2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：函数的概念与性质（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编函数的概念与性质（人教B版）一、单选题1．（2025北京房山高三上期末）下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．（2024北京顺义高三上期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024北京通州高三上期末）已知函数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024北京丰台高三上期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（

）A．3.5 B．4C．4.5 D．55．（2024北京昌平高三上期末）设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（

）A．充分必要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024北京房山高三上期末）已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题7．（2025北京昌平高三上期末）已知函数若无最大值，则实数的一个取值为;若存在最大值，则的取值范围是.8．（2025北京海淀高三上期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是.9．（2025北京东城高三上期末）函数的定义域为．10．（2024北京朝阳高三上期末）设函数，当时，的最大值为；若无最大值，则实数的一个取值为.11．（2024北京大兴高三上期末）设函数的定义域为，且满足如下性质：（i）若将的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于轴对称，（ii）若将图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是.12．（2023北京东城高三上期末）设函数，当时，的值域为；若的最小值为1，则的取值范围是.13．（2023北京房山高三上期末）若函数存在最小值，则的一个取值为；的最大值为.14．（2023北京石景山高三上期末）函数，给出下列四个结论①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④规定，其中，则．其中，所有正确结论的序号是．15．（2023北京石景山高三上期末）函数的定义域为．

参考答案1．C【分析】利用函数的图像求解，选项A：利用的对称性和函数的图像变换得到，选项B：利用对号函数的对称性求解即可，选项C：利用绝对值函数的图像求解即可，选项D：利用三次函数的对称性求解即可.【详解】选项A：是由函数向左平移个单位得到，因为是中心对称图形，所以也是中心对称图形，选项B：故对号函数关于原点中心对称，选项C：易知是偶函数，且在单调递减，在单调递增，不是中心对称图形，选项D：三次函数关于中心对称，因为.故选：C.2．B【分析】利用函数的单调性判断即可.【详解】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B3．A【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.【详解】由题意，在中，对称轴，∴当时，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.4．C【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求在上的最大值；再根据的取值范围的不同，讨论函数在上的单调性，求函数的最大值.【详解】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值.当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上也是递增，所以；当时，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以或，若，则；若，则;当时，，（因为），所以函数在上递增，在上递减，所以.综上可知：的最小值为.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.5．B【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】若，则，作出函数图象，

，由图象可知成立，但显然不为减函数；若为减函数，又，则，所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.故选：B6．C【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，因此，所以“”是“”的充要条件.故选：C7．（答案不唯一，满足即可）；【分析】由一次函数单调性以及值域问题可得即可；再对二次函数单调区间进行分类讨论解不等式即可得出结果.【详解】易知当时，函数单调递减，此时不存在最大值，因此只需满足即可，可取；若存在最大值，则，当时，此时的最大值为，而单调递增，需满足，解得；当时，此时的最大值为，而单调递增，需满足，即；综上可得，.故答案为：（答案不唯一，满足即可）；；8．【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】当时，在上单调递增，且当时，显然不存在最小值，故舍去；当时，，则当时，所以的最小值为，符合题意；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，当时，则在上单调递减，要使函数存在最小值，则，解得，此时；综上可得的取值范围是.故答案为：9．【分析】利用分式和根式有意义求解即可.【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：10．（答案不唯一）【分析】当时，，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数的最大值；按照和分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可.【详解】当时，，当时，，有，从而，即当时，有最大值1；当时，，即当时，有最大值4；综上，当时，有最大值4；当时，函数在上单调递增，则存在最大值为；当时，函数在先单调递减，再单调递增，若函数无最大值，则，解得，当时，函数在单调递减，若函数无最大值，则，解得，综上，当无最大值时，，故实数的一个取值为（答案不唯一）.故答案为：；（答案不唯一）11．①③④【分析】利用函数的对称性、奇偶性与周期性即可判断各结论是否正确.【详解】由（i）可得，即有关于对称；由（ii）可得，即，用代替，有，即关于对称；由关于对称，故，即①正确；由关于对称的直线为，故关于对称，则不一定等于，故②不正确；对，令，则有，对，令，则有，故，故③正确；对，即有，对，即有，即，即，则，即有，故周期为，则，对，令，则，即，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题的关键是由题意去得到函数的对称性，并根据对称性去推导函数的奇偶性与周期性，遇到此类问题一般采用赋值法对等式左右进行变形，从而得到函数的其它性质.12．;.【分析】当时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得与不符合题意；当时，,画出图象，设与在上的交点横坐标为，讨论可得时，的最小值为1，求出，解不等式即可求的取值范围.【详解】若，则，当,单调递增，所以；当,单调递减，所以.故的值域为.当时，的值域为，不符合题意；当时，在上的最小值为，不符合题意；当时，,画出的图象，如图所示：设与在上的交点横坐标为，又，当时，由图象可得无最小值；当时，由图象可得有最小值，由，可得，故可得，所以，即，化简得,解得.故答案为:;.【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．13．0（答案不唯一）4【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论m范围及存在最小值确定m的范围，进而确定答案.【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0；对于，开口向上且对称轴为，所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为；综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增，此时恒成立，所以不存在最小值；当时，在上递减，上递增，此时最小值为0；当时，在上递减，,上递增，且，又，若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时不存在最小值；综上，，故m的最大值为4.故答案为：0（答案不唯一），414．①②④【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】①：当时，，当时，该函数单调递增，所以有，当时，因为，所以，因此当时，；当时，，此时函数单调递增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正确；②：不妨设，由，所以该函数是实数集上的增函数，