线性代数智能电子教案（同济六版）方文波线性代数求解模型全套教案课件

第一章行列式第一节二阶与三阶行列式第二节全排列和对换第三节n阶行列式的定义释疑解难知识要点习题课第五节行列式按行(列)展开第四节行列式的性质第一章行列式在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性方程组的解完全由未知量的系数与常数项所确定．为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础上，给出n

阶行列式的定义并讨论其性质，进而把n

阶行列式应用于解n元线性方程组．主要内容n

阶行列式的定义、性质及其计算．重点内容

行列式的计算．行列式是一种常用的数学工具，在数学及其他学科中都有着广泛的应用．第一节二阶与三阶行列式二阶行列式主要内容三阶行列式举例在讨论n阶行列式之前，先简单回顾一下二阶和三一、二阶行列式引例1

用消元法解二元线性方程组（１）阶行列式．解用加减消元法，可得当

a11a22–

a12a21

0

时，求得方程组（１）的解为（２）为了记忆该公式，引入记号并称之为二阶行列式．素或元．第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常称aij为行列式的(i,j)元标称为行标，表示该元素所在的行，aij

的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下其中aij

称为行列式的元素，由二阶行列式的定义，若记则当D0时，方程组注意：Ｄ称为系数行列式，Ｄj是用常数项b1,b2替换Ｄ中的第

j

列(j=1,2).例１求解线性方程组可写成二阶行列式，即有唯一解式中x1，x2的分子也二、三阶行列式引例2

用消元法解关于x,y,z三元线性方程组解为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入三阶行列式．三阶行列式的定义如下:定义设有9个数排成3行3列的数表记（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式.三阶行列式的展开式也可用如下对角线法则得到：例2计算三阶行列式三、举例行列式的定义模型例3求解方程可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方程组的求解公式,即

xj=Dj/D（j=1,2,3）.现在的问题是,对于

n

元线性方程组,是否也有类似的求解公式.但要讨论n元线性方程组,首先要把二阶和三阶行列式加以推广,然后引入

n

阶行列式的概念.第二节全排列和对换全排列逆序数引例主要内容对换一、引例引例用1，2，3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字1，2，3叫做元素.上述问题就是：把三个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法.二、全排列对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？先给出全排列的定义.定义把

n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.由的结果可知P3=3·2·1=6.为此为了得出计算Pn

的公式，可以仿照讨论：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n

–1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n

–1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n

个位置上，只有1种取法.于是Pn

=n

•(n–1)•

···

•3•2•1=n!.进行三、排列的逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.1.定义逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排在一个n阶排列中，任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则一个n阶排列的顺序数与逆序数的和为n(n–1)/2.列叫做偶排列．下面来讨论计算排列的逆序数的方法.2.计算方法不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi(i

=1,2,···,n),如果比

pi

大的且排在pi

前面的元素有ti

个，就说pi

这个元素的逆序数是ti

.全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例4求排列的逆序数．求逆序数模型四、对换理．把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个对换．例如，经过1,2对换，排列2431就变成了1432，排列2134就变成了1234．关于排列的奇偶性，有下面的定定理1对换改变排列的奇偶性．对换模型推论奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．

第三节n阶行列式的定义三阶行列式的定义主要内容n阶行列式的定义举例一、三阶行列式的定义为了给出n

阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构．三阶行列式的定义为正负号外可写成成标准排列123,而第二个下标(列标)排成p1p2p3,容易看出：(1)上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列．因此，任一项除这里第一个下标(行标)排它是1，2，3这三个数的某个排列．(2)各项的正负号与列标的排列对照带正号的三项列标排列：123,231,312(为偶排列)．带负号的三项列标排列：132,213,321

(为奇排列)．故三阶行列式可以写成3!=６种，故上式右端共有６项．这样的排列共有其中t

为排列p1p2p3的逆序数，

表示对1，2，3三个的情形，得到n

阶行列式的定义．类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广到一般数的所有排列p1p2p3求和．二、n阶行列式的定义定义设有n2个数，排成

n

行

n

列的数表号(-1)t，得到形如作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符

an1

an2…ann………...

