2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：排列与组合

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编排列与组合一、单选题1．（2025北京石景山高三上期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（

）A． B． C． D．2．（2024北京丰台高三上期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（

）A．18 B．19C．31 D．373．（2023北京海淀高三上期末）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2024北京西城高三上期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中．(1)当时，写出所有满足的数对序列A；(2)当时，证明：；(3)当为奇数时，记的最大值为，求．

参考答案1．B【分析】由题意可知，集合有4个元素且包含于集合，求出没有特殊要求的集合的个数，再求出不符合“存在，使得”条件的集合的个数，从而得到本题答案.【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个，设，使得，则这样的集合有，，，共计5个，∴若集合存在，使得时的个数有个.故选：B.【点睛】方法点睛，本题是一个有特殊要求的排列组合，正面考虑情况比较复杂，那么可以用对立事件的方式来解答.2．B【分析】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为①每人得到一张，一张，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为四组，再分给四个人，则有种分法③将这八张纪念卡分为四组，再分给四个人，则有种分法共有：种.故选：B.3．C【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.【详解】由题意得,把全年级6个班分为甲､乙两组共有种方法，高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组共有种方法，所以高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是，故选:C.4．(1)或(2)证明见详解(3)【分析】（1）利用列举法即可求得正确答案；（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得；（3）先证明，然后利用累加法求得.【详解】（1）依题意，当时，有或；（2）当时，因与不同时在数对序列中，故，即每个数至多出现5次.又因，所以只有对应的数可以出现5次，故.得证.（3）当是奇数时，先证明.因与不同时在数对序列中，所以,当时，构造恰有项，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1.对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1，那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以，其次，对每个不大于的偶数,将如下4个数对并成一组：，共得到组，将这组对数以及按如下方式补充到的后面，即：,此时恰有项，所以.综上，当是奇数时，.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解