三重积分试题及答案

三重积分试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.三重积分$\iiint_{\Omega}dxdydz$中$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的闭区域，积分区域$\Omega$在$xOy$面上的投影区域是（）A.$x+y\leq1,x\geq0,y\geq0$B.$x+y\geq1,x\geq0,y\geq0$C.$x+y\leq1,x\leq0,y\leq0$D.$x+y\geq1,x\leq0,y\leq0$2.设$\Omega$是由球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$所围成的闭区域，则$\iiint_{\Omega}dzdydx$的值为（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$\frac{2}{3}\pi$C.$\frac{1}{3}\pi$D.$\pi$3.若$\Omega$由$z=x^{2}+y^{2}$与$z=1$所围成，则在柱坐标下三重积分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$可表示为（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^{2}}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{0}^{r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{r}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$4.三重积分$\iiint_{\Omega}zdxdydz$，其中$\Omega$是由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$与$z=1$所围成的闭区域，其值为（）A.$\frac{\pi}{12}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{3}$5.已知$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=2$所围成的闭区域，则$\iiint_{\Omega}xdxdydz$的值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.1D.$\frac{4}{3}$6.设$\Omega$是由曲面$z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$与$z=0$所围成的上半球体，则$\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz$化为球坐标下的积分是（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{4}\sin\varphid\rho$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{4}\sin\varphid\rho$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphid\rho$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphid\rho$7.若$\Omega$由$z=1-x^{2}-y^{2}$与$z=0$所围成，则$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐标下为（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{0}^{1-r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^{2}}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{1-r}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{r}^{1-r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$8.三重积分$\iiint_{\Omega}1dxdydz$，其中$\Omega$是由$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1$所围成的闭区域，其值为（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$\frac{8}{3}\pi$C.$\frac{2}{3}\pi$D.$\pi$9.设$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=a(a\gt0)$所围成的闭区域，则$\iiint_{\Omega}x^{2}dxdydz$的值为（）A.$\frac{a^{5}}{60}$B.$\frac{a^{5}}{30}$C.$\frac{a^{4}}{20}$D.$\frac{a^{4}}{10}$10.若$\Omega$由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$与$z=2$所围成，则$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐标下可表示为（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{r}^{2}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{0}^{r}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{0}^{2}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{r}^{r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些情况适合用柱坐标计算三重积分（）A.积分区域$\Omega$由圆柱面、平面及圆锥面围成B.被积函数是$f(x^{2}+y^{2},z)$形式C.积分区域$\Omega$关于$z$轴对称D.被积函数是$f(x,y,z)$形式2.以下哪些是将直角坐标下三重积分化为球坐标下三重积分的变换公式（）A.$x=\rho\sin\varphi\cos\theta$B.$y=\rho\sin\varphi\sin\theta$C.$z=\rho\cos\varphi$D.$dxdydz=\rho^{2}\sin\varphid\rhod\varphid\theta$3.设$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的闭区域，以下关于$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$的积分限正确的是（）A.先对$z$积分，$z$从$0$到$1-x-y$B.再对$y$积分，$y$从$0$到$1-x$C.最后对$x$积分，$x$从$0$到$1$D.先对$x$积分，$x$从$0$到$1-y-z$4.对于三重积分$\iiint_{\Omega}z^{2}dxdydz$，当$\Omega$是由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$与$z=1$所围成的闭区域，以下计算思路正确的有（）A.用柱坐标计算，先确定柱坐标下积分区域B.用球坐标计算，先确定球坐标下积分区域C.先对$x$积分，再对$y$积分，最后对$z$积分D.先对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分5.以下哪些区域可以用球坐标方便地计算三重积分（）A.球体$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2}$B.上半球体$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2},z\geq0$C.圆锥体$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$与球体$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2}$所围成的区域D.由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的区域6.三重积分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐标下的形式为$\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$，以下说法正确的是（）A.$\alpha,\beta$确定了$\theta$的取值范围B.$r_1(\theta),r_2(\theta)$确定了$r$关于$\theta$的取值范围C.$z_1(r,\theta),z_2(r,\theta)$确定了$z$关于$r$和$\theta$的取值范围D.被积函数中的$x,y,z$要替换为$r\cos\theta,r\sin\theta,z$7.若$\Omega$由$z=x^{2}+y^{2}$与$z=4$所围成，关于$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐标下的积分限正确的是（）A.$\theta$从$0$到$2\pi$B.$r$从$0$到$2$C.$z$从$r^{2}$到$4$D.$z$从$0$到$4$8.以下关于三重积分的性质正确的是（）A.$\iiint_{\Omega}(f(x,y,z)+g(x,y,z))dxdydz=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz+\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dxdydz$B.$\iiint_{\Omega}kf(x,y,z)dxdydz=k\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$（$k$为常数）C.若$\Omega_1\subset\Omega$，则$\iiint_{\Omega_1}f(x,y,z)dxdydz\leq\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$D.$\iiint_{\Omega}1dxdydz$等于积分区域$\Omega$的体积9.当计算三重积分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$时，选择合适的坐标系的依据有（）A.积分区域的形状B.被积函数的形式C.计算的难易程度D.个人喜好10.设$\Omega$是由球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z$所围成的闭区域，将其化为球坐标下积分区域正确的是（）A.$\rho$从$0$到$2\cos\varphi$B.$\varphi$从$0$到$\frac{\pi}{2}$C.$\theta$从$0$到$2\pi$D.$\rho$从$0$到$2$三、判断题（每题2分，共10题）1.三重积分$\iiint_{\Omega}dxdydz$的值等于积分区域$\Omega$的体积。（）2.若积分区域$\Omega$关于$x$轴对称，被积函数$f(x,y,z)$是关于$y,z$的偶函数，则$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=2\iiint_{\Omega_1}f(x,y,z)dxdydz$，其中$\Omega_1$是$\Omega$在$x\geq0$的部分。（）3.在柱坐标下，体积元素$dV=rdzdrd\theta$。（）4.球坐标变换中，$\rho$表示点到原点的距离。（）5.若$\Omega$由$z=0,z=1,x=0,y=0,x+y=1$所围成，则$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{0}^{1}f(x,y,z)dz$。（）6.三重积分的计算顺序可以随意交换。（）7.当积分区域$\Omega$是球体时，一定用球坐标计算三重积分最简单。（）8.若被积函数$f(x,y,z)=1$，则三重积分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在数值上等于积分区域$\Omega$的体积。（）9.在直角坐标下计算三重积分时，若先对$z$积分，积分限一定是关于$x,y$的函数。（）10.柱坐标和球坐标都可以将一些在直角坐标下计算复杂的三重积分简化。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述将直角坐标下三重积分化为柱坐标下三重积分的步骤。答案：先确定积分区域$\Omega$在$xOy$面上投影区域$D$，将$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$代入边界曲面方程，确定$r,\theta$范围，$z$范围由原积分区域确定，再将被积函数中的$x,y$替换，体积元素$dxdydz$换为$rdzdrd\theta$。2.说明在什么情况下适合用球坐标计算三重积分。答案：当积分区域是球体、球锥体或被积函数是$f(x^{2}+y^{2}+z^{2})$形式时，适合用球坐