a21

a22…a2n

a11

a12…a1n的项，其中p1p2

···

pn为自然数1，2，···，n的一个排列，称为

n

阶行列式，记作有n!项．所有这n!项的代数和这个排列的逆序数．由于这样的排列共有n!个，t为因而共简记作det(aij)，其中数aij

为行列式D的（i,j）元.这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.三、举例例5证明n

阶行列式(其中主、次对角线上的元素是

i，未写出的元素都是0)例6证明下三角形行列式下面再举一个例子．为了使同学们进一步加深对

n

阶行列式定义的理解,例7设有四阶行列式问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系数．

性质1主要内容性质2性质3第四节行列式的性质性质4性质5性质6举例由n阶行列式的定义可知，当n较大时，用定义计算行列式运算量很大．需作1920!次乘法，若用每秒运算亿万次的电脑，也要算一千年才行！要解决的一个重要课题．例如，计算一个20阶的行列式因此如何有效地计算行列式，这是我们简化行列式的计算，设n阶行列式为了解决这一问题，需先研究行列式的性质．主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，不仅可以本节而且对行列式的理论研究也很重要.把

D

中的行与列互换，所得的

n

阶行列式记为

DT：称

DT

为

D

的转置行列式．性质1

行列式与它的转置行列式相等．由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位,对于行成立的性质对于列也同样成立,所以下面只讨论有关行列式行的性质．性质2

互换行列式的两行(列)，行列式变号．交换i,j两行记为

交换i,j两列记为

推论

如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列证明

把这两行互换，有D=

-D，故D=0.式等于零.以提到行列式符号的外面.第i行(或列)乘k,记作ri

k(或ci

k)性质3

行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一个数k,等于用数k乘此行列式.推论

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可则这个行列式等于两个行列式之和,即性质4

行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零.性质5

若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,性质6

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如,以数k乘第j列加到第i列上(记作ci+kcj),有(i≠j)性质2，3，6介绍了行列式关于行和列的三种运算，交换运算：行交换列交换线性运算：行运算列运算数乘运算：行运算列运算它们分别记为在本教案中分别称为交换运算、线性运算、数乘运算，利用上述三种运算可简化行列式的计算，特别是利单击这里开始练习把行列式化为上三角形行列式,从而得到行列式的值.化为0.用运算ri+krj

(或ci+kcj

)可以把行列式中许多元素计算行列式常用的一种方法就是利用运算ri+krj

请做练习.举例例8计算解例9计算解例10设证明D=D1D2.例11计算2n阶行列式其中未写出的元素皆为0.余子式和代数余子式主要内容引理行列式按行(列)展开法则第五节行列式按行(列)展开三阶行列式的几何意义行列式的计算方法和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是：列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解决这个问题，先学习余子式如何把高阶行一、余子式和代数余子式Aij叫做元素aij

的代数余子式．定义

在n阶行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第

j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij；

Aij=(–1)i+jMij

，记求余子式模型D=aijAij

.二、引理

一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除aij

外都为0,那么这行列式等于aij

与它的代数余子式的乘积,即或

D=a1jA1j+a2jA2j+···

+anjAnj(j=1,2,···

,n).三、行列式按行(列)展开法则定理2

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···

+ainAin(i=1,2,···

,n),这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.

例任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算.三阶行列式展开模型四阶行列式展开模型例12

行列式称为n

阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明由还可得下述重要推论.推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j,或

a1iA1j+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.综合及其推论，有关于代数余子式的重要性质：或其中仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij)按第i

行展开的展开式中，用b1,b2,···,bn依次代替ai1,ai2,···,ain

，可得类似地，用b1,b2,···,bn

代替det(aij)中的第j

列，可得例13

设D

的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij

，求A11+A12+A13+A14

及M11+M21+M31+M41.1.

