2025年贵州省遵义市高考数学三模试卷+答案解析

2025年贵州省遵义市高考数学三模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={剑—1W/<1},B={—2,—1,0,1,2},则AG=()

A.{-1,0}B.{1,2}C.{-2,—1,0}D.{—1,0,1}

2.某班6名学生的物理成绩按从小到大的顺序排列如下：55,63,72,78,85,93,则这组数据的50%分

位数是()

A.72B.75C.78D.85

3.已知角J的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线沙立于第三象限的图象

重合,则sin0=()

A.B.渔C.D.—理

5555

4.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0,0)的卫星进行三次平移(单位:

千米)：第一次沿向量记=(a,1)补偿平移；第二次沿向量近=(-1,a)修正平移；第三次沿向量记=(2,1)

校准平移.若卫星最终精准到达坐标是(3,4)的同步轨道点，则实数Q=()

A.4B.3C.2D.1

5.已知随机变量X服从正态分布N(3«2),且P(X>2)=0.7,则P(3<X<4)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

6.已知函数/(c)=a。和g(c)=loga；r(其中a>0且a/1),若/(，)与gQ)的图象有一个交点的横坐标为2,

则实数a=()

「1

A.^2B.2C.-D.4

7.已知△力的周长为12,BC=4,当△ABC的面积最大时，则△48。的内切圆半径为()

8.已知正方体—的棱长为，M在线段8。上运动，N是棱8场的中点，则下列选项

正确的是()

A.直线与直线是异面直线

B.直线小川与平面BCCB所成角为。，则sin0的最大值是遗

3

C.动点尸在正方体的表面上运动，若421LPN,则点尸的轨迹长度是6

D.以点N为球心，2为半径的球面与侧面BOG场的交线长度是松7r

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数？=3&+历（出66尺，为虚数单位），则下列选项正确的是（）

A.若a=0，物0,则z为纯虚数

B.若a=b=1,则=\/10

C.若b=0,则°=2

D.若Q<0且b〉0,则z在复平面内对应的点位于第四象限

22

10.已知曲线C-^―+-^—=1,则下列选项正确的是（）

入+84—2A

A.若入=0,则曲线。的离心率为Y2

2

B.若—8<A<2,则曲线C为椭圆

C.若入=4,则曲线。的实轴长为4通

D.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则焦点到渐近线的距离为2A-4

11.六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数.《礼记•射义》：“射者，仁之道也.

射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而己矣”.若甲、乙两人玩射箭游戏，规则

如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭.已知甲每次射箭命中的

31

概率均为了，乙每次射箭命中的概率均为X，由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列

42

选项正确的是（）

A.第3次射箭的人是甲的概率为9会1

B.在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为三

14

C.在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为二

则2豹”

D.若第，次射箭的人是甲的概率为Pi

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点P（l,m）在抛物线C/=42上，。的焦点为R贝!）|PF|=.

13.某市举行数学“7T”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生3名女生，该学校

需从中选派3人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有种（数

字作答）.

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14.蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状宛如一只蝴蝶而得名，由美国南密西西比大学的坎普尔•费

伊于1989年发现.它不仅是数学与美学结合的经典案例，也是非线性动力学系统的典型案例，更在计算机编

程、艺术设计、科学研究和工程领域，展现了跨学科的应用潜力.其核心价值在于将抽象的数学方程转化为

可视化的动态图形，成为连接理性与感性的桥梁.已知某种蝴蝶曲线如图1所示，在平面直角坐标系中,

曲线M的方程为：(/+才)2一以13/+/=0.若点尸在M上运动，。为坐标原点，贝的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(x)=x2-Inx.

(1)求函数/(外在点/=1处的切线方程；

(2)若,e[|,e],求/⑶的最小值和最大值.

16.(本小题15分)

为进一步满足居民“五一”假期的消费需求，营造欢乐的节日氛围，某商场计划5月1日发起“2025年欢

乐购普惠消费券”活动.据悉，本次消费券分别为“满200元减50元”和“满100元减20元”两种类型.节

日期间每位进该商场的顾客可抽取两种不同类型的消费券各1次，已知抽中消费券“满200元减50元”的

概率为抽中消费券“满100元减20元”的概率为:，且各次是否抽中消费券互不影响.

