（模块化思维提升）专题1-相遇问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练

专题1相遇问题小升初数学思维拓展行程问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．2、小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和已知的一个速度．【典例一】甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，丙每小时行6千米．一天，甲从地，乙、丙从地同时相向而行，途中甲、乙相遇后各自继续前行，又经过小时甲遇到丙。，两地相距多少千米？【分析】设甲、乙相遇用的时间为小时，甲、乙相遇后甲与丙的路程是乙与丙行的路程差即千米，再根据路程速度时间，求出，再求出，两地路程即可。【解答】解：设甲、乙相遇用的时间为小时，（千米）答：、两地相距36千米。【点评】本题主要考查了相遇问题，解题的关键是求出甲、乙相遇用的时间。【典例二】甲、乙两地相距1100米，小红和小明分别从两地同时相对而行，5分钟后相遇，小红每分钟走100米，小明每分钟走多少米？（综合算式）【分析】先根据速度和总路程相遇时间，求出两人的速度和，再减小红的速度即可解答．【解答】解：（米答：小明每分钟走120米．【点评】解答本题的关键是依据等量关系式：速度路程时间，求出两人的速度和．【典例三】甲乙两地相距，客车从甲地到乙地需要4小时，货车从甲地到乙地需要6小时．两车同时从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时后相遇？【分析】先依据速度路程时间，分别求出客车和货车的速度，再求出两车的速度和，最后运用时间路程速度即可解答．【解答】解：（小时）答：2.4小时后相遇．【点评】本题还可以这样解答：把两地间的距离看作单位“1”，．一．选择题（共8小题）1．甲从地，乙从地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离地3千米处第二次相遇，则、两地相距千米．A．10 B．12 C．18 D．152．甲乙两辆汽车分别从、两地同时开出，相向而行，6时后在距中点15千米处相遇．已知甲车速度是乙车速度的，求、两地间的距离．正确的列式是A． B． C． D．3．甲、乙两人由相距的两地同时出发相向而行，甲步行每小时走，乙骑自行车，后两人相遇，则乙的速度为每小时A． B． C． D．4．小松、小菊比赛登楼梯．他们在一幢高楼的地面（一楼）出发，到达28楼后立即返回地面．当小松到达4楼时，小菊刚到达3楼，如果他们保持固定的速度，那么小松到达28楼后返回地面途中，将于小菊在几楼相遇．（注：一楼与二楼之间的楼梯，均属于一楼，以下类推．A．20 B．21 C．22 D．235．两列高铁分别从城和城相对开出，2小时相遇，城开出的高铁平均速度是240千米时，城开出的高铁平均速度是264千米时。求、两城相距多少千米，下列算式错误的是A． B． C． D．6．明明和爸爸一起去圆形街心花园散步，明明走一圈需要8分钟，爸爸走一圈需要12分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，后相遇。A．8分钟 B．12分钟 C．4.8分钟 D．4.5分钟7．，两地的铁路长660千米，甲、乙两列火车分别从，两地同时出发，相向而行，甲车每时行驶60千米，乙车每时行驶72千米。相遇地点距离中点千米。A．300 B．360 C．60 D．308．如图，有一段山路，从到是2千米的上坡路，从到是4千米的平路，从到是2.4千米的上坡路．欢欢和笑笑分别从、同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米，他们经过_______小时相遇．A．0.2 B．0.3 C．1.2 D．1.3二．填空题（共8小题）9．