直接用定义计算;2.

利用性质化为三角形行列式;3.

利用展开式定理降阶.

五、行列式的计算方法到现在为止，我们已能计算任意阶的行列式．的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:行列式

行列式的计算在这三种方法中,方法1

主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2

适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3

主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.计算一个行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.下面看几个例子.当然在

下面再举几个n

阶行列式计算的例子.

例b1

设证明递推关系式

Dn

=

nDn-1-

n-1

n-1Dn-2(n>2).在计算数学中常被引用.Dn

是常见的n

阶三对角行列式,所证的递推关系式例b2

计算n

阶行列式例b3

计算n

阶行列式释疑解难

1.计算n元排列的逆序数常用的方法有哪些?

答常用的方法有:

（1）分别算出排在1,2,···

,n-1,n前面比它大的元素个数之和,即分别算出1,2,···

,n-1,n这n

个元素的逆序数,这n个元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数.

（2）如果在不要求计算排列的逆序数而只要求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所给排列

p1p2···pn

变成自然排列12···

n,根据对换次数的奇偶性来确定所给排列的奇偶性.如排列

523146879,对换1与5,得123546879,再对换4与5,得123456879,再对换7与8,得123456789.共对换

三次,故所给排列为奇排列.

2.行列式有哪些常用公式?

答

常用公式有:

（1）范德蒙德行列式,即（2）三角形行列式,即(上三角形)，(下三角形)，

3.计算行列式的方法有哪些?

答

计算行列式的方法通常有:

（1）依定义计算行列式.

（2）用对角线法计算行列式,它只适用于二阶和三阶行列式.

（3）利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式．例如，利用三角形行列式；一行（列）全为零的行列式；两行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列式等．

（４）利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式．

（５）利用按行（列）展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式．

（６）用数学归纳法计算行列式．

（７）综合运用上述各种方法来计算行列式．其中（３）、（４）、（５）、（６）、（７）最常用．

４．二阶和三阶行列式的计算可按对角线法则进行，为什么n（n＞３）阶行列式没有类似的法则？

答对于四阶行列式，如果按对角线法则，那么只能写出八项，然而依定义，四阶行列式共有4！=24项，另外，这样写出的项的符号也不一定正确．因此，在计算n（n＞３）阶行列式时，不能再用对角线法则．

５．计算行列式时利用行列式的性质很重要,试进一步加以说明．

答

计算行列式应根据具体情况具体分析，但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化成简单的、已知的或容易计算的行列式．下面列举几个常用的情况．

（１）将行列式各行（列）分别乘一个数统统加到某一行（列）上去．比如爪形行列式：

将第i列的(-bi/ai)倍(i

=2,3,···,n)统统加到第１列，得爪形行列式(ai

0,i=2,3,···,n).其中所以

Dn=c1a2···

an.已化为三角形行列式

（2）逐行（列）相加减.比如计算从第n-1行直到第1

行,每一行乘-1加到下一行,得次对角线以下的元素全为零

（3）加边法.此法大多适用于某一行（列）有一个相同的字母.比如计算添加一行一列,得将第1行的-1倍加到其他各行,得爪形行列式

由爪形行列式的结果知,当m=0

时,

Dn=0

;当m

≠0时,

Dn=mn-2(m+a1

+a2

+···+an).

（4）将某一行（列）的倍数分别加到其他行（列）.这一步骤前面已经用过，不再举例.（5）按某一行（列）展开.比如计算从第2行开始,每行乘-1加到上一行,得按第1列展开,得再从第2行开始,每行乘-1加到上一行,得习题课1.用定义计算行列式（1）（2）

2.计算四阶行列式单击这里开始解答

3.计算四阶行列式单击这里开始解答

4.计算六阶行列式单击这里开始解答

5.计算四阶行列式单击这里开始解答６.证明：当

m

时，＝sin(n+1)

/sin

.７.计算n阶行列式知识要点

一、内容提要

１.全排列及其逆序数

2.

n阶行列式的定义其中

p1p2···

pn

为自然数1,2,···,n

的一个排列;t

为这个排列的逆序数;表示对1,2,···,n

的所有排列求和.

n

阶行列式

D

也可定义为其中

t

为行标排列

p1p2···

pn

的逆序数.

