2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）微点突破9数列的新定义问题

微点突破9数列的新定义问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026所谓“新定义”型试题是指给出一个考生从未接触过的新概念或运算的新法则,要求考生现学现用,其目的是考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和创新能力,旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式.数列可以与各个模块的知识交汇,尤其是概率、不等式、函数、计数原理、集合等联系密切,必将成为“新定义”型试题的主阵地,值得我们关注.典例

在数列{an}中对于确定的正整数m,若存在正整数n使得am+n=am+an成立,则称数列{an}为“m阶可分拆数列”.(1)设{an}是首项为2,公差为2的等差数列,证明:{an}为“3阶可分拆数列”.(2)设数列{an}的前n项和为Sn=2n-a(a>0),若数列{an}为“1阶可分拆数列”,求实数a的值.(3)设an=2n+n2+12,试探求是否存在m使得若数列{an}为“m阶可分拆数列”?若存在,请求出所有m;若不存在,请说明理由.

(3)解

假设存在m使得数列{an}为“m阶可分拆数列”,即对于确定的正整数m,存在正整数n使得am+n=am+an成立,2m+n+(m+n)2+12=2m+m2+12+2n+n2+12,即(2m-1)(2n-1)+2mn=13,①当m=1时,2n-1+2n=13,n=3时方程成立.②当m=2时,3(2n-1)+4n=13,当n=1时,3(2n-1)+4n=7;当n=2时,3(2n-1)+4n=17;当n>2时,3(2n-1)+4n>17,所以此时不存在正整数n使得am+n=am+an成立.③当m=3时,7(2n-1)+6n=13,当n=1时,7(2n-1)+6n=13成立.④当m≥4时,(2m-1)(2n-1)+2mn≥15(2n-1)+8n≥23,所以当m≥4时不存在正整数n使得am+n=am+an成立.综上,m=1或m=3.[对点训练](2024·湖北武汉模拟)对于数列{an},如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn},使得an=bn+cn(n∈N*),则称数列{an}是“优分解”的.(1)证明:如果{an}是等差数列,则{an}是“优分解”的.(2)记Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*),证明:如果数列{an}是“优分解”的,则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列.(3)设数列{an}的前n项和为Sn,如果{an}和{Sn}都是“优分解”的,并且a1=3,a2=4,a3=6,求{an}的通项公式.(1)证明

∵{an}是等差数列,设公差为d,∴an=a1+(n-1)d=[a1-1+(n-1)d]+1.令bn=a1-1+(n-1)d,cn=1,则{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,所以数列{an}是“优分解”的.(2)证明

∵数列{an}是“优分解”的,设an=bn+cn(n∈N*),{cn}的公比为q,其中bn=b1+(n-1)d,cn=c1qn-1(c1≠0,q≠0),则Δan=an+1-an=d+c1qn-1(q-1),Δ2an=Δan+1-Δan=c1qn-1(q-1)2.当q=1时,Δ2an=0(