(1)求某天某顾客至少抽中一次消费券的概率；

(2)设某天某顾客获得的消费券奖金(如：满200元减50元，记消费券奖金为50元)为随机变量求§的

分布列及数学期望.

17.(本小题15分)

在多面体48CDW中，已知四边形/3NM是边长为2的正方形，AB=AD=^BC,AD//BC,AB1AD>

平面■，平面48C。，〃为线段3c的中点.

(1)若平面力NHn平面时NC=心求证：MC//1；

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(2)在线段NC上是否存在一点尸，使得平面平面若存在，求P得N的值；若不存在，说明理

IV(_y

由.

18.(本小题17分)

在数列｛厮｝中，若以相邻三项厮，an+l,厮+2为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为

△4v4计14z+2且这三边所对的角分别为An，4i+l，4I+2-

ZI

(1)在△441+41+2中，以sinA",sinAn+i,sin4n+2为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由；

⑵在△44+14+2中，An,An+1,4n+2成等差数列，且｛%｝是等比数列.判断△4A+14+2的形状，

并证明；

(3)若｛厮｝是等差数列，al,公差d〉0,且存在neN*,使得444+Mn+2的最大内角为2胃7r，求公

1=1tO

差d的值.

19.(本小题17分)

在复平面上，复数z对应的点为Z,且复数z满足的方程为卜-，可+忆+，可=2西.

(1)判断点Z的轨迹是什么曲线？并说明理由；

2

(2)记点Z的轨迹为曲线E,P⑶是£上任意一点，定义变换Rw=z＞变换后的点印®)形成曲线瓦，

再将曲线及沿向量花=(-1,0)平移得到曲线

⑴求曲线后2在平面直角坐标系下的方程；

傅)已知/(—4,0),5(1,0),设过点的直线/与曲线瓦交于尸，0两点(异于点A),△APQ的外

心为N,设直线/的斜率为比，直线。N的斜率为后，求历出2的值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={引一1(/《1}={剑—1(立＜1},B={-2,-1,0,112),

则Ap|_8=(-1,0,1}.

故选：D.

先求出集合/,然后结合集合的交集运算即可求解.

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由题意这组数据的50%分位数即为这组数据的中位数，

则中位数为巴75.

故选：B.

由题意这组数据的50%分位数即为这组数据的中位数，然后根据中位数的定义即可求解.

本题考查分位数的求解，涉及到中位数，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为角。的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，

终边与直线沙=位于第三象限的图象重合，取点(-2,-1)在角。的终边上，

故选：D.

根据任意角的三角函数的定义即可求解.

本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：设。(0,0),4(3,4),

由题可得：无？=西+羽+法，

即3=a—1+2且4=1+a+1,解得a=2.

故选：C.

根据向量的加法运算求解即可.

本题主要考查向量的运算，属于基础题.

5.【答案】B

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【解析】解：•“〜N（3,C2）,

二.尸3》3）=0.5,

P（x〉2）=P（2<a;<3）+P（x》3）=0.7,

P（2<a:<3）=0.2,

P（3</<4）=P（2<2<3）=0.2.

故选：B.

利用正态分布曲线的对称性求解.

本题主要考了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：函数/（1=靖和。⑵二地M（其中a>0且屏1）,/Q）与gQ）互为反函数，两个函数的交

点在沙上，

/（叫与g@）的图象有一个交点的横坐标为2,可知纵坐标为2,所以。2=2,解得a=

故选：A.

利用指数函数与对数函数是互为反函数，求解交点的纵坐标，然后求解。即可.

本题考查函数与方程的应用，反函数的应用，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：根据48+4。+8。=12,且3。=4,可得AB+AC=8,

由椭圆的定义可知：点/的轨迹是以从C为焦点的椭圆（左右顶点除外），长轴2a=8,a=4.

焦距2c=4,可得c=2,椭圆的短半轴b='=2，£

当点/运动到椭圆短轴的端点时，△4BC的面积最大，最大面积为=

设△/笈。的内切圆半径为厂，则S=++=可得「=-----型刍-----=.

2'AB+AC+BC3

故选：B.

