2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：二项分布与超几何分布

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编二项分布与超几何分布一、解答题1．（2025北京石景山高三上期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区.为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个）绿化达标垃圾分类达标绿化达标且垃圾分类达标甲区300250200乙区180150120(1)从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率；(2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望；(3)城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明）2．（2025北京西城高三上期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：男生女生选择不选择选择不选择排球50505030篮球25751565足球7525575乒乓球10901070假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.(1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20；(2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；(3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）3．（2025北京朝阳高三上期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：使用AI大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估计概率.(1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；(2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）4．（2024北京一六六中高三上期末）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：编号正确率1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号试讲讲座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%试讲讲座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：答卷正确率p垃圾分类知识水平一般良好优秀假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．(1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；(2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学期望；(3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明）5．（2024北京丰台高三上期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．(1)当临界值时，求漏诊率和误诊率；(2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望；(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．6．（2024北京昌平高三上期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明7．（2024北京西城高三上期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）8．（2024北京海淀高三上期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.9．（2024北京一六六中高三上期末）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，...，第6组，从第5组和第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适?（只需写出结论）.10．（2023北京丰台高三上期末）非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求a的值；(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）11．（2023北京石景山高三上期末）某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．表1高中生组分组区间频数21014122(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在的概率为，请直接写出k为何值时取得最大值．（结论不要求证明）

参考答案1．(1)(2)分布列见详解，1(3)【分析】（1）根据表格中的数据，利用古典概型计算概率即可；（2）根据表格求得从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，以及从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，再分别求得的概率，即可写出分布列，进而求得数学期望；（3）根据表格中的数据，求出离散型随机变量的方差，从而判断.（学生作答时，直接写结果即可，无需说明理由）.【详解】（1）设事件“抽到的是甲区且绿化达标”，因为该城市试点区的所以居民小区共有个，甲区且绿化达标的居民小区共有个，则，所以，抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为.（2）由题意，的所有可能的取值为.从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为，则，，，所以的分布列为：012所以，数学期望.（3）因为甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区，共个，所以从甲小区里抽取个，从乙小区里抽取个，由表格可知：从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为，因此，随机变量，则.由表格可知：从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为，因此，随机变量，则.所以，.2．(1)结论正确，结论不正确.(2)

0123

数学期望为：(3)故方差相等.【分析】（1）结合题目，利用样本中选择足球的人数的比例求解，故结论A正确.因为选择排球的男生有50人，选择篮球的有25人，故不可能样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数为20.故结论B错误.(2)利用全概率公式求解即可；（3）根据题意有如下关系：结合方差的性质得到两者方差相等.【详解】（1）结论A正确，结论不正确.（2）（2）一男生选择排球课的概率估计为，高一女生选择排球课的概率估计为.随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.则，，所以的分布列为:

0123

故.（3）.3．(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解；（2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解；（3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可.【详解】（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，则估计.（2）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，根据题中数据，.的可能取值为，，，．.的分布列为0123.（3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，则易求，，故.4．(1)(2)答案见解析(3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率.（2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和“良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，再求对应的概率，可得的分布列，并求其期望.（3）利用条件概率求解判断.【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：，所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：.（2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：；正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：.由题意，的值可以为：0,1,2,3且：，.所以的分布列为：0123所以.（3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则.因为，，.所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.5．(1)，(2)分布列见解析；期望为(3)【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出的表达式判单调性求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，．（2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人．可能的取值为0，1，2．，，．随机变量的分布列为012随机变量的期望为．（3）由题，，时，令所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值6．(1)；(2)分布列见解析，期望6900；(3).【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；（2）利用频率分布直方图及离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可；（3）利用二项分布的概率公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知；（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比，任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四种情况，，，，，故的分布列为：90008000700060000.0270.1890.4410.343则；（3）由题意可知，可知当时取得最大值.证明如下：设最大，即，所以，化简得，因为，故.7．(1)(2)分布列详见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算，，来确定正确答案.【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.8．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场.所以的所有可能取值为0，1，2.，，.所以的分布列为012所以.（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以，，故.9．(1)；(2)的分布列见解析，；(3)应定为325合适.【分析】（1）由频率分布直方图分别求出100户居民中第5组和第6组的居