二维随机变量试题及答案

二维随机变量试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数为\(F(x,y)\)，则\(F(+\infty,+\infty)\)的值为（）A.0B.1C.0.5D.不确定2.二维离散型随机变量\((X,Y)\)的联合分布律\(P(X=i,Y=j)=p_{ij}\)，则\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}\)等于（）A.0B.0.5C.1D.不确定3.若二维随机变量\((X,Y)\)服从二维正态分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)，\(X\)与\(Y\)相互独立的充要条件是（）A.\(\mu_1=\mu_2\)B.\(\sigma_1=\sigma_2\)C.\(\rho=0\)D.\(\mu_1=\mu_2\)且\(\sigma_1=\sigma_2\)4.设二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度为\(f(x,y)\)，则\(P(X\lta,Y\ltb)\)等于（）A.\(\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dx\)B.\(\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dy\)C.\(\int_{-\infty}^{a}\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dxdy\)D.\(\int_{-\infty}^{b}\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dxdy\)5.已知二维随机变量\((X,Y)\)，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，则\(E(X+Y)\)等于（）A.5B.6C.1D.不确定6.二维随机变量\((X,Y)\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(\rho_{XY}=0.5\)，则\(D(X+Y)\)等于（）A.13B.19C.16D.107.设二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布律为\(P(X=0,Y=0)=0.2\)，\(P(X=0,Y=1)=0.3\)，\(P(X=1,Y=0)=0.1\)，\(P(X=1,Y=1)=0.4\)，则\(P(X=0)\)等于（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.48.二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度\(f(x,y)=\begin{cases}2,&0\ltx\lt1,0\lty\ltx\\0,&其他\end{cases}\)，则\(P(Y\lt\frac{1}{2})\)等于（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{8}\)9.设二维随机变量\((X,Y)\)，\(X\)与\(Y\)相互独立，\(X\)服从\(N(0,1)\)，\(Y\)服从\(N(1,1)\)，则\(X+Y\)服从（）A.\(N(0,2)\)B.\(N(1,2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(1,1)\)10.二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数\(F(x,y)\)对\(x\)，\(y\)的二阶混合偏导数\(\frac{\partial^2F(x,y)}{\partialx\partialy}\)等于（）A.联合概率密度\(f(x,y)\)（在连续点处）B.0C.边缘概率密度D.不确定二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数\(F(x,y)\)性质正确的有（）A.\(0\leqF(x,y)\leq1\)B.\(F(-\infty,y)=0\)，\(F(x,-\infty)=0\)C.\(F(+\infty,+\infty)=1\)D.对任意固定的\(x_1\ltx_2\)，\(y_1\lty_2\)，\(F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geq0\)2.二维离散型随机变量\((X,Y)\)的联合分布律\(P(X=i,Y=j)=p_{ij}\)，满足（）A.\(p_{ij}\geq0\)B.\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}=1\)C.\(P(X=i)=\sum_{j}p_{ij}\)D.\(P(Y=j)=\sum_{i}p_{ij}\)3.若二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度为\(f(x,y)\)，则（）A.\(f(x,y)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)C.\(P((X,Y)\inG)=\int\int_{G}f(x,y)dxdy\)（\(G\)为平面区域）D.边缘概率密度\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)，\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)4.对于二维正态分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)，以下说法正确的是（）A.\(\mu_1\)是\(X\)的均值B.\(\sigma_1^2\)是\(X\)的方差C.\(\rho\)是\(X\)与\(Y\)的相关系数D.\(X\)与\(Y\)相互独立时\(\rho=0\)5.已知二维随机变量\((X,Y)\)，则（）A.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)C.\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)D.\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)6.设二维随机变量\((X,Y)\)，\(X\)与\(Y\)相互独立，则（）A.\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)B.\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（连续型时）C.\(p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdotj}\)（离散型时）D.\(Cov(X,Y)=0\)7.