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第二章习题课1本章重点2例题

1本章重点2例题微观粒子的波粒二象性波函数的物理意义态叠加原理定态薛定谔方程（能量本征值方程）含时薛定谔方程的一般解连续性方程的意义一维定态的性质一维无限深势阱中粒子的能量本征值和本征函数一维方势阱中粒子能量本征解的求解过程线性谐振子的能量本征值和本征函数势垒贯穿首先将波函数归一化1本章重点2例题例1.若描述粒子状态的波函数为，式中α为实常数，求该粒子的坐标取值概率密度函数。解：粒子的坐标概率密度为1本章重点2例题令得概率密度极大值例2.半壁无限高势阱的位势为

求粒子能量在

范围内的解。解：定态薛定谔方程为1本章重点2例题令，则1本章重点2例题下面由波函数的标准条件定解：有限性：连续性：此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用作图法求解。1本章重点2例题讨论若，则这正是一维无限深势阱的结果。它们的交点就是束缚态能级满足的解。由图知，至少存在一个束缚态的条件为束缚态存在的条件令，则1本章重点2例题该式表明，当势阱强度小于时，不存在束缚态。势阱强度例3.有限深对称方势阱

讨论束缚态能级和波函数。令，则令，则解法一：1本章重点2例题阱内：因为，所以具有确定宇称。因此偶宇称奇宇称由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为1。阱外：左边：因为，所以1本章重点2例题右边：因为，所以注意：若波函数是偶宇称，则取“+”；若波函数是奇宇称，则取“-”。且阱内外波函数应连续，如图所示。偶宇称奇宇称引入，，则时，、连续，则1本章重点2例题对偶宇称：时，、连续，则1本章重点2例题对奇宇称：偶宇称奇宇称图中两曲线交点即为方程组的解。显然，粒子至少有一个束缚态能级。1本章重点2例题上面两式可以合并成一个：解法二：1本章重点2例题有限性：连续性：1本章重点2例题所以1本章重点2例题两种方法结果一致。（1）波函数归一化1本章重点2例题例4.高斯波包。一个自由粒子的初始波函数为，其中A常数，a是正的实常数。（1）把波函数归一化；（2）求出；（3）求出，并画出

时和t很大时的（作为x的函数）。定性上，当时间增加时，有什么变化？解：（2）1本章重点2例题所以1本章重点2例题1本章重点2例题下面求。令

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