3.对换

4.行列式的性质

(1)行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.

(2)互换行列式的两行(列),行列式变号.

(3)如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.

(4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一个数

k

,等于用数k乘此行列式.

(5)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

(6)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

(7)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则该行列式可拆成两个行列式之和.

(8)把行列式的某一列(行)的各元素乘同一个数,然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变.

5.行列式按行(列)展开

(1)余子式,代数余子式.

(2)关于代数余子式的重要性质:或其中

二、基本要求与重点、难点

基本要求掌握n阶行列式的定义、性质，掌握计算n

阶行列式的基本方法和技巧．

重点

行列式的计算．

难点行列式的定义．第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数的主要研究对象.它在线性代数与数方程组的解法及有解的条件.及其运算.秩、可逆矩阵以及矩阵的初等变换、分块矩阵的概念本章介绍矩阵的概念、矩阵的基本运算、矩阵的阵表达并用有关理论解决.学的许多分支中都有重要应用,许多实际问题可以用矩最后,利用矩阵的有关概念与方法讨论线性主要内容线性方程组几种常用的特殊矩阵矩阵的应用举例第一节线性方程组和矩阵矩阵的定义一、线性方程组设有n个未知数m个方程的线性方程组其中aij是第i个方程的第j个未知数的系数，bi是第i个方程的常数项，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，当常数项b1,b2,…,bm不全为零时，线性方程组(1)叫做n元非齐次线性方程组，当b1,b2,…,bm全为零时，(1)式成为叫做

n元齐次线性方程组．对于n元齐次线性方程组(2)，x1=x2=…=xn=0一定是它的解，称之为齐次线性方程组(2)的零解．如果一组不全为零的数是(2)的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解．齐次线性方程组(2)一定有零解，但不一有非零解．例如二元，非齐次二元，非齐次二元，齐次Oxy唯一解Oxy无解Ox1x2无穷多解对于线性方程组需要讨论以下问题：(1)

它是否有解？(2)

在有解时它的解是否唯一？(3)

如果有多个解，如何求出它的所有解？对于线性方程组(1)上述诸问题的答案完全取决于它的m

n个系数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)和右端的常数项b1,b2,…,bm所构成的m行n+1列的矩形数表：这里横排称为行，竖排称为列；而对于齐次线性方程组(2)的相应问题的答案也完全取决于它的m

n个系数aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)所构成的m行n列的矩形数表：定义1

由m

n个数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,

叫做一个

m

n矩阵,

这m

n个数叫做矩阵的元素,

二、矩阵的定义aij

叫做矩阵A

的第i行第

j列元素.n)排成的m行n列的数表元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵例如３×４矩阵5×2矩阵

A＝(aij)m

n

或A=(aij

).称为复矩阵．（3）式也可简记为三、几种常用的特殊矩阵(1)行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量).如A=(a11，a12，···，a1n).只有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量).如(2)零矩阵若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如(3)方阵

况下，也可记为Ｏ．矩阵，m

n零矩阵记为Ｏm

n，在不会引起混淆的情称为n

n

方阵，常称为n阶方阵或

n阶矩阵，简记为主对角线的方阵称为对角矩阵，如主对角线上的元素不全为零，其余的元素全都为零(4)对角矩阵A=(aij

)n.为n阶对角矩阵,其中未标记出的元素全为零,即对角矩阵对角矩阵常记为A=diag(a11,a22,···,ann).