根据题意利用椭圆的定义，得出点/的轨迹是以3、C为焦点的椭圆（左右顶点除外），从而运用椭圆的性

质算出△AB。面积的最大值，然后根据三角形内切圆的性质求出△48。的内切圆半径，可得答案.

本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质、三角形的面积公式与内切圆的性质等知识，属于中档题.

8.【答案】C

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【解析】解：作出示意图如下:

对/选项，显然当M与8重合时,

线A\MUD\C,所以/选项错误；

对8选项，因为小耳，平面,

所以直线山川与平面BCG耳所成角为乙41MB=6,

AtBiV2

所以sin0smAAiMB==

AXMAXM

所以当时，即由河为边长为2的正三角形小QB的高时，山川最小,

所以山”的最小值为孤,

所以sin。的最大值为掾=乎

所以2选项错误;

对C选项，根据三垂线定理易得4。ACilAjD,又=

所以ACJ平面41AD,

从而过N作平面4i_BO的平行平面与正方体分别交于点E,F,G,H,I,

所以点尸的轨迹为边长为1的正六边形所GHZN得边上的点，

所以点尸的轨迹长度是6,所以。选项正确；

对。选项，因为48,平面BCGBi，且48=禽，

所以以点/为球心，2为半径的球面与侧面8。。归1的交线上的点到B的距离为L=，万，

所以所得交线是以2为圆心，为半径的四分之一圆弧，

所以所得交线长为=叵，所以。选项错误.

22

故选：C.

作出示意图，根据线面角的概念，三垂线定理，球的几何性质，针对各个选项分别求解即可.

本题考查立体几何的综合应用，属中档题.

9.【答案】ABC

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【解析】解：复数z=3a+%a,be尺〃为虚数单位),

若a=0,悸0,则z为纯虚数，故/正确；

若a=b=1,则z=3+M⑶=故8正确；

若6=0,则z为实数，可得？=£,故C正确；

若a<0且b〉0,则z在复平面内对应的点位于第二象限，故。错误.

故选：ABC.

由已知结合复数的基本概念及复数模的求法逐一分析四个选项得答案.

本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4当入=0时，则(+[=1，离心率e='=—(：)2=,故/正确;

4

对于8,当入+8=4—21〉0,即入=—©时，曲线。为圆，故8错误；

O

22

对于C,当入=4时，由上—外=1,得：。=2通，实轴为2Q=4V©，故c正确；

124

22

对于。，将原方程化为：-......J=l,

A+82A-4

焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0距离为d=奶。=b=V2A^4(A>2),故。错误.

VJo2+a2,

故选：AC.

对于力,求出曲线c的方程，根据公式计算离心率即可；

对于8,当入+8=4—23〉0时，该方程不表示椭圆；

对于C,求出曲线C的方程即可知道实轴长；

对于。，根据点到直线的距离即可求解.

本题考查曲线与方程，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：根据题意，设第〃次射箭的人是甲为事件An，第〃次射箭的人是乙为事件3,”

3111

则P(Az)—P(AI-I)义工+[1—P(AI-I)]x]=-F(An_i)+-,

219

变形可得：PHV—=卅(4-1)—],

J4O

121

又由P(4)=5,P(4)一=—

/O0

211

则数列｛p(yu)—§是首项为一小公比为;的等比数列,

O04

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oil911

则p(4)-『彘x变形可得p(4)=---x(-r1,

依次分析选项：

21121

对于4第3次射箭的人是甲的概率P(4)=3-匕)2=云，/正确；

36432

对于5,P(-Bi)=P(A)=—,P(AB)=-x-x(1--x-x-=--

2332312222241bf

5

故?(_81|43)=费=”，5错误；

32

对于C,在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率

1/r3、111八1、,，3、111八1、,，3、111I、5

=5义(1—/XjXj+uxU_5)x(1-+—Rx(l—Q+^x^x,xUZ1_5)=旃，

C正确；

o11

对于，由于P(A“)=X(])"T,

364

则£伤=尸(小)+尸(»+「(»+...+P(Aio)=|xlO-|x[l+j+....+(T)9]=^+3x(I)\D

2=1

正确.

故选：ACD.

根据题意，设第〃次射箭的人是甲为事件4n，第〃次射箭的人是乙为事件8小由全概率公式可得

R1

F(A„)=x|+[1-F(A„-1)]xj变形分析可得P(40的不等式，由此分析选项，综合可得答案.

