高三年级五月数学每周好题甄选（第四周）

五月数学每周好题精选（第四周）1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则()A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则()A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.24.已知定义在R上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为()A. B. C.1 D.25.已知函数的周期为1，且在上单调递减，则可以是()A. B.C. D.6.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则是()A.奇函数，在上单调递增 B.奇函数，在上单调递减C.偶函数，在上单调递增 D.偶函数，在上单调递减7.在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为()A. B. C. D.8.若正实数x，y满足，则y的最小值为()A.1 B. C.e D.29.（多选）若正实数a，b满足，则()A.的最小值为 B.的最大值为1C.的最小值为 D.的取值范围为10.（多选）已知随机事件A，B满足，，，则()A.事件A与事件B相互独立 B.C. D.11.（多选）已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线C，.若，曲线C过坐标原点O，点为曲线C上一点，则下列说法正确的有()A. B.曲线C与y轴有三个交点C. D.12.（多选）有一组互不相等的样本数据，，…，，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为，…，，平均数为，则()A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数C.若，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数13.已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，，________.14.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第n次跳跃后对应数轴上的数字，则满足，的跳跃方法有________种.15.已知定义在R上的函数满足且，则________.16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若的面积为，，求的周长和外接圆的面积.17.为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.（1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；（2）求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；（3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值.18.已知，函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）证明：函数存在两个零点；（3）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.

答案以及解析1.答案：A解析：因为，，因为，所以集合B中的元素-1，0也在集合A中，从而.故选：A.2.答案：C解析：因为，所以，则，所以.故选：C3.答案：C解析：因为随机变量服从正态分布，，所以，故，所以，故选：C.4.答案：C解析：因为，则，所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，所以的图象也关于对称；又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为1，即，解得.故选：C.5.答案：C解析：对于A，的周期为，当时，，所以不单调，故A错误；对于B，的周期为可知的周期为2，故B错误；对于C，的周期为，当时，，所以单调递减，符合题意，故C正确；对于D，因为的周期为，不合题意，故D错误.故选：C．6.答案：A解析：因为，所以，得，令，则，得，则函数为奇函数，设，且，得，则，则，因为，所以，而，则，得，得，故函数在上单调递增.故选：A.7.答案：D解析：设外接圆半径为r，圆心为，设外接球球心为O，半径为R，因为，，在中，由正弦定理有，则，则有，所以，所以球的体积为，故选：D.8.答案：C解析：由，得，故.由题意得，，，由得，.设，，则，在上单调递增，，，，即，，，令，得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，取极小值也是最小值，最小值为e.故选：C.9.答案：BC解析：正实数a，b满足，，对于A，，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，D错误.故选：BC10.答案：AD解析：对于A，由，得，即，事件A与事件B相互独立，A正确；对于B，由选项A知，事件A，相互独立，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.11.答案：ACD解析：对于A，由时，C过坐标原点O，所以，所以，所以，故A正确；对于B，设是曲线C上任意一点，则，化简得，当时，，只有一解，所以B错误；对于C，由，所以，故C正确；对于D，由，得，将其看成是关于的方程，则，故，所以D正确.故选：ACD.12.答案：AC解析：对于A，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值，则新数据的极差等于原数据的极差，因此A正确；对于B，数据，，…，，假设，其中位数为，一定不在，，…，之中，随机删去其中一个数据，得到一组新数据，按原来次序排成，，…，，其中位数是，是原数据中的数，即新数据的中位数不会等于原数据的中位数，因此B错误；对于C，若，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，结合数据全不相等及方差的计算公式知，新数据的方差一定大于原数据方差，因此C正确；对于D，假设原来数据为1.5，2，2.5，3，4，5，因为，所以删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为3，新数据为1.5，2，2.5，4，5，原来数据的第40百分位数为2.5，新数据的第40百分位数为2.25，因此D错误.故选AC.13.答案：/解析：由题等比数列的公比为且，所以，可得，由，则，故，所以.故答案为：14.答案：1305解析：由，得到或，若，，即前10次跳跃，8次向左，2次向右，后面8次跳跃全部向右，有种，若，，即前10次跳跃，8次向右，2次向左，后面8次跳跃6次向左，2次向右，有种，所以满足，的跳跃方法有种，故答案为：1305.15.答案：5050解析：令，所以，所以，即，，……，所以，将以上个式子相加可得：，所以，所以.故答案为：5050.16.答案：（1）；（2）周长、外接圆面积分别为、.解析：（1）由，由正弦定理得，从而有，，则，由.（2）因为，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周长为，设外接圆半径为R，由，得，所以外接圆面积.17.答案：（1）（2）（3）分布列见解析，20解析：（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为：；（2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为：；（3）X的可能取值有0，20，40，60，80，，，，，，所以分布列为：X020406080P所以.18.答案：（1）答案见解析（2）证明见解析（3）解析：（1）函数的定义域为，又，当时，，故函数在区间上单调递减；当时，令，解得，当x变化时，，的变化情况如下表所示：x+0-单调递增单调递减故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减.（2）证明：由，则，当时，，，且等号不同时成立，则，在上单调递增；当时，，，故，设，则，故函数在区间上单调递减，又，，故存在使得，当时，，当时，，故函数在上单调