2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练65随机事件的概率与古典概型

课时规范练65随机事件的概率与古典概型基础巩固练1.(2024·北京顺义模拟)已知随机变量X的分布列如表:(其中a为常数)X012345P0.20.1a0.30.20.1则P(1≤X≤3)等于()A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.72.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用(a,b)表示向上的点数,事件A=“两次点数之和小于10”,事件B=“两次点数之和能被5整除”,则事件A∩B可表示为()A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5)}C.{(6,5),(5,5)}D.{(4,6),(6,4),(5,5)}3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,那么互斥不对立的事件是()A.“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”B.“至少有一个黄球”与“都是黄球”C.“至少有一个黄球”与“都是蓝球”D.“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”4.(2024·江西吉安模拟)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,则P(A∪B)=(A.118 B.4C.12 D.5.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15 B.1C.25 D.6.(多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=“两次取到的球颜色相同”;事件B=“第二次取到红球”;事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确的是()A.A⊆BB.事件B与事件C是互斥事件C.P(AB)=2D.P(B+C)=27.(2022·全国乙,文14)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.8.(2024·山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为.9.(13分)(2024·湖南岳阳模拟)甲、乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为:每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答,答对得1分,答错或不答得0分,最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩,甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练,训练后的答题情况如下表:选手练习题目个数答错个数甲12024乙12020若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响,且用频率代替概率.(1)估计甲、乙两人在比赛时答对题的概率;(2)设事件A=“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”,求P(A).10.(15分)某学校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:性别七年级八年级九年级女373xy男377370z已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.(1)求x的值;(2)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率;(3)已知z=218,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少?综合提升练11.(2024·河北保定二模)已知圆周率π=3.141592…,把圆周率通过四舍五入精确到0.1n(n=1,2,3,4,5)的近似值分别记为a1,a2,a3,a4,a5,若从a1,a2,a3,a4,a5中任取2个数ai,aj(1≤i<j≤5),则满足ai>aj的概率为()A.110 B.1C.310 D.12.(2024·安徽马鞍山三模)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务,每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为()A.320 B.9C.625 D.13.(多选题)某品牌计算机售后保修期为1年,其维修记录资料经统计可以得到如下结论,这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%.设Ak=“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,则下列事件的概率正确的是()A.在一年内需要维修的概率为0.25B.在一年内不需要维修的概率为0.75C.在一年内维修不超过1次的概率为0.9D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.9414.(2024·浙江宁波模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,记A,B为事件A,B的对立事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB+AB)=0.5,则P(AB)=创新应用练15.(多选题)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法不正确的是()A.曲线C表示双曲线的概率为1B.曲线C表示椭圆的概率为1C.曲线C表示圆的概率为1D.曲线C表示两条直线的概率为1答案：1.B解析根据分布列概率和为1,可得0.2+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,则a=0.1,P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5.2.D解析由已知得,事件A={(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},事件B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以事件A∩B={(4,6),(6,4),(5,5)}3.A解析从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下4种:①3个球全是黄球;②2个黄球和1个蓝球;③1个黄球和2个蓝球;④3个球全是蓝球.A选项,两个事件可以同时不发生,是互斥不对立的事件,故A正确;B选项,当①发生时,两个事件同时发生,不是互斥事件,故B错误;C选项,“至少有一个黄球”是情况①②③,“都是蓝球”是情况④,必然有其中之一发生,是对立事件,故C错误;D选项,当②或③发生时,两个事件同时发生,不是互斥事件,故D错误.4.C解析P(B)=1-P(B)=13∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=15.C解析从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6种,故所求概率为615=256.CD解析若两次取到绿球,则事件A发生,事件B不发生,故A⊈B,故A错误;事件B与事件C可能同时发生,故B错误;事件AB=“两次都取到红球”,P(AB)=4×310×9=215,故C正确;事件B+C包含的取球颜色为{(红,红),(绿,红),(红,绿)},P(B+C)=47.310解析设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.由古典概型公式计算,8.720解析依题意,问题相当于从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除的概率,显然试验的样本空间Ω含有的样本点总数为n(Ω)=C103=120,它们等可能.10个数中能整除3的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是设事件A=“取出的3个数的和能被3整除”,则n(A)=2C33所以P(A)=n9.解(1)由题意,可以估计甲在比赛时答对题的概率为p1=120-24120=45(2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”,事件C=“某轮比赛中乙得1分”,由(1)知P(B)=p1=45,P(C)=p2=5则事件A=BC∪BC∪所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)+P(B)P(C)=4(或P(A)=1-P(BC)=1-10.解(1)∵x2000=0.19,(2)设事件A=“九年级女生比男生少”,九年级女生数、男生数记为(y,z),由(1)知x=380,∴y+z=2000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N.试验的样本空间Ω={(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245)},共11个样本点,A={(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251)},共5个样本点.∴P(A)=n(3)设B=“抽到女生”,C=“抽到九年级学生”,由(2)知y+z=500,又z=218,∴y=282,∴全校女生共有373+380+282=1035(名),则有P(B)=10352000=207400,P(C)=5002∴该学生是女生或九年级学生的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=20711.C解析由题意可得a1=3.1,a2=3.14,a3=3.142,a4=3.1416,a5=3.14159,试验的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共10个样本点,设事件A=“ai>aj”,则A={(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共3个样本点,所以所求概率为n12.C解析若人数配比为3∶1∶1时,则有C53A33=60(种)不同安排方法;若人数配比为2∶2∶1时,则有C51C31C42=90(种若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3∶1∶1时,则有C31A33=若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2∶2∶1时,则有C32A33=18(种)不同安排方法,所以共有18+18=36(种)13.ABC解析依题意得P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A3)=0.04,且A0,A1,A2,A3两两互斥,由题可知Ω=A0∪A1∪A2∪A3,所以P(A0)=1-[P(A1)+P(A2)+P(A3)]=0.75.记事件A=“一年内需要维修”,则A=A1∪A2∪A3,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.06+0.04=0.25,故A正确;记事件B=“一年内不需要维修”,则B=A0,所以P(B)=P(A0)=0.75,故B正确;记事件C=“在一年内维修不超过1次”,则C=A0∪A1,所以P(C)=P(A0)+P(A1)=0.75+0.15=0.9,故C正确;记事件D=“一年内最多需要维修2次”,则D=A3,所以P(D)=1-P(D)=1-P(A3)=1-0.04=0.96,故D错误.故选ABC.14.0.3解析由题意得P(B)=1-P(B)=0.7,AB,AB为互斥事件,即AB∩AB=⌀,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5,又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7,P(A)=P(AB)+P(AB)=0.6,所以2P(AB)+P(AB)+P(AB)=1.3,所以P(AB)=0.4,则P(AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3.15.ACD解析对于A,当mn<0时,曲线C表示双曲线,则当m>0,n<0时,有C31·C21=6(种),当m<0,n>0时,有C31·C21=对于B,当m>0,n>0,m≠n时,曲线C表示椭圆,所以有A3