线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-2A\vert=(\)\)A.\(-16\)B.\(16\)C.\(-4\)D.\(4\)2.若矩阵\(A\)的秩\(r(A)=2\)，则（）A.\(A\)的所有二阶子式不为\(0\)B.\(A\)至少有一个二阶子式不为\(0\)C.\(A\)的所有三阶子式不为\(0\)D.\(A\)的所有二阶子式为\(0\)3.\(n\)维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)（\(m>n\)）必定（）A.线性无关B.线性相关C.正交D.可正交化4.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则（）A.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)B.\(\vertA^\vert=\vertA\vert\)C.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n}\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}\)5.若\(A\)是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.\(\vertA\vert^2=1\)B.\(A^T=A^{-1}\)C.\(A\)的行向量组是正交单位向量组D.\(A\)的列向量组是正交单位向量组6.已知矩阵\(A\)与对角矩阵\(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)相似，则\(\vertA-E\vert=(\)\)A.\(0\)B.\(2\)C.\(6\)D.\(12\)7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是对应于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则（）A.当\(k_1=k_2=0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2=0\)B.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)一定是\(A\)的特征向量C.\(\xi_1+\xi_2\)是\(A\)的特征向量D.\(\xi_1\)与\(\xi_2\)线性相关8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A\)的特征值全为\(1\)，则\(A\)一定（）A.可逆B.不可逆C.与\(E\)相似D.与\(E\)合同10.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)线性相关，则（）A.\(\alpha_1\)必可由\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性表示B.\(\alpha_2\)必可由\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)线性表示C.\(\alpha_4\)必可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示D.\(\alpha_3\)必可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)线性表示二、多项选择题（每题2分，共10题）1.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)E.若\(A\)可逆，则\(A\)的行向量组线性无关2.下列关于矩阵秩的说法正确的是（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，则\(r(AB)=r(B)\)D.若\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)E.若\(r(A)=r\)，则\(A\)至少有一个\(r\)阶子式不为\(0\)3.设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)为\(n\)维向量组，则下列说法正确的是（）A.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则\(s\leqn\)B.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则\(s>n\)C.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)个向量线性无关，则\(r\leqs\)D.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中存在\(r\)个向量线性相关，则\(r>s\)E.若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的极大线性无关组含\(r\)个向量，则\(r\leqs\)4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.齐次线性方程组\((A-\lambdaE)x=0\)有非零解D.\(\lambda\)满足\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)E.对于不同的特征值\(\lambda_1,\lambda_2\)，对应的特征向量\(\xi_1,\xi_2\)线性无关5.下列矩阵中是正交矩阵的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)可相似对角化，则（）A.\(A\)有\(n\)个不同的特征值B.\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量C.存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角矩阵D.\(A\)的特征多项式有\(n\)个实根E.\(A\)的秩等于其非零特征值的个数7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵）正定的充分必要条件是（）A.\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(A\)的顺序主子式全大于\(0\)C.存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.对于任意非零向量\(x\)，\(f(x)>0\)E.\(A\)的所有元素都大于\(0\)8.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数E.\(A\)与\(B\)有相同的负惯性指数9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A^2=A\)，则（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)可相似对角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.若\(r(A)=k\)，则\(A\)的特征值\(1\)的重数为\(k\)E.\(A\)的列向量组线性无关10.已知向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，向量组\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，则（）A.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性无关B.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)可由\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性表示D.\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示E.\(r(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\})=r(\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\})\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB=BA\)，则\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则其中必有一个向量能由其余向量线性表示。（）3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）4.矩阵\(A\)的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。（）5.正交矩阵的行列式的值为\(1\)或\(-1\)。（）6.若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征值和特征向量。（）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3-2x_3x_1\)是正定的。（）8.若\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的特征值全为\(0\)，则\(A=0\)。（）9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)与单位矩阵\(E\)合同，则\(A\)是正定矩阵。（）10.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)（\(m\geq2\)）线性相关的充要条件是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)中至少有一个向量是零向量。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充要条件。答：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可表示为若干个初等矩阵的乘积；齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解；非齐次线性方程组\(Ax=b\)有唯一解等。2.说明向量组线性相关和线性无关的定义。答：对于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，若存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，则称向量组线性相关；若仅当\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)时，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)成立，则称向量组线性无关。3.简述求矩阵特征值和特征向量的步骤。答：首先求特征值，计算\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)，得到关于\(\lambda\)的特征方程，其根即为特征值；然后对于每个特征值\(\lambda_i\)，求解齐次线性方程组\((A-\l