本题考查概率与数列的综合应用，涉及全概率公式、条件概率的应，属于中档题.

12.【答案】2

【解析】解：已知点P(l,m)在抛物线C：/=4,上，

则弓=1，

又C的焦点为尸，

则平娼=|+1=2.

故答案为：2.

结合抛物线的定义求解即可.

本题考查了抛物线的定义，属基础题.

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13.【答案】25

【解析】解：从4名男生3名女生选派3人组成代表队参赛，

又其中男生甲和女生乙至少有一人入选，

若男生甲入选且女生乙不入选，有玛=10种情况；

若男生甲不入选且女生乙入选，有废=10种情况；

若男生甲，女生乙都入选，有心=5种情况，

则共有10+10+5=25种选派方法.

故答案为：25.

根据题意可计算所有的选法，再计算全为男生或全为女生的选法，从而可解.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

14.【答案】.国

9

【解析】解：记QP|=r,以x轴正半轴为始边，射线。尸为终边对应的角为。，

由图知。G[0,7r],则P(rcos0,rsin0),

所以(/+y2)2—y(13/+/)=0今(,2cos2。+r2sin20)2—rsin0(13r2cos20+r2sin20)=0

今r=sin0(13(1—sin20)cos20+sin20)=—12sin30+13sin0,

不妨记力=sin。e[0,1]r=—12t3+133t6[0,1].

记/⑶=—12/+13a；,尸3)=-36/+13,则尸(号方=o,

当±e[0,誓)时，/3)>0,当口e(等,1]时，[(工)<。，

所以f(*在血率)上单调递增，在(T，I〕上单调递减，

故QPlmax-rmax—)——g•

故答案为：”"I.

9

假设QP|=r,以x轴正半轴为始边，射线。尸为终边对应的角为依则P(rcosO,rsinJ),故将方程进行

转化，进而得r=-12sin3O+13sin0利用换元法，结合导数即可求最值.

本题考查曲线与方程，属于中档题.

15.【答案】y=x.

最大值为e2—1，最小值为工―足逆.

22

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【解析】解：（1）函数“口=/—Inz,则/'（。）=2/—：，

则/"）=1,又/⑴=1，

所以函数/（立）在点万=1处的切线方程为y-l=lx（x-l）,即9=必

令广@）=0,可得2=性，

当力egg）时，/⑸<。，/（①）单调递减，

当尤e（殍,e）时，13）>0，/⑺单调递增,

所以/（口的极小值也是最小值为〃彳）=g—Ing,

又W）=；Tn；=；+ln2,

/（e）=e2—Ine=e2—1>|+In2,

所以/（2）的最大值为e2—1，最小值为工―上避

22

（1）利用导数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程;

（2）利用导数求出函数的单调性，进而可得函数的最值.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于

中档题.

16.【答案】白

5

分布列见详解，数学期望为20.

【解析】解：（1）设事件4="某天某顾客至少抽中一次消费卷”，

事件B="某天某顾客抽中满200元减50元消费卷”，

事件C="某天某顾客抽中满100元减20元消费卷”，

———11413

贝m一口8。）=1_/研。）=1_（1_〉（1_5）=1_工义5=不

O/0ZD

所以某天某顾客至少抽中一次消费券的概率为）

5

⑵l的可能取值为：0,20,50,70,

11421142

p（e=o）=（i--）x（i--）=-=-,p（e=2o）=（i--）x

0/J.U0J/XU0

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P也=50)=-x(1-=70)=-x-=—

代,5i2，10'、75210

随机变量(的分布列为:

€0205070

2211

P

551010

2211

E(£)=0x—+20x—+50x——+70x——=20，

551010

所以£的数学期望为20.

(1)运用对立事件及互斥事件的概率计算公式即可求解；

(2)根据题意£的可能取值为：0,20,50,70,分别计算概率即可得到分布列，进而可求数学期望.

本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题.

17.【答案】证明过程请见解答；存在，三二=彳理由请见解答.

NC

2

【解析】(1)证明：连接的心与NN交于点连接\

N

OH,

因为正方形所以。是氏W的中点，

又H为线段3C的中点，所以

因为OHU平面ANH,MC，平面ANH,

所以〃平面N7W7,

D

又“。C平面MNC,平面ANHn平面AfNC=2,*

所以Mcy〃.

