量子力学（第2版）课件 21线性谐振子与占有数表象

§4-6线性谐振子与粒子数表象知识点教学目标线性谐振子的代数解法粒子数表象（数态表象）

记住产生算符和消灭算符的性质。会推导粒子数算符的性质。牢记产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用公式。把握线性谐振子的能量表象和粒子数表象之间的关系。初步了解量子力学的代数解法。本节内容1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示量纲分析线性谐振子的哈密顿算符为构造无量纲量所以产生算符和消灭算符（无量纲算符）消灭算符产生算符1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示产生算符和消灭算符的性质由于，故不是厄米算符。满足对易关系可以推出1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示

、和的对易关系同理1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示定义：粒子数算符它是厄米算符满足对易关系粒子数算符的性质1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示粒子数算符的本征值和本征态设

的本征方程为且因为所以且是的本征态，对应的本征值为n-1所以又因为是的本征态，对应的本征值为n-2采用类似办法，可得结论：的本征值及本征态分别为1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示以此类推，得是的本征态，对应的本征值为n-k是的本征态，对应的本征值为n+k本征值：本征态：1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示又因此所以同理即、的作用使态分别变成了、态，所以、

分别称为消灭算符（降算符）、产生算符（升算符）。1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示设的最小本征值为，相应的本征矢为，则把、、···逐次作用于

，得到的一系列本征解：即是的本征值为0的本征态，记为。本征值：本征态：1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示即也是的本征态，对应的本征值为能量本征值能量本征态1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示基态波函数归一化1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示激发态波函数所以下面计算因此1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示说明：实际上将矩阵取共轭就可得矩阵。算符、的矩阵表示1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示算符、的矩阵表示说明：因为在自身表象下，所以均为对角矩阵。1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示算符、的矩阵表示1产生算符和消灭算符2粒子数算符3产生、消灭算符对粒子数算符本征态的作用4粒子数算符的本征解5能量本征值及本征态6粒子数表象中算符的矩阵表示例1如果的本征方程为，且，那么，波函数

和也都是的本征函数，对应的本征值分别为

和。因为所以同理ABCD提交21-1若，，且