两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，那么甲队的速度是乙队的速度是．10．变形金刚擎天柱和大黄蜂分别从、两地同时出发，相向而行，以机器人身份出发时，他们的速度比是，相遇后变形为汽车人，擎天柱速度提高大黄蜂提高，当擎天柱到达地时，大黄蜂离地还有83千米．那么、两地相距千米．11．环形跑道长400米．甲和乙同时从同一地点反向出发，相遇时两人共跑了米；甲和乙同时从同一地点同向出发．当甲追上乙时，甲比乙多跑了米．12．甲乙两人在圆形跑道上从同一点出发，按相反方向运动，他们的速度分别是每秒2米和每秒6米．如果他们同时出发并当他们在点第一次再相遇为止，从出发到结束他们除点外共相遇了次．13．大长腿和小短腿从大长腿家一起开车去海边，大长腿到海边后发现忘带泳衣了，立即原路返回，在距离海边32千米处与小短腿相遇．已知大长腿每小时行20千米，小短腿每小时行12千米．那么，大长腿家与海边相距千米．14．甲、乙两人步行从、两地同时相向出发，甲每分钟走40米，乙每分钟走46米，走5分钟后，两人还相距52米，则、两地的距离是米．15．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快，开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲刚好下到半山腰，求甲从出发到返回出发点共需小时．16．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间和兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为400米的圆形跑道，同时同向同地出发，问，当他们出发后，第一次相遇时狗跑了米．三．解答题17．甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，在距中点12千米处相遇，已知甲汽车每小时行24千米，乙汽车每小时行36千米．相遇后，乙汽车继续前进多少小时后到达目的地？18．甲乙两车同时从、两地相对开出，经8小时相遇．相遇后两车继续前进，甲车又用了6小时到达地．乙要几小时才能从地到达地？19．客车从甲地到乙地要20小时，货车从乙地到甲地要30小时，两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了450千米，甲、乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行了多少千米？20．西安和合肥是“：一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？21．甲、乙两车分别从、两地同时出发相对开出，4小时相遇，相遇后两车都以各自原速继续行驶，已知甲车又行驶了5小时到达地，乙车又行多少时间到达地？22．两辆汽车分别从两城同时相向而行，甲车每小时行39千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点40.5千米处相遇．求相遇的时间？23．、两车同时从相距380千米的两地出发相向而行，车的速度是45千米时，车的速度是50千米时．相遇时、两车各行驶了多少千米？24．甲乙两车从两地相对开出，甲车每小时行48千米，每小时比乙车多行6千米，几小时后在距离中点24千米处相遇，求两地的路程．25．南安到梅山的距离大约是28千米．每天早上从南安出发的客车以每小时68千米的速度开往梅山，与此同时有一辆从梅山出发的客车以每小时72千米的速度开往南安．两车什么时候在途中相遇？相遇时离梅山有多远？26．小明和小美同时从跑道的一端出发同向而跑，这条跑道长200米，小明跑到另一端后马上返回，在途中与小美相遇，从出发至相遇一共用了4分钟，已知小明平均每分钟跑60米，小美平均每分钟跑多少米？27．甲、乙两个运动员在操场上练习跑步．甲运动员4分钟跑完一圈，乙运动员6分钟跑完一圈，甲、乙两个运动员同时在同一起点起跑．至少要多少分钟后两人在这一起点再次相遇？