例如

aij

=0,i

j,i,

j=1,2,···,

n,(5)单位矩阵主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵,n

阶单位矩阵E在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与“1”在初等代数中的作用相似.如EA=AE=A.简记为E或I.如(6)数量矩阵主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵.（c为常数）.n

阶数量矩阵例如(7)三角形矩阵主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为上(下)

上三角形矩阵下三角形矩阵三角形矩阵.例如(8)对称矩阵与反称矩阵在方阵A=(aij)n

中,如果aij=aji(i,j=1,2,···,n),则实对称矩阵反称矩阵例如矩阵.如果aij=-aji

(i,j=1,2,···,n),则称A为反称矩阵.称A为对称矩阵.如果A还是实矩阵,则称A为实对称矩阵A=(aij)m×n

与B=(bij)p×q

如果满足m=p且与当a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6时,它们相等.则称矩阵A和矩阵B相等,记为A=B.

例如

aij=bij,

i=1,2,···,m,j=1,2,···,n,如果对应元素相等,即定义两个同型矩阵A=(aij)m×n

与B=(

bij)m×n,

n=q,则称这两个矩阵为同型矩阵.

四、矩阵的应用举例矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式矩阵乘积的意义1.定义定义2设A=(aij)m×n与B=(bij)m×n是两个同型

A-B=A+(-B).显然有A+(-A)=O.由此可定义矩阵的差为若记-

A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩阵.B

的和，记为A＋B．矩阵，称m×n矩阵C=(aij+bij)m×n

为矩阵A

与矩阵

一、矩阵的加法

2.运算规律

设A,B,C为同型矩阵,则

(1)

A+B=B+A(加法交换律);

(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)

A+O=O+A=A,其中O

与

A是同型矩阵;(4)

A+(–A)=O.

例1设(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求矩阵C的负矩阵.

1.定义

定义3设A=(aij)m×n

,

k

是一个数,则称矩阵为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为

kA.

二、数与矩阵相乘

2.运算规律设矩阵A,B为同型矩阵,k,

l为常数，则(1)

1A=A;(2)

k(lA)=(kl)A;(3)

k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.

例2设且求矩阵X.三、矩阵的乘法1.引例

2.定义

定义4

设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n,则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,记作

注意:

只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.C=AB.

cij=ai1b1j+ai2b2j

+···+aipbpj

C=(cij)m×n,其中

例3利用下列模型计算两个矩阵的乘积.

例利用下列模型验证单位矩阵的性质.例4已知求AB.例5求矩阵的乘积AB及BA.定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组若令AX=b.则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:

(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.们相乘的次序.如AB读作“A左乘B”或“B右乘A”.然都有定义,但AB

BA.所以,在作乘法时,应指明它都有定义,它们也不一定相等.阵A和B,AB有定义,但BA就没有定义.即使AB与BA

AB有定义,BA不一定有定义.中的矩如如AX=b.中AB和BA虽(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果AB=

但A

C.例如CB,B

O,不一定能推出A=C.

(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如,本节中A

O,B

O,但BA=O.3.运算规律(1)

Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)

设A

是m

×

n

矩阵,Em是m阶单位矩阵,En是(5)

k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)

A(B+C)=AB+AC,

EmA=A,AEn=A;n阶单位矩阵,则四、方阵的幂如果A是n阶方阵,那么,AA有意义,也有意义,因此有下述定义:另外还规定，Ａ0=E.1.定义称为

Ａ的m次幂，记为Ａm,即定义

设A是n阶方阵,m

是正整数,m

个Ａ相乘2.运算规律设A

为方阵,k,l

为正整数,则A与B,一般来说(AB)k

AkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个

n阶方阵

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.例设计算A2,A3,An(n>3).例6证明六、矩阵的转置1.定义定义5

把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新例如矩阵的转置矩阵为矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A′.转置模型2.运算规律设A，B，C，A1，A2，···，Ak是矩阵，且它们的行(A1A2···

Ak)T=AkT···

A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;数与列数使相应的运算有定义，k是数，则(5)

若A

为n

阶方阵,则(Am)T=(AT)m,A

为反称矩阵的充要条件是AT=-

A.

