2023-2025北京高三一模数学汇编：函数章节综合（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编函数章节综合（人教B版）一、单选题1．（2025北京东城高三一模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（

）

A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．（2025北京东城高三一模）下列函数中，定义域为的函数是（

）A． B． C． D．3．（2025北京房山高三一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（

）A．300 B．450 C．600 D．7504．（2024北京西城高三一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．5．（2024北京丰台高三一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．

某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（

）A．6 B．7 C．8 D．96．（2023北京丰台高三一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（

）A．3 B． C．2 D．二、填空题7．（2025北京通州高三一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为；若有三个零点，则实数a的取值范围是.8．（2025北京西城高三一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论：①函数为单调函数；②对于任意的，或；③集合（为常数）中有且仅有一个元素；④满足的点构成的区域的面积为8．其中，所有正确结论的序号是．9．（2025北京石景山高三一模）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：①若，则；②函数与函数无公共点；③；④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是．10．（2024北京丰台高三一模）已知函数具有下列性质：①当时，都有；②在区间上，单调递增；③是偶函数．则；函数可能的一个解析式为．11．（2023北京延庆高三一模）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是．12．（2023北京顺义高三一模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是．

参考答案1．A【分析】对于A，由，结合函数的单调性可得，可判断A；结合A，以及BCD的条件逐项计算判断即可.【详解】因为，所以，

因为图象是上凹函数，所以，即故A正确；由A知，使，则，即，由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误；由A知，使，可得，结合，可得，由的单调递减可得，故，故C错误；由A知，存在，使，可得，故存在，使，由函数的单调性可知时，，当时，，当时，，当时，，故D错误.故选：A.2．B【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误；对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误；故选：B.3．C【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解.【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以，若，则.故选：C.4．C【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由，故，故，由对勾函数性质可得，，且，综上所述，有.故选：C.5．C【分析】设一张规格纸张的面积为，从而得到一张、、纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断.【详解】依题意张规格纸张可以裁剪出张，或张或张，设一张规格纸张的面积为，则一张规格纸张的面积为，一张规格纸张的面积为，一张规格纸张的面积为，依题意总共需要的纸张的面积为，所以至少需要提供张规格纸张，其中将张裁出张和张；将张裁出张；将剩下的张裁出张，即共可以裁出张、张、张.故选：C6．B【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.7．1（答案不唯一），【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案.【详解】因为，则时，，在上单调递增，此时时，，在上单调递增，此时，故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，结合，则，故a的一个取值可为1；时，，令，则，解得或；时，，令，则，解得，当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；故实数a的取值范围是，故答案为：1（答案不唯一），8．①②④【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集；④令，，其中，，将问题转化为，找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积.【详解】，且，则，则，即，则在上单调递增，故①正确；当，时，，故当时，，有，，此时，当时，，，，此时，故②正确；当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误；设，，其中，，则，因，则，则，在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1，由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8.故答案为：①②④9．①②④【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④．【详解】对于①：若，则，则，，即，故①正确；对于②：函数与函数的图象如图所示，由图可得函数与函数无公共点，故②正确；对于③：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，故③错误；对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为，综上点组成区域的面积为，故④正确．故答案为：①②④.10．（答案不唯一）【分析】令即可求出，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.【详解】因为当时，都有，令可得，解得，不妨令，，则，所以在上单调递增，满足