参考答案一．选择题（共8小题）1．【分析】第二次相遇两人总共走了3个全程，第一次相遇地6千米，所以甲一个全程里走了6千米，三个全程里应该走千米，由于到达对方起点后立即返回，在离地3千米处第二次相遇，则甲走了一个全程多了回来那一段，就是距地的3千米，所以全程是千米．【解答】解：，（千米）．即、两地相距15千米．故选：．【点评】在此相遇问题中，第一次相遇两人共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程．2．【分析】根据题意知：当两车相遇时，快车就比慢车多行了千米，因两车相遇时，用的时间相同，所以它们速度的比和路程的比相等，所以快车比慢车多行了份的路程，总路程是份．据此解答．【解答】解：（千米）答：、两地间的距离为170千米．故选：．【点评】本题的关键是先求出两车相遇时快车比慢车多行的路程，进而解决问题．3．【答案】【分析】可设乙的速度为，根据相遇时甲走的路程乙行走的路程总路程列出方程求解即可。【解答】解：设乙的速度为，根据题意得：答：乙的速度为每小时。故选：。【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程。4．【分析】根据小松到达4楼时，小菊刚到达3楼，可得两人的速度之比，可判断出两人在相遇时所走的路程，除以各自的速度，根据相遇时时间相等得到关系式列出方程求解，进而判断所在楼层即可．【解答】解：因为当小松到达4楼时，小菊刚到达3楼，所以小松与小菊的速度之比为，设小松到达28楼后返回地面途中，将与小菊在楼相遇，小松的速度为，小菊的速度为．相遇时小松走了，小菊走了，根据相遇时时间相等列出方程得：，，，，；因为一楼与二楼之间的楼梯，均属于一楼，所以他们在22楼相遇．故选：．【点评】本题得到两人的速度之比及判断在几楼相遇是解决本题的易错点；根据所用时间相等得到关系式是解决本题的关键．5．【答案】【分析】已知两车的速度和相遇时间，求两地之间的距离，可以分别用两车的速度乘相遇时间，求出两车行驶的路程再相加；也可以先求出两车的速度和，再用速度和乘相遇时间。【解答】解：求、两城相距多少千米，可以列式为：；；；。选项是错误的。故选：。【点评】本题考查了相遇问题的数量关系：速度和相遇时间总路程；甲车速度相遇时间乙车速度相遇时间总路程。6．【答案】【分析】将圆形花园的一圈长看作单位“1”，根据速度路程时间，求出两人的速度，然后再根据相遇时间总路程速度和，求出相遇时间即可。【解答】解：将圆形花园的一圈长看作单位“1”，则明明的速度为：，爸爸的速度为：，相遇时间为：（分钟）答：两人同时同地出发，相背而行，4.8分钟后相遇。故选：。【点评】本题主要考查了相遇问题，把握总路程、相遇时间与速度和之间的关系，是本题解题的关键。7．【答案】【分析】先根据路程速度和相遇时间，求出相遇时两车行驶的时间；因为甲车的速度小于乙车的速度，所以相遇时甲车还没行驶到中点；用660千米除以2减去甲车行驶的路程就是相遇点距离中点的千米数。【解答】解：（小时）（千米）答：相遇地点距离中点30千米。故选：。【点评】本题属于相遇问题，需灵活掌握路程、速度和与相遇时间之间的关系。8．【分析】此题应先求出欢欢上坡和笑笑下坡分别用的时间，欢欢上坡用的时间是：（小时），笑笑下坡用的时间是：（小时）；因为所以当笑笑走完2.4千米的下坡路时，欢欢还没有走完2千米的上坡路，在欢欢走上坡路的同时，笑笑又走了的平路，（千米）；这时欢欢走完了上坡路，两人都走平路，平路还有：（千米），又因为平路上速度都是每小时4千米，因此走完平路所用的时间为（小时）；那么两人相遇时间就小时．【解答】解：①欢欢上坡用的时间是：（小时），②笑笑下坡用的时间是：（小时）；③笑笑先走了平路的路程：（千米）；④还剩下的路程（最后欢欢和笑笑共同走的平路）（千米）；⑤剩下路程需要的时间：（小时）；⑥相遇共用时间：（小时）；答：两人1.2小时后相遇．故选：．【点评】此题条件较复杂，注意理清思路，细细分析．本题的关键在于确定相遇的位置．二．填空题（共8小题）9．