185

小组2：959351889089919294

⑴分别求两组评委打分的平均分.

（2）判断小组A和小组8中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由.

【答案】⑴88,87

(2)A组更像，理由见解析

【分析】(1)根据平均数的定义计算即可求解；

(2)分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论.

【详解】⑴记小组A的数据依次为可，小组B的数据依次为%,7=1,2,…,9,

—]9—19

由题意可得：每组的平均数分别为：乙=6»>,=88,xfl=-£y,=87.

"i=l"r=l

(2)4组更像是由专业人士组成，

1»,]9

两组的方差分别为：S；=G£(X,T8)-=14.9,^=-^(y,-87)-=166.7.

由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，S；=14.9,S，=166.7,

因而14.9<166.7,

根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的.

3.(2025高一上・江西•阶段练习)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组

委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩(满分10分，8分及以上为优秀).如下表所示：

甲射击成

109781010

绩

乙射击成

106101099

绩

⑴以频率作为概率，估计甲、乙两人射击成绩的优秀率；

(2)分别求出甲、乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好?

【答案】(1)甲的优秀率为乙的优秀率为g

0O

⑵甲的射击成绩更好

【分析】(1)直接由表得出结论；

(2)分别计算甲乙两名运动员的平均数和方差，通过第=k，s：<s；判断甲成绩更好.

【详解】(1)由表可知：甲的优秀率为之，乙的优秀率为之.

66

(2)甲运动员6此射击成绩的平均数为看=Jx(10+9+7+8+10+10)=9,

6

所以甲运动员6此射击成绩的方差为s；=tx