(6)

A

为对称矩阵的充要条件是AT=A;m

为正整数;

例7已知求(AB)T

.例8设A为n×1矩阵,且ATA=1,En为n阶单位矩阵,B=En

-2AAT,证明:B为对称矩阵,且B2=En.七、方阵的行列式1.定义定义6

由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.2.运算规律设A,B为n阶方阵,

为数,则有(1)|AT|=|A|;(2)|

A|=

n|A|;(3)|AB|=|A||B|.例9行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下方阵称为方阵A的伴随矩阵,试证AA

=A

A=|A|E.第二章矩阵及其运算

第一节线性方程组和矩阵第二节矩阵的运算

第三节逆矩阵第四节克拉默法则释疑解难知识要点习题课第五节矩阵分块法逆矩阵的概念主要内容矩阵可逆的充要条件可逆矩阵的性质举例第三节

逆矩阵引例矩阵多项式补充例题一、引例定义7

设Ａ是n阶方阵，若存在n阶方阵Ｂ，使得AB＝BA＝E，（1）则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作B＝A－1．如果不存在满足（1）的矩阵B，则称矩阵A是不可逆的．二、逆矩阵的概念现在的问题是：可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．矩阵A满足什么条件时可逆？三、矩阵可逆的充要条件定理1

如果n阶矩阵Ａ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．定理２

n

阶矩阵Ａ可逆的充要条件是|Ａ|0.果Ａ可逆，则其中Ａ

为矩阵Ａ的伴随矩阵.如由推论

若AB=E（或BA=E），则B=A-1.可得下述推论：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|

0，则称A

为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.明，矩阵A可逆与矩阵Ａ非奇异是等价的概念.定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵的逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法.说四、可逆矩阵的性质(2)设A,B,Ai(i

=1,2,···,m)为n阶可逆矩阵,k为非零常数，则A-1,kA,AB,A1A2···

Am,AT

也都是可逆矩阵，(1)(A-1)-1=A;(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2···

Am)-1=Am-1···

A2-1A1-1;且

(4)(AT)-1=(A-1)T;(5)(6)(Am)-1=(A-1)m,m

为正整数.例10求二阶矩阵的逆矩阵.五、举例例11用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：单击这里开始解答矩阵的求逆模型例12解矩阵方程AXB=C，其中例13设求An.六、矩阵多项式设

(x)=a0+a1x+···+amxm为x的m次多项式，A为n阶方阵，记

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

，

(A)称为矩阵A的m次多项式.1.定义从而A的多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因为矩阵Ak、Al

和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式

(A)和f

(A)总是可交换的，即总有

(A)f

(A)=f

(A)

(A)，2.性质3.计算方法（1）如果A=P

P–1，则Ak=P

k

P–1，从而

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

=Pa0EP–1+Pa1

P–1+···+Pam

mP–1=P

(

)P–1.（2）如果

=diag(

1,

2,···,

n)为对角矩阵，则

k=diag(

1k

,

2k

,···,

nk)，从而

(

)=a0E+a1

+···+am

m

例14设求

(A)=A3+2A2–3A.例b1设方阵A满足证明都可逆，并求七、补充例题例b2设求B.例b3设n

阶方阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.例b4设A为

n(n

≥2)阶方阵,证明|A

|=|A|n-1.克拉默法则主要内容线性方程组有解的条件举例第四节克拉默法则法则.在第一章的第一节,我们在引进了二阶、三阶行列式以后，得到了二元、三元线性方程组的很好记忆的求解公式.定义了n阶行列式以后,对于含有n个未知数n个方程的线性方程组,也有类似的求解公式——克拉默克拉默法则

如果线性方程组的系数行列式不等于零,即

(1)一、克拉默法则

那么,方程组(1)有唯一解其中Dj

(j=1,2,···

,n)是系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即例15解线性方程组解克拉默法则例16设曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3

通过四点(1,3),(2,4),(3,3),(4,-3)，求系数a0,a1,a2,a3.时,就不能用克拉默法则求解.通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方程的个数与未知量的个数不等在线性方程组理论中的重要地位.了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方但这并不影响克拉默法则克拉默法则不仅给出程组的系数和常数项的关系.定理1

如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理.0

,则(1)一定有解,且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件定理1的逆否命题为定理1′如果线性方程组(1)无解或有无穷个不同的解,则它的系数行列式必为零.的系数行列式D

对于齐次线性方程组(2)有以下定理.