【分析】由于从同学们出发到相遇共飞行了30千米，则他们的相遇时间为小时，两地相距30千米，则两队同学的速度和为千米，又甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，根据和差问题公式可知，甲的速度是每小时千米，乙的速度是每小时千米．【解答】解：，，，（千米）；（千米）．答：甲队的速度是10.2千米小时乙队的速度是9.8千米小时．故答案为：10.2千米小时；9.8千米小时．【点评】本题也可根据鸽子与他们用相同的时间以每小时20千米的速度行了30千米，而他们相遇时共行30千米直接得出两队的速度和为每小时20千米．10．【分析】相遇时因为时间相同，所以速度比和路程比是相同的，相遇时它们的路程比是，全程就是，这时擎天柱行了全程的，大黄蜂行了全程的，相遇后擎天柱速度是，大黄蜂的速度是，设全程是千米，当它们相遇后继续往前走，它们各自走的路程分别是和，它们的时间又是相同的，所以用各自的路程比上各自的速度，它们的比值是相同的．列出比例即可解答．【解答】解：设、两地相距千米．答：、两地相距350千米．故答案为：350．【点评】本题比较难，关键是知道时间相同，速度比和路程比是相同的，再找出相遇后路程与速度的比值是相同的．11．【分析】环形跑道是一个封闭图形，长400米．甲和乙同时从同一地点反向出发，相遇时两人共跑了一个环形跑道的长度，即400米；甲和乙同时从同一地点同向出发，属于追击问题．当甲追上乙时，甲比乙多跑了一圈的长度，即环形跑道的长度400米；据此解决问题．【解答】解：环形跑道长400米．甲和乙同时从同一地点反向出发，相遇时两人共跑了400米；甲和乙同时从同一地点同向出发．当甲追上乙时，甲比乙多跑了400米．故答案为：400，400．【点评】此题考查了相遇问题和追击问题的运用，距离差速度差追及时间．12．【分析】设路程为，相向而行相遇时间，相背而行相遇时间，最后相遇在点时相遇次数，即可得相遇的次数．【解答】解：设路程为，相向而行相遇时间，相背而行相遇时间；最后相遇在点时相遇次数：（次．答：从出发到结束他们共相遇了2次．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．13．【分析】根据题意可知，在相遇的时候，大长腿比小长腿多走路程：（千米），利用追及问题公式，计算二人所走时间为：（小时），然后利用相遇问题公式，求两地路程为：（千米）．【解答】解：（千米）答：大长腿家与海边相距128千米．故答案为：128．【点评】本题主要考查行程问题，关键利用相遇问题及追及问题公式做题．14．【分析】根据相遇问题公式：速度和相遇时间路程和，列式求出甲、乙两人5分钟走的路程，然后再加上没行的路程52米即两地的距离；或者相遇后，再相距52米，据此解答即可。【解答】解：（米或（米答：、两地的距离是482米或378米．故答案为：482米或378．【点评】此题根据相遇问题公式：速度和相遇时间路程和．15．【分析】假定甲不下山，同样速度前进，则下山的600米相当于上山400米，也就是1小时甲与乙的速度差是米．甲下山走一半的路程，相当于乙上山的速度走的路程，也就是乙上山走一个全程，甲上山走一个个全程．由此可知甲乙两人的速度比是，又知甲每小时比乙多走一千米，所以，甲上山的速度是每小时走4千米，乙上山的速度是每小时3千米，单程全长是：千米，甲回一出发点所用的时间是：（小时）．【解答】解：下山的600米相当于上山：（米，甲下山走一半的路程，相当于乙上山的速度走的路程，也就是乙上山走一个全程，甲上山走一个个全程．甲乙两人的速度比是甲上山速度是（米，下山速度是（米．1个上山全程是（米．出发1小时后，甲还有下山路（米，要走（小时）；一共要走（小时）．答：甲从出发到返回出发点共需1.5小时．故答案为：1.5．【点评】本题关键在转化，把下山的距离再转化为上山的距离，这种转化是在保证时间相等的情况下．通过转化，可以理清思路．但是也要分清哪些距离是上山走的，哪些是下山走的．16．