2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练60用样本估计总体

课时规范练60用样本估计总体基础巩固练1.某工厂随机抽取20名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5 B.9 C.9.5 D.102.(2024·湖南长沙二模)已知样本数据x1,x2,…,x100的平均数和标准差均为4,则数据-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均数与方差分别为()A.-5,4 B.-5,16 C.4,16 D.4,43.(2022·全国甲,理2,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若该组数据的中位数是众数的54倍,则该组数据的方差和第60百分位数分别是(A.165,5 C.163,6 5.(多选题)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的有()A.x1,x2,…,xn的标准差B.x1,x2,…,xn的中位数C.x1,x2,…,xn的极差D.x1,x2,…,xn的平均数6.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同7.(多选题)(2024·广东茂名一模)如今中秋节逐渐演化为赏月、颂月等活动,以月之圆兆人之团圆,为寄托思念故乡、思念亲人之情,祈盼丰收、幸福,成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛,随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是()A.样本的众数为75B.样本的第71百分位数为75C.样本的平均值为68.5D.该校学生中得分低于60分的约占20%8.(2024·广东深圳二模)已知样本x1,x2,x3的平均数为2,方差为1,则x12,9.(2024·广东珠海一模)甲、乙两班同学参加了同一学科的考试,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成绩为72,方差为90;乙班的平均成绩为90,方差为60.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是,方差是.综合提升练10.(2024·陕西榆林三模)在一次数学模考中,从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩,甲班的十个人成绩分别为x1,x2,…,x10,乙班的十个人成绩分别为y1,y2,…,y10.假设这两组数据中位数相同、方差也相同,则把这20个数据合并后()A.中位数一定不变,方差可能变大B.中位数可能改变,方差可能变大C.中位数一定不变,方差可能变小D.中位数可能改变,方差可能变小11.(多选题)(2024·浙江嘉兴二模)已知一组数据1,3,5,7,9,其中位数为a,平均数为x,极差为b,方差为s2.现从中删去某一个数,得到一组新数据,其中位数为a',平均数为x',极差为b',方差为s'2,则下列说法中正确的是(A.若删去3,则a<a'B.若删去9,则xC.无论删去哪个数,均有b≥b'D.若x=x',则s12.(2024·河南新乡二模)若一组数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为3,方差为185,则a1,a2,a3,a4,a5,9这6个数的平均数为,方差为13.(13分)(2024·广东广州模拟)某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)求样本成绩的第75百分位数;(3)已知落在[50,60)的平均成绩是56,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数z和总方差s2.创新应用练14.(2024·广东佛山模拟)已知a,b,c是正整数,且a∈[10,20],b∈(20,30],c∈(30,40],当a,b,c方差最小时,写出满足条件的一组a,b,c的值.答案：1.C解析抽取的工人总数为20,20×75%=15,那么这组数据的第75百分位数是9+102=9.52.B解析由题意知x1,x2,…,x100的方差为16,则-x1,-x2,…,-x100的平均数为-4,方差为(-1)2×16=16,故-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均数为-4-1=-5,方差为16.3.B解析对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.4.C解析中位数为4+x2,众数为4,由题意知4+x2=4×54,解得x=6,该组数据的平均数为x=16×(1+4+4+6+7+8)=5,该组数据的方差是s2=16×[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=1635.AC解析标准差和极差度量的是数据的离散程度;中位数和平均数反映的是数据的集中趋势.故选AC.6.CD解析x=1n∑i=1nxi,y=1n∑i=1nxi+nc=x+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;sx2=1n∑i=1n(xi-x)2,sy2=1n∑i=1n[(xi+c)-(x+c)]27.AC解析依题意,(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10=1,解得a=0.010,因为最高小矩形的中点横坐标为75,所以众数是75,故A正确;设样本的第71百分位数为x,又10×(0.010+0.015+0.025)=0.5,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,故B错误;因为平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,故C正确;样本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%,所以该校学生中得分低于60分的约占25%,故D错误.故选AC.8.5解析由题意知,x1+x2+x33=2,所以由(x1-2)2+(x2-9.804703解析甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为72×50+90×方差为5050+40×[90+(72-80)2]+4050+40×[60+(90-80)2]=59×10.A解析不妨设x1≤x2≤…≤x10,y1≤y2≤…≤y10,则x1,x2,…,x10的中位数为x5+x62,y1,y2,…y10的中位数为y5+y62,因为x5+x62=y5+y62,所以x5≤y5≤y6≤x6或y5≤x5≤x6≤y6,则合并后数据的中位数是x5+x62或者y5+y62,所以中位数不变.设甲班成绩数据的方差为s2,平均数为x,乙班成绩数据的方差为s2,平均数为y,合并后总数为20,平均数为ω,方差为s'2,s'2=110+10{10[s2+(x-11.ACD解析若删去3,则根据中位数的定义,a=5,a'=5+72=6,满足a<a',A正确;若删去9,根据平均数的定义,x=1+3+5+7+95=5,x'=1+3+5+74=4,x>x',B错误;根据极差的定义,若去掉的数是3,5,7中的一个,显然去掉前后极差都是9-1=8,满足b=b',若去掉1,b'=9-3=6<b=8,若去掉9,b'=7-1=6<b=8,综上,b≥b',C正确;原数据平均数x=5,去掉一个数后平均数保持不变,即x'=5,则剩下的四个数之和为5×4=20,显然去掉的数只能是5,由方差的定义,s2=15[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=8,s'2=14[(1-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(9-5)212.48解析依题意,知这6个数的平均数为5×3+96=4,又15[(a1-3)2+(a2-3)2+…+(a5-3)2]=185,所以(a12+a22+…+a52)-6(a1+a2+…+a5)+5×9=18,又a1+a2+…+a5=3×5=15,所以∑i=15ai2=63,所以这6个数的方差为16(∑i=1513.解(1)因为每组小矩形的面积之和为1,所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,则a=0.030.(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9,设第75百分位数为m(40<m<90),由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,故第75百分位数为84.(3)由图可知,成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10,成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20,故这两组成绩的总平均数为z=10×56+20×6510+20=62,由样本方差计算总体方差公式可得总方差为s2=1030×[7+(56-62)2]+203014.20,25,31或20,26,31(写其中一组即可)解析设x=a+b+c3,则s2=13[(a-x)2+(b-x)2+(c-x)2]=13[a2+b2+c2+3x2-2x(a+b+c)]=13[a2+b2+c2-13(a+b+c)2]=19[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2