PN3

(2)解：存在，—理由如下：

NC4

由题意知，ABLBN,

因为平面4BNM1平面ABCD,平面ABNMC平面ABCD=AB，BNc平面/⑻W,

所以平面A8CD,

5LAD//BC,ABLAD，所以

故以3为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0),N(0,0,2),H(0,2,0),

PN

设名=rAG[0,1],则P(0,4入2—2A),

1V(.7

所以助=(—2,2,0)，A^=(-2,0,2)，赤=(0,4A—2,2—2X)，

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nt•All——2x+2g=0

设平面的法向量为方=(劣,g,z),则

rfl•AK=—2x+2z=0

取力=1,则4=z=l,所以记=(1,1,1),

设平面尸/”的法向量为B=(a,b,c),则J7・m=12a+2b=?,

]7?-HP=(4A-2)5+(2-2A)c=0

取a=b=l—3，贝i]c=l—2A,所以方=(1—入1一人1—2X)，

因为平面P4HL平面NAH,

所以记・方=1—3+1—A+1—2、=0,解得入=7

4

即空一

NC4

(1)连接与/N交于点。，连接的，由中位线的性质知。修〃&TC,从而可证V。〃平面/人%，再由

线面平行的性质定理，即可得证；

PN

(2)先由面面垂直的性质定理可证平面NBC。，再以2为原点建系，设京=:，A€[0,1],利用向

7VO

量法证明面面垂直可求得小的值，从而得解.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定与性质定理，面面垂直的性质定理，以及利用向

量法证明面面垂直是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】能，理由见解析；

△41A计p4“+2是等边三角形，证明见解析；

|或2.

O

Q77(Z77-1-9

【解析】解：⑴能.由正弦定理，可得菽

所以sinAn：sinAn+i：sinAn+2=an：。叶1：。计2,

因为Qn,Qn+1,。几+2是的三边，

所以sinAasin4H4,sinA"+z为边长的三角形与441a计14计2相似.

故以sin4vsinAn+1,sin4九+2为线段长度，能构成一个三角形.

⑵证明：经判断，△44+14+2是等边三角形.

证明如下：由题意可得24计1=4几+4计2,又4九+4i+i+4几+2="，

7T

所以An+i=a，又因为｛厮｝是等比数列，

O

所以=厮厮+2.由余弦定理，可得COSJ=a"：'*=1+f+2—即斯+2=1

32Q几。九+22Q71a九+22

第13页，共16页

即Q%+an~2Q/九+2=0.即(Q九+2—。九猿=0，

7T,

所以厮+2—。九.又因为4九+1=—,所以三角形△Arz4l+i41+2是等边三角形.

o

27r

(3)因为%=1+(八一l)d,d〉0,Qn<Qn+l<Qn+2,An+2=—，

o

由余弦定理得Q：+2—an+Q；+l+Q/W1，

即[1+(n+l)d]2=[1+(n—l)d]2+(1+nd)2+[1+(n—l)d](l+4d)化简得

(2n2-5n)出+(47一5)d+2=0,

2

即(几d+1)[(2八一5)d+2]=0.因为d〉0,n£N*,故解得d=――,

5-2Tl

2

当n=l时，d=-；当几=2时，d=2；当？时，d<0,舍去.

O

957

验证：当d=a时，三边为1,*?符合题意.当d=2时,三边为3,5,7,符合题意.

OOO

综上，d的值为2:或2.

O

7T

(1)利用正弦定理即可判断；(2)首先求出4"+1=可，再根据等比中项的性质和余弦定理得厮+2=厮，即

O

2

判断出其为等边三角形；(3)利用余弦定理和等差数列性质得d=「1，最后代入验证即可.

O—2TL

本题考查数列的应用，属于中档题.

19.【答案】表示焦点为”,0),(—四⑼，长轴为2a=2遥的椭圆；(i)E2：—+^=1；

16153

【解析】解：⑴设？=2+"，，则上一通|+|z+〃|=2西，

表示点Z[x,y)到FI(A/2,0),F2(-\/2,0)距离之和为2海