【分析】已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，即狗跑1步的路程是猫跑步的路程，又因为而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；所以猫和狗的速度比是；同理可求猫和兔的速度比是；所以，猫、狗、兔的速度比是，狗追上猫一圈需（单位时间），兔追上猫一圈需（单位时间），所以第一次相遇时间：，（单位时间），然后乘625就是第一次相遇时狗跑的距离．【解答】解：（单位时间）（单位时间），（单位时间）（米答：第一次相遇时狗跑了31250米．故答案为：31250．【点评】本题考查了比较复杂的环形跑道问题和分数的最小公倍数的综合应用，关键是求出它们的速度比．三．解答题17．【分析】两车在距离中点12千米处相遇，那么乙车就比甲车多行驶千米，先求出两车的速度差，再根据相遇时间乙车多行驶的路程路程速度差，求出相遇的时间，然后根据路程速度时间求出甲行的路程（即乙汽车继续前进的路程），最后除以乙车的速度即可．【解答】解：（小时）答：相遇后，乙汽车继续前进小时后到达目的地．【点评】求出两车的相遇时间是解答本题的关键，依据是等量关系式：路程速度时间．18．【分析】经8小时相遇，甲车又用了6小时到达地，说明相遇时，乙8小时行的路程，甲只用6小时，即同样的路程，乙用的时间是甲的，所以，根据分数乘法的意义，甲8小时行的路程，乙用小时，然后再加上乙先行的8小时即可．【解答】解：（小时）答：乙要小时才能从地到达地．【点评】本题考查了相遇问题，关键是求出行同样的路程，乙用的时间是甲的．19．【答案】2250千米。1350千米，900千米。【分析】首先根据速度时间路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，据此求出两车的速度之比是多少；然后根据时间一定时，路程和速度成正比，求出相遇时两车行的路程之比是多少，进而求出客车比货车多行了全程的几分之几；最后根据分数除法的意义，用相遇时客车比货车多行的路程除以它占全程的分率，求出甲、乙两地相距多少千米即可。用总路程除以2，再加上450千米，即可求出客车行驶的路程。用总路程减去客车行驶的路程，即可求出货车行驶的路程。【解答】解：因为客车从甲地到乙地需要20小时，货车从乙地到甲地需要30小时。所以客车、货车的速度之比是。所以相遇时两车行的路程之比是。所以甲、乙两地相距：（千米）（千米）答：甲、乙两地相距2250千米。客车行驶了1350千米，货车行驶了900千米。【点评】此题主要考查了相遇问题，注意速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，解答此题的关键是求出相遇时快车比慢车多行了全程的几分之几。20．【答案】900千米。【分析】把两地的路程看作单位“1”，由题意可知，相遇时货车行了，客车行了，客车还剩没到地；相遇后货车行了，用了4小时，每小时行：，则客车未提高前的速度：；客车提高后的速度：；相遇后客车再行4小时行了：，客车离地还剩：，由“客车离地还有116千米”可知，116千米对应的分率是，用对应量除以对应分率就是全程的长度。【解答】解：相遇后货车4小时的速度：则客车未提高前的速度：客车提高后的速度：相遇后客车再行4小时行了：客车离地还剩：两地的距离：（千米）答：西安合肥两地相距900千米。【点评】解答此题的关键是求出对应量116千米的对应分率，用对应量除以对应分率就是全程的长度。21．【答案】小时。【分析】根据本题可知：甲车行驶5小时的路程等于乙车行驶4小时的路程，据此可得出乙车速度与甲车速度的关系，再根据时间路程速度即可。【解答】解：（小时）答：乙车又行小时到达地。【点评】本题主要考查了相遇问题，解题的关键是求出乙车速度与甲车速度的关系。22．【分析】根据两车在距中点40.5千米处相遇，即乙车行驶了全程的一半多40.5千米，甲车行驶了全程的一半少40.5千米，就能求出相遇时乙车比甲车多行多少千米，又知甲车的速度、乙车的速度，就能求出乙车每小时比甲车多行多少千米；用乙比甲多行的路程除以乙、甲的速度差，即可求出相遇时间．【解答】解：（小时），答：相遇的时间为9小时．【点评】此题主要考查遇问题中的基本数量关系：相遇时间