二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布律如下表：|\(X\)\(Y\)|0|1||----|----|----||0|\(a\)|\(b\)||1|\(c\)|\(d\)|则（）A.\(a+b+c+d=1\)B.\(P(X=0)=a+b\)C.\(P(Y=1)=b+d\)D.\(P(X=1,Y=0)=c\)8.对于二维随机变量\((X,Y)\)，以下哪些能反映\(X\)与\(Y\)的相关性（）A.协方差\(Cov(X,Y)\)B.相关系数\(\rho_{XY}\)C.边缘分布D.联合分布9.二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度\(f(x,y)\)在区域\(D\)上非零，\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)围成的三角形区域，则（）A.\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}f(x,y)dydx=1\)B.边缘概率密度\(f_X(x)=\int_{0}^{1-x}f(x,y)dy\)（\(0\leqx\leq1\)）C.边缘概率密度\(f_Y(y)=\int_{0}^{1-y}f(x,y)dx\)（\(0\leqy\leq1\)）D.\(P(X+Y\lt\frac{1}{2})=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}-x}f(x,y)dydx\)10.已知二维随机变量\((X,Y)\)，\(X\)服从均匀分布\(U(0,1)\)，\(Y\)服从均匀分布\(U(0,2)\)，且\(X\)与\(Y\)相互独立，则（）A.联合概率密度\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{2},&0\ltx\lt1,0\lty\lt2\\0,&其他\end{cases}\)B.\(E(X)=\frac{1}{2}\)C.\(E(Y)=1\)D.\(D(X)=\frac{1}{12}\)，\(D(Y)=\frac{1}{3}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数\(F(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的单调不减函数。（）2.二维离散型随机变量\((X,Y)\)的联合分布律唯一确定其边缘分布律。（）3.若二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度\(f(x,y)\)在某点\((x_0,y_0)\)不连续，则\(X\)与\(Y\)一定不相互独立。（）4.二维正态分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)中，\(\rho\)决定了\(X\)与\(Y\)的线性相关程度。（）5.已知二维随机变量\((X,Y)\)，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，则\(X\)与\(Y\)相互独立。（）6.二维随机变量\((X,Y)\)，\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)当且仅当\(X\)与\(Y\)相互独立。（）7.若二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布律关于\(x\)轴和\(y\)轴对称，则\(X\)与\(Y\)相互独立。（）8.二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度\(f(x,y)\)满足\(\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv=F(x,y)\)。（）9.对于二维随机变量\((X,Y)\)，\(Cov(X,Y)=0\)时，\(X\)与\(Y\)一定不相关。（）10.二维随机变量\((X,Y)\)的边缘分布都是正态分布，则\((X,Y)\)一定服从二维正态分布。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述二维随机变量联合分布函数与边缘分布函数的关系。答案：设二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数为\(F(x,y)\)，边缘分布函数\(F_X(x)=F(x,+\infty)\)，\(F_Y(y)=F(+\infty,y)\)，即通过联合分布函数在某一变量趋于无穷时得到边缘分布函数。2.二维随机变量\((X,Y)\)相互独立的定义是什么？答案：若二维离散型随机变量\((X,Y)\)，对任意\(i,j\)有\(P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)\)；若为连续型，联合概率密度\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，则称\(X\)与\(Y\)相互独立。3.简述协方差\(Cov(X,Y)\)的含义。答案：协方差\(Cov(X,Y)\)衡量二维随机变量\(X\)与\(Y\)之间的相互关系。\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，其值为正表示\(X\)与\(Y\)有同向变化趋势，为负表示有反向变化趋势，为\(0\)表示\(X\)与\(Y\)不相关。4.已知二维随机变量\((X,Y)\)的联合概率密度\(f(x,y)\)，如何求\(P((X,Y)\inG)\)（\(G\)为平面区域）？答案：\(P((X,Y)\inG)=\int\int_{G}f(x,y)dxdy\)，即对联合概率密度\(f(x,y)\)在平面区域\(G\)上进行二重积分。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论二维正态分布中相关系数\(\rho\)对\(X\)与\(Y\)关系的影响。答案：\(\rho\)衡量\(X\)与\(Y\)的线性相关程度。\(\vert\rho\vert=1\)时，\(X\)与\(Y\)存在完全线性关系；\(\rho=0\)时，\(X\)与\(Y\)不相关且相互独立（二维正态情形）；\(0\lt\vert\rho\vert\lt1\)时，\(\vert\rho\vert\)越接近\(1\)，线性相关程度越强，越接近\(0\)，线性相关程度越弱。2.举例说明实际生活中二维随机变量的应用场景。答案：比如在研究学生的数学成绩\(X\)和物理成绩\(Y\)，\((X,Y)\)构成二维随机变量。通过分析其联合分布、相关性等，可了解两科成绩的关系，为教学改进提供依据；又如研究某地区的气温\(X\)和湿度\(Y\)，帮助气象分析和生活安排等。3.探讨如何根据二维随机变量的联合分布判断其独立性，有哪些方法？答案：对于离散型，验证对所有\(i,j\)，\(P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)\)是否成立；对于连续型，看联合概率密度\(f(x,y)\)是否等于边缘概率密度乘积\(f_X(x)f_Y(y)\)。也可通过计算协方差，若\(Cov(X,Y)=0\)（二维正态时等价于独立）辅助判断。4.讨论二维随机变量