定理2′如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它定理2

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式

D0,则齐次线性方程组(2)没有非零解.的系数行列式必为零.例17

讨论

为何值时,线性方程组有唯一解,并求出其解.三、举例例18

问

取何值时,齐次线性方程组有非零解？分块矩阵的定义主要内容分块矩阵的运算第五节矩阵分块法两种常用的分块法线性方程组的各种形式对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.我们将矩阵A

用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.一、分块矩阵的定义例如将3×4矩阵分成子块的分法很多,下面举出三种分块形式:分法(1)可记为其中即A11,A12,A21,A22为A的子块,而A形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵.似写出,这里从略.分法(2)及(3)的分块矩阵可类二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分别说明如下:1.加法运算设矩阵A与B的行数相同、列数相同,采用相同的分块法,有其中Aij

与Bij的行数相同、列数相同,那么

为常数,那么

2.数乘运算设

3.分块矩阵的乘法运算

设A为m×l矩阵,B为

l×n矩阵,分块成其中Ai1,Ai2,···,Ait的列数分别等于B1j,B2j,···,Btj

的行数,那么其中例19设求AB.4.分块矩阵的转置设则5.分块对角矩阵设A为

n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即其中Ai

(

i=1,2,···,s)都是方阵,那么称A为分块对角矩阵.分块对角矩阵的性质:(2)若|Ai|

0(i=1,2,···,s),则|A|

0,且(1)

|A|=|A1||A2|

···

|As|;例20设求A-1.三、两种常用的分块法1.按行分块对于m

n矩阵A可以进行如下分块：2.按列分块对于m

n矩阵A可以进行如下分块：对于矩阵A=(aij)m

s

与矩阵B=(bij)s

n

的乘积矩阵AB=C=(cij

)m

n

，若把A按行分成m块，把B按列分成n

块，便有=(cij)m

n

，以对角矩阵

m

左乘m

n

矩阵A时，把A按行分块有以对角矩阵

m

左乘A

的结果是A

的每一行乘以

m中与该行对应的对角元.以对角矩阵

n

右乘m

n

矩阵A

时，把A按列分块有以对角矩阵

n

右乘A

的结果是A

的每一列乘以

n中与该列对应的对角元.例21证明矩阵A=O的充要条件是方阵ATA=O.四、线性方程组的各种形式对于线性方程组记其中A称为系数矩阵，x称为未知向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，可记B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（2）以向量x为未知元，它的解称为方程组(1)的解向量.如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组Ax=b可记作或这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+···+ainxn=bi记作如果把系数矩阵A按列分成n块，则与A相乘的x

应对应地按行分成n块，从而记作即x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的各种变形.今后，它们与（1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程.Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）释疑解难答矩阵是线性代数中最重要的部分,它是线性代数的有力工具.它是根据实际需要提出的,大量的问题借助它可以得到解决.譬如,一般线性方程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的;作为解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运算导出.二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究;化二次型为标准形,实际上就1.为什么要研究矩阵?是化对称矩阵为合同对角形与合同标准形;线性变换可以用矩阵来表示,从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究.矩阵运算的实质,是把它当做一个“量”来进行运算,因而使得运算得到大大简化.2.任何两个矩阵A，B都能进行加(减)和相乘运算吗?

答不是.(1)只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时,A与B才能相乘,这时AB才存在.

3.两个矩阵A，B相乘时,AB=BA吗?|AB|=|BA|吗?

