量子力学（第2版）课件 19量子力学公式的矩阵表示 幺正变换

§4-3量子力学公式的矩阵表示知识点教学目标算符方程的矩阵表示本征方程的矩阵表示薛定谔方程的矩阵表示平均值公式的矩阵表示

能熟练写出算符方程、本征方程、薛定谔方程、平均值公式的矩阵表示。熟练掌握利用矩阵形式计算力学量算符的本征值和本征函数。本节内容1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示本节内容都是在G表象下进行的。算符方程简写为算符方程的矩阵表示或1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示本征方程简写为本征方程的矩阵表示方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以求解本征方程的过程也是把矩阵对角化的过程。1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示薛定谔方程简写为薛定谔方程的矩阵表示式中1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示平均值公式平均值公式的矩阵表示1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示表象理论的价值对同一个物理问题可以在不同的表象下处理。尽管在不同的表象下，波函数及算符的矩阵元是不同的，但最后所得到的物理结果（力学量的可能取值、取值概率和平均值）却都是一样的。选取了一个合适的表象，可以使问题得到简化。1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示例1．已知力学量在某表象中的矩阵表示为求它的本征值和归一化本征函数，并将Sx对角化。首先，求本征值下面求本征函数1算符方程的矩阵表示2本征方程的矩阵表示3薛定谔方程的矩阵表示4平均值公式的矩阵表示把波函数归一化同理最后，把矩阵对角化§4-4幺正变换知识点教学目标表象之间的变换矩阵力学量算符的表象变换态矢量（波函数）的表象变换表象变换的性质比较表象变换与坐标变换。会计算两个表象之间的变换矩阵。能通过变换矩阵把力学量算符和波函数从一个表象变到另一个表象。熟悉幺正变换的性质。本节内容1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质完备性：平面上任何一个矢量均可用它们展开正交归一性：1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质回顾平面直角坐标系的坐标变换基矢的性质基矢变换基矢之间的变换矩阵幺正变换变换矩阵满足矢量的坐标变换1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质因为R是实矩阵，所以因此满足这样性质的矩阵，称为幺正矩阵；由幺正矩阵联系的变换称为幺正变换。1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质态矢空间中的基矢变换设力学量算符、的本征方程分别为和均为正交归一完备本征函数系，可分别作为A、B表象下态矢空间的基矢。将按展开展开系数把展开式写成矩阵形式，则有1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质基矢变换方程简记为均为矩阵形式变换矩阵通过它可以把B表象的基矢用A表象的基矢表示出来1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质即变换矩阵的特点同理所以因此，S为幺正矩阵。AB提交19-1变换矩阵S的特点是

S+=

S，所以它是厄米矩阵。S+

S

=

SS+=I（单位矩阵），所以它是幺正矩阵。单选题1分1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质在A表象和B表象中，力学量

的矩阵元公式分别为有所以（矩阵形式）算符由A表象到B表象的变换公式即1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质把任意态矢量

用、展开有态矢量u(x,t)由A表象到B表象的变换公式（矩阵形式）1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质幺正变换不改变算符的本征值设算符在A表象和B表象中的本征方程分别为则所以幺正变换不改变矩阵的迹矩阵的迹则1A表象与B表象的变换关系（基矢变换）2力学量算符由A表象到B表象的变换3态矢量由A表象到B表象的变换4幺正变换的重要性质