2023-2025北京高三一模数学汇编：抛物线

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编抛物线一、单选题1．（2025北京通州高三一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（

）A．16 B．6 C． D．42．（2025北京海淀高三一模）已知抛物线的焦点为，点在上，，则（

）A．1 B．C． D．23．（2025北京石景山高三一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（

）A． B． C． D．4．（2025北京丰台高三一模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（

）A． B．1 C．2 D．45．（2025北京顺义高三一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（

）A． B． C． D．26．（2025北京延庆高三一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024北京延庆高三一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（

）A． B．C． D．8．（2024北京西城高三一模）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（

）A． B．C． D．9．（2023北京顺义高三一模）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（

）A．1 B．2 C．4 D．810．（2023北京海淀高三一模）已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（

）A．2 B．3 C．4 D．511．（2023北京房山高三一模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（

）A． B． C． D．12．（2023北京丰台高三一模）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（

）A．1 B． C．2 D．13．（2023北京石景山高三一模）已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．314．（2023北京平谷高三一模）已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（

）A． B． C．4 D．二、填空题15．（2025北京通州高三一模）已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.其中正确结论的序号是.16．（2025北京东城高三一模）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为.17．（2025北京西城高三一模）设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到的距离为．18．（2025北京房山高三一模）已知是抛物线的焦点，则的坐标为，设是直线上一点，直线与抛物线的一个交点为，若，则点到轴的距离为.19．（2025北京门头沟高三一模）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，若，则焦点到其准线的距离为.20．（2025北京平谷高三一模）抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则.21．（2025北京朝阳高三一模）已知点在抛物线上，则抛物线C的焦点F的坐标为；以F为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是．（填“相交”“相切”或“相离”）22．（2024北京朝阳高三一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则；设为原点，点在抛物线上，若，则.23．（2024北京东城高三一模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则.24．（2024北京门头沟高三一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为：．25．（2024北京丰台高三一模）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为．26．（2023北京西城高三一模）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则．27．（2023北京朝阳高三一模）经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为．28．（2023北京石景山高三一模）抛物线：的焦点坐标为，若抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为.

参考答案1．C【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得．【详解】由题意可得，抛物线的焦点，由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，设，联立方程，可得，解得，由抛物线的定义可知，.故选：C.2．C【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出p的值，可得出方程，点在曲线上，代入可得解.【详解】由抛物线定义知：，解出，故抛物线，又点在上，则，，故选：C.3．C【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出的取值范围.【详解】抛物线的准线方程为，又点在上且，则，所以，即，故A错误，C正确；又，所以，所以，故B、D错误.故选：C4．C【分析】利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解.【详解】由已知可得抛物线的准线方程为，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，解得，故选：C.5．A【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可.【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点，设，则，因，则，得，则，则，故直线的斜率为，直线的方程为，与联立得，解得，则直线：，，得故点到直线的距离为，故的面积为.故选：A6．A【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论.【详解】由，得，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意；当时，，所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或，所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线只有一个公共点不能推出，“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件，故选：A7．B【分析】根据抛物线的定义求解.【详解】由抛物线可知，准线方程为，因为到直线的距离为，所以到抛物线准线的距离为，由抛物线定义知，.故选：B8．C【分析】由对称性可得曲线方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线与抛物线关于直线对称，所以将互换后可得抛物线方程为，即，所以的准线方程为，故选：C.9．C【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，由条件列方程求.【详解】抛物线的准线方程为，双曲线的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点，所以，所以，故选：C.10．D【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.【详解】抛物线的准线方程为，因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，所以等于点到直线的距离，所以，故选：D.11．D【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离．【详解】抛物线的准线为，由题意，设，，，，则点P到原点的距离为，故选：D12．C【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.【详解】如图示：过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由抛物线的定义可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故选：C13．C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足的动点的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案.【详解】对于①，如图在正方体中，连接，在正方体中，因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面平面，平面，点总满足，所以平面，所以，则动点的轨迹是一条直线，故①正确；对于②，平面,平面，则点到直线等于到的距离，又到平面的距离等于到的距离，则到的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线，故②正确；对于③，点到直线的距离等于到的距离，所以到的距离与到点的距离之和为2，即，则点的轨迹为线段，故③不正确.所以正确的命题个数是2.故选：C.14．D【分析】由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长.【详解】抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得：.则，此时，则.故选：D15．①③④【分析】选项A，用，代替验证①；取，即可求解方程的根判断②，根据题中条件，得出的范围，即可判断③正确；根据题意，可分析，时的情况，确定第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1，根据对称性，即可判定④.【详解】将代入，整理得，所以曲线关于原点对称，同理将代入方程整理后其方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；取，则，故，故（增根已舍去），因此②错误，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为；故③正确；令，可得，令，因为，所以函数有两个零点，又因为，，所以两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上当时，同理当时，即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，所以第一象限内的面积应大于1；由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故④正确.故答案为：①③④16．2（答案不唯一）【分析】根据抛物线性质有，结合已知得，即可得.【详解】由抛物线的性质知，又，即.所以的一个值可以为2.故答案为：2（答案不唯一）17．3【分析】先求出，然后得出抛物线的准线方程，即可得出答案.【详解】由题可得，所以，所以准线，所以上一点到的距离为，故答案为：3.18．1【分析】由抛物线性质可知焦点坐标；过作垂直于直线，由比例关系得出到轴的距离.【详解】抛物线的焦点，准线.过作垂直于直线于，则轴.设直线与轴交于点，因为，所以，，由轴得，，所以，因此点到轴的距离为1.

故答案为：;1.19．2【分析】求得的纵坐标，进而可求得，可得结论.【详解】抛物线的焦点为，因为过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，所以，将，代入抛物线方程，可得，所以，解得，焦点到其准线的距离为.故答案为：.20．/0.5【分析】由抛物线的定义可知，过作轴的垂线垂足是焦点，即可得到答案.【详解】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴，抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以，若轴，则垂足为点，即，故答案为：21．相切【分析】第一空由点在抛物线上代入可得抛物线方程，进而得到焦点坐标；第二空由两点间距离公式求出圆的半径与焦点到准线的距离相比较可得.【详解】由题意可得，所以，所以抛物线C的焦点F的坐标为；由两点间距离公式可得，即为圆的半径，又焦点到准线的距离为2，所以为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切.故答案为：；相切.22．/0.5【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.【详解】由抛物线准线方程为，故，则，，由在抛物线上，故，由，可得，即，即.故答案为：；.23．【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出，进而可得出.【详解】由抛物线，可得，设，则，故，所以，所以.

故答案为：；.24．4【分析】由抛物线的性质得到到的准线的距离，然后解出的横坐标，最后求出到直线的距离即可.【详解】由点在上，的焦点为，准线为，知到直线的距离等于.而，故到直线的距离为.设的坐标为，由到直线的距离为，知，所以或.而，故.所以到直线的距离为.故答案为：.25．【分析】根据抛物线定义可得，结合中点坐标公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：；设，由抛物线定义知：，，线段的中点到轴的距离为.故答案为：.26．1【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入求解.【详解】设，则,即