2023-2025北京高三一模数学汇编：函数的应用（二）

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编函数的应用（二）一、单选题1．（2025北京房山高三一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（

）A．300 B．450 C．600 D．7502．（2025北京门头沟高三一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（

）A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点3．（2025北京石景山高三一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（

）A． B． C． D．4．（2025北京平谷高三一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（

）A． B． C． D．5．（2024北京丰台高三一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．

某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（

）A．6 B．7 C．8 D．96．（2023北京西城高三一模）设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023北京门头沟高三一模）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（

）A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.8．（2023北京平谷高三一模）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2025北京通州高三一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为；若有三个零点，则实数a的取值范围是.10．（2024北京朝阳高三一模）已知函数，若实数满足，则；的取值范围是.11．（2024北京门头沟高三一模）设，函数，给出下列四个结论：①当时，的最小值为；②存在，使得只有一个零点；③存在，使得有三个不同零点；④，在上是单调递增函数．其中所有正确结论的序号是．12．（2023北京海淀高三一模）设函数①当时，；②若恰有2个零点，则a的取值范围是．13．（2023北京房山高三一模）设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是.

参考答案1．C【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解.【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以，若，则.故选：C.2．DD【分析】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，分类讨论即可得出结论.【详解】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，得到函数图象当时；；；当时；；；由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点，对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误；对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误；对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误;对于选项D，当时,有5个零点，D正确.故选：D.3．A【分析】根据题设函数，代入数据计算即可.【详解】由题意，当时，，当时，，则，则，即.故选：A.4．A【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可；【详解】由题意可知：，即，即，设消除的污染物对应事件为，即，设消除的污染物对应事件为，即，两式相除可得：，即，所以：，即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，故选：A5．C【分析】设一张规格纸张的面积为，从而得到一张、、纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断.【详解】依题意张规格纸张可以裁剪出张，或张或张，设一张规格纸张的面积为，则一张规格纸张的面积为，一张规格纸张的面积为，一张规格纸张的面积为，依题意总共需要的纸张的面积为，所以至少需要提供张规格纸张，其中将张裁出张和张；将张裁出张；将剩下的张裁出张，即共可以裁出张、张、张.故选：C6．D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D7．D【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A，30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，令，此时，故C错误；对于D，1000的听觉下限阈值为0，令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.故选：D.8．C【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案.【详解】解：由题意可得函数的定义域为，因为与在均为单调递增函数，所以在为单调递增函数，因为，所以的解集为.故选：C.9．1（答案不唯一），【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案.【详解】因为，则时，，在上单调递增，此时时，，在上单调递增，此时，故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，结合，则，故a的一个取值可为1；时，，令，则，解得或；时，，令，则，解得，当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；故实数a的取值范围是，故答案为：1（答案不唯一），10．【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解.【详解】由，故在、上单调递减，在上单调递增，且有，，，，，；由，则，由时，，则关于对称，故，则.故答案为：；.11．②③【分析】分析函数在上的取值范围即可判断①，对零点在、讨论，即可判断②，③，使得函数在各段单调性，且在断点左侧的函数值不大于断点右侧函数值，即可判断④.【详解】因为，当时，则函数在上单调递增，又函数的对称轴为，对于①：当时，当时，所以，即，故①错误；对于②：当零点位于时，则，解得，此时，若，即时在上单调递增，此时只需，解得或，所以，若，即时，此时，则在上至少还有个零点，故不符合题意，所以；当零点位于，此时在上无零点，则，解得，此时且，要使函数只有一个零点，则只需，解得，又，显然无解，所以此种情况不符合题意；综上可得当时只有一个零点，故②正确；对于③：使得有三个不同零点，则必然是在上有一个零点，在上有两个零点，则，解得，所以当时有三个不同零点，故③正确；对于④：若在上是单调递增函数，则，解得，所以当时在上是单调递增函数，故④错误.故答案为：②③【点睛】关键点点睛：第②问关键是分零点所在区间讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，求出参数的取值范围，第③问关键是分析得到在上有一个零点，在上有两个零点.12．【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.【详解】当时，，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故答案为：；.13．②③④【分