第26章反比例函数01讲核心（原卷版）

考点1反比例函数的概念一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．如：、、都是反比例函数．字母名称取值范围x自变量x≠_0y函数y≠0k比例系数_k≠0三种表示形式：，，，（其中：k≠_0）考点2反比例函数的图象1．反比例函数的图象反比例函数的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线通常称为双曲线．反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交．2．反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是___________原点___________．3．反比例函数的图象在坐标系中的位置K的正负性图象的位置图象的形态走势K>0图象在第一、三象限每一个分支中，图象从左到右下降K<0图象在第二、四象限每一个分支中，图象从左到右上升考点3反比例函数的性质1．反比例函数的增减性K的正负性函数的性质K>0每一个分支中，y随x增大而减少K<0每一个分支中，y随x增大而增大2．的几何意义越大，双曲线离原点越远，过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线，这两条平行线与两条坐标轴围成的长方形的面积等于．考点4反比例函数的应用1．待定系数法求反比例函数的解析式将一组对应的x、y的值或图象上一个点的坐标代入表达式，利用k=xy求出k的值．2．反比例函数与一次函数的交点反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解．两种函数在交点位置的函数值是相同的，其它位置函数值的大小可以由函数图象的上、下位置来确定．规律是：上大下小．3．面积问题利用分割法将图形转化为以坐标轴上的边为底的三角形求解，也可以考虑用的几何意义求解．4．反比例函数的实际应用行程问题：路程S一定，速度v与时间t的关系：是反比例函数；工程问题：工作量Q一定，工作效率p与工作时间t的关系：是反比例函数；几何问题：长方形的面积S一定，长y与宽x的关系：是反比例函数；圆柱的体积v一定，圆柱的高h与底面积s的关系：是反比例函数；5．反比例函数在其它学科的应用压力一定，压强与受力面积的关系：是反比例函数；杠杆，力与力臂的关系是反比例关系；电压u一定，通过导体的电流I与导体的电阻R的关系：是反比例函数；反比例函数中函数值的大小比较的方法1．性质法．K的正负性→确定反比例函数的增减性→判断同一象限内点的坐标大小关系→确定函数值的大小关系；2．求值法．将已知的自变量的值或已知点的横坐标代入解析式，求出函数值或纵坐标的值，利用值进行比较；3．图象法．在平面直角坐标系中找出符合条件的点，然后通过观察函数图象比较函数值的大小；4．特殊值法．如果不知道点的横坐标的具体值，只知道自变量间的关系，可以采用此方法．【例题】1.在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（）A. B. C. D.2.在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（）A. B. C. D.3.反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（）A B. C. D.【练经典】4.已知点，，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（）A. B. C. D.无法判断5.若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B. C. D.6.反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（）A B. C. D.【练易错】易错点：判断反比例函数值大小没考虑在不同的分支上而出错7.已知点、、都在反比例函数的图象上，且．下列结论中正确的是（）A. B. C. D.反比例函数与面积问题1．的几何意义过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线，这两条平行线与两条坐标轴围成的矩形的面积等于．如图，．2．反比例函数图象中某些特殊三角形的面积3．反比例函数图象中某些特殊四边形的面积4．反比例函数图象中某些特殊多边形的面积【例题】8.如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（）A.2 B.3 C.4 D.59.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以为边作，其中C、D在x轴上，则为（）A.2.5 B.3 C.5 D.610.如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，__________．【练经典】11.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（）A.2 B.3 C.4 D.512.如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为___________．【练易错】易错点：由面积求系数K时不考虑图象的位置而出错13.点在反比例函数的图象上，轴，点是轴上的任意一点，的面积是，则的值是___________．反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用1．函数图象共存问题判断函数图象是否共存时，先根据其中一个函数图象确定待定字母的正负，再根据另一个函数图象的分布特征进行判断．2．函数图象交点问题反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解．3．不等式或的解集问题不等式函数值大小函数图象相关的部分或反比例函数值大于一次函数值反比例函数图象在一次函数图象上面的部分或反比例函数值小于一次函数值反比例函数图象在一次函数图象下面的部分4．函数与几何综合【例题】14.当时，反比例函数和一次函数的图象大致是（）A. B.C. D.（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）15.如图，一次函数的图像交x轴、y轴于点P、Q，且与反比例函数的图像相交于点和点，过点A作于点C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求四边形的面积；（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）16.如图，函数的图象过点和两点．（1）求n和k的值；（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；（3）在（2）条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【练经典】17.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（）A. B. C. D.（2022·山东威海·九年级期中）18.如图，一次函数与反比例函数的图像交于和；（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）19.如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，求的最小值；（3）是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．【练易错】易错点：通过观察确定不等式或解集时，因观察不全面而漏掉一个解集．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出关于x的不等式的解集．反比例函数的实际应用1．在实际问题中列出反比例函数的解析式找出两个变量和常量→找出它们之间的等量关系→列出关系式→转化为反比例函数的一般形式；2．借助反比例函数图象解决实际问题找出反比例函数图象上一个点的坐标→求出反比例函数的解析式→利用自变量的取值范围确定函数值的范围，或利用函数值的范围确确定自变量的范围；3．反比例函数在其它学科中的应用关系式→找出不变的量→确定变量的变化关系；【例题】21.已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是（）A. B. C. D.（2022·湖北恩施·一模）22.如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（）A.与成反比例： B.与成反比例：C.电阻越大，功率越小 D.用电器的功率的范围为（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）23.某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？【经典练】24.已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）A. B. C. D.25.小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为______（）．（2022·安徽·合肥市第四十八中学九年级阶段练习）26.通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值.（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．【新定义小练】（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）27.如图，点为y轴上一点，，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若，求m与n的数量关系是_____________________．（2022·湖南·长沙市南雅中学一模）28.定义：对于函数图像上任意一点（，），当满足（m、n为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（，），其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”．（1）判断函数在时否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数（）在时是“依赖函数”，求k的值；（3）已知函数（）在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数t都成立，求实数s的取值范围．【阅读探究材料类小练】29.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质．已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4．（1）关于的函数解析式为___________________．（2）列表，写出表中，的值：=，=