答

AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此时A，Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,AB

BA.但对同阶方阵A，B,|AB|=|BA|是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

4.若AB=AC能推出B=C吗?

答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如则AB=AC,但B

C.

5.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?

答非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如但又如但

6.设A与B为n阶方阵,问等式

A2

-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=O，即AB=BA.7.设A，B，C是与E同阶的方阵,其中E是单位矩阵.若ABC=E，问：BCA=E，ACB=E，CAB=E，BAC=E，CBA=E中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？答由于ABC=E，说明BC是A的逆矩阵，AB是C的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘可交换，故总有

BCA=E，CAB=E成立.而其他的等式不一定成立.

8.设方阵A满足ax2+bx+c=0(c

0),即有aA2+bA+cE=O.问：A可逆吗？若可逆求A-1.

答由aA2+bA+cE=O及c

0，可得从而A为可逆方阵，而且9.如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的逆矩阵都有些什么方法？

答可以利用伴随矩阵法，即还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方法求逆；利用矩阵的初等行变换法求逆等.

10.有没有不是方阵的矩阵A，B，满足

AB=E？

答有.例如则11.是否存在n

阶方阵A

和B

，能使

AB-BA=E

？

答没有.设A=(aij),B=(bij)为任意两个n

阶方阵，则AB主对角线上的元素为它们的和为同样，BA的主对角线上的元素的和为这说明AB与BA的主对角线上的元素的和相等，从而

AB-BA的主对角线上的元素的和为零.但是，单位矩阵E的主对角线上元素的和为n

0,故对任意的同阶方阵A，B，都有AB-BA

E.

12.若A可逆，那么矩阵方程AX=B

是否有唯一解X=A-1B？矩阵方程YA=B

是否有唯一解Y=BA-1？答是的.这是由于A-1的唯一性决定的.

13.矩阵A的伴随矩阵A

有什么特点？答有两个特点，一是元素是由aij

的代数余子式Aij所构成；二是A的第

i行的元素

aij的代数余子式Aij

写在A

的第

i列，即习题课

1.

设计算

2.

设计算

3.

设求

4.设A与B都是幂等矩阵,即A2=A,B2=B,证明A+B是幂等矩阵的充要条件是

AB=BA=O.5.(1)

已知试证:可逆,且求(2)

已知证明可逆(其中x

为任意实数),并求其逆阵的表达式.(3)

设

n

阶方阵A

与B

满足证明

6.

设求A-1.7.

已知

(1)

验证P-1AP是对角矩阵;(2)

计算

8.

求下列矩阵的逆矩阵:单击这里开始解答单击这里开始解答9.

设A为五阶方阵,且(1)求(2)求10.

求解下列各题.

(1)

设三阶行列式A,B满足关系式且求B.

(2)

设有矩阵方程求X.知识要点

一、内容提要1.矩阵的概念

(1)矩阵的定义

定义1

由m×n个数aij(

i=1,···

,m;

j=1,···

,n)排成m行n列的数表叫做m行n列矩阵,简称m×n

矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素,aij叫做矩阵A的第

i行第j列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵,(1)式也简记为A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩阵A也记作Am×n.

(2)方阵、列矩阵、行矩阵对(1)式,当m=n时,A称为

n阶方阵.当m

=1时,A称为行矩阵.当

n

=1时,A称为列矩阵.

(3)同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij(i=1,···,

m;j=1,···,n),那么就称A与B

相等,记作A=B.(4)零矩阵、单位矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.主对角线上的元素都是1,其他元素都是0

的

n

阶方阵,叫做n阶单位矩阵,简记作E或I.2.矩阵的运算

(1)矩阵运算的定义设A=(aij)s×n

,B=(bij)t×m为两个矩阵,当s=t,n=m时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为

A+B=(aij+bij),A+B称为A与B的和.当n=t时可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(

i=1,2,···,s;j

=1,2,···,m),AB称为A与B的积.设k为实数,定义

kA=(kaij),则称