2023-2025北京高三一模数学汇编：离散型随机变量的数字特征

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编离散型随机变量的数字特征一、解答题1．（2025北京海淀高三一模）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；(2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；(3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．2．（2025北京丰台高三一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.（i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；（ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）3．（2025北京西城高三一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为．(1)从年至年这年中随机抽取年，求该年值超过的概率；(2)现从年至年这年中依次随机抽取，每次抽取个年份，若该年的值超过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到值超过的年份．记抽取的次数为，求的分布列和数学期望；(3)记年至年这年新能源汽车销量数据的方差为，且这年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）4．（2025北京顺义高三一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：试卷序号123456789101112系统甲评分828876928766756990588684系统乙评分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483(1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；(2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；(3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明）5．（2025北京延庆高三一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.时间地点周一周二周三周四周五周六周日康庄镇刁千营村√√康庄镇榆林堡村√√康庄镇小丰营村√√延庆镇付余屯村√√延庆镇东小河屯村√√√√√√√香营乡屈家窑村√旧县镇米粮屯村√√旧县镇东羊坊村√永宁镇古城北街√√√√√√√(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；(3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）6．（2024北京房山高三一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.306.505.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明）7．（2024北京门头沟高三一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处(分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。项目斋堂出口清水出口安家庄出口雁翅出口火村出口西台子出口上班4082532旅游30201010128探亲161010554(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系．(结论不要求证明）．8．（2024北京丰台高三一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：）第1组（只）34120第2组（只）13231(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）9．（2024北京延庆高三一模）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：12月16日星期六9:30单人雪橇第1轮10:30单人雪橇第2轮15:30双人雪橇第1轮16:30双人雪橇第2轮12月17日星期日9:30单人雪橇第3轮10:30单人雪橇第4轮15:30团体接力(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望；(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“”表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系．10．（2023北京房山高三一模）某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号讲座前讲座后(1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；(2)从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.11．（2023北京朝阳高三一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）12．（2023北京东城高三一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明）13．（2023北京丰台高三一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．14．（2023北京石景山高三一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）

参考答案1．(1)；(2)分布列见解析，；(3)①，理由见解析.【分析】（1）根据题意，直接写出即可；（2）求得的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（3）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断.【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则.（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为；易知，，，，，故的分布列如下所示：10故.（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，采用方案①：的取值为：，,故采用方案①，总经济损失的期望；采用方案②：的取值为：，,故采用方案②，总经济损失的期望；采用方案③：的取值为：，，故采用方案③：总经济损失的期望.综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小.2．(1)(2)（i）分布列见解析，；（ii）甲【分析】（1）根据古典概型计算求解；（2）（i）先应用独立事件乘法公式计算概率，再得出分布列，进而计算数学期望即可；（ii）根据古典概型判断即可.【详解】（1）上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟.设事件“从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，这趟列车的运行时长不超过10小时”，则.（2）（i）甲选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，乙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，丙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为：X0123PX的数学期望.（ii）甲.列车运行时长最短为7小时17分，甲选取的列车运行时长最短的概率为，乙选取的列车运行时长最短的概率为，丙选取的列车运行时长最短的概率为，所以甲选取的列车运行时长最短的概率最大.3．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论；（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可.【详解】（1）设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件，由图表知，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过，所以．（2）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年，所以随机变量的所有可能取值为，，．则，，．所以的分布列为：故的数学期望．（3）从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为，所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差，所以从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为，从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差，所以，所以.4．(1)(2)分布列见解析，1(3)【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解；（3）由方差计算公式即可求解；【详解】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，3，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3），证明如下：的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：，的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：，所以.5．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式得解；（2）求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可；（3）分别计算两个随机变量的期望，即可得解.【详解】（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件A，由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为,周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为，所以.（2）随机变量的所有可能取值为，根据题意，，，随机变量的分布列是:012数学期望（3）由题意，可能取值为，，，，故；由题意，可能取值为，，，，故，所以.6．(1)(2)(3)或.【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望；（3）当两人成绩满足的模型，方差相等.【详解】（1）甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为；（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X可能的取值为0，1，2，3，，，，，估计X的数学期望；（3）甲的6次试跳成绩从小到大排列为：，设这6次试跳成绩依次从小到大为，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为，当时，满足，成立；当时，满足，成立.所以或.7．(1)(2)见详解(3)【分析】（1）根据古典概型在清水出口下高速的人数比总样本数即可得到概论。（2）由题意，随机变量的所有可能为0，1，2，3，分别求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。（3）通过对，方差的估算，即可得出。【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：，（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为；从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为，由题设，的所有可能取值为0，1，2，3.,，，，所以随机变量X的分布列为：0123所以X的数学期望.（3）解：8．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出，，，，从而求出、，即可比较.【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，所以.（2）依题意的可能取值为、、，且，，，所以的分布列为：所以.（3）依题意可得，，所以，所以，又，，所以，所以，所以.9．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据分类乘法计数原理及古典概型求解；（2）根据题意求出概率，列出分布列，求出期望即可；（3）分别计算，即可得解.【详解】（1）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件.

由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．所以．（2）随机变量的所有可能取值为．根据题意，，，．随机变量的分布列是：数学期望．（3）由题意，，，所以，；因为，，所以，；所以.10．(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)答案见解析【分析】（1）共10份书卷，准确率低于有份，计算概率即可.（2）的取值可能是，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.（3）讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案.【详解】（1）共10份书卷，准确率低于有份，故概率为；（2）正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，的取值可能是，；；.故X的分布列为：故数学期望为.（3）此次公益讲座的宣传效果很好，讲座前的平均准确率为：；讲座后的平均准确率为：；平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.11．(1)(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为012故的数学期望（3），理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.12．(1)(2)的分布列为所以.(3)【分析】（1