成考线性代数试题及答案

成考线性代数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）A.-2B.2C.10D.-102.若\(n\)阶方阵\(A\)可逆，则（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(A\)与单位矩阵\(E\)等价C.\(A\)的秩\(r(A)<n\)D.\(A\)有零特征值3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.1B.2C.3D.04.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=0\)仅有零解的充分必要条件是（）A.\(m\geqn\)B.\(r(A)=m\)C.\(r(A)=n\)D.\(r(A)<n\)5.设矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)合同C.\(\vertA\vert\neq\vertB\vert\)D.\(A\)与\(B\)有不同的特征值6.若矩阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值为（）A.0B.1C.0或1D.27.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.328.向量\(\alpha=(1,-1,2)\)与\(\beta=(2,0,1)\)的内积为（）A.0B.3C.4D.59.设\(A\)为正交矩阵，则\(A^TA\)等于（）A.\(0\)B.\(E\)C.\(A\)D.\(2E\)10.若\(A\)是对称矩阵，则（）A.\(A^T=-A\)B.\(A^T=A\)C.\(A^2=E\)D.\(A\)可逆二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于矩阵的说法正确的是（）A.两个同型矩阵可相加B.矩阵乘法满足交换律C.可逆矩阵一定是方阵D.方阵的行列式为0则不可逆2.下列向量组中，线性相关的有（）A.\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(2,2,2)\)B.\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(1,0,1)\)3.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(r(A)+r(B)\leqn\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(A\)与\(B\)都不可逆4.关于矩阵的特征值与特征向量，正确的是（）A.不同特征值对应的特征向量线性无关B.特征向量一定是非零向量C.矩阵的特征值一定是实数D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值5.以下属于正交矩阵性质的是（）A.\(A^TA=E\)B.\(\vertA\vert=\pm1\)C.\(A\)的列向量组是正交单位向量组D.\(A\)可逆且\(A^{-1}=A^T\)6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(r(A)=r\)，则（）A.\(A\)的所有\(r+1\)阶子式都为\(0\)B.\(A\)至少有一个\(r\)阶子式不为\(0\)C.\(A\)的标准形为\(\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}\)D.\(A\)经过初等变换可化为标准形7.若\(A\)，\(B\)为同阶方阵且相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的秩C.\(A\)与\(B\)有相同的行列式D.\(A\)与\(B\)有相同的迹（主对角线元素之和）8.下列哪些运算不改变矩阵的秩（）A.矩阵的初等行变换B.矩阵的初等列变换C.左乘可逆矩阵D.右乘可逆矩阵9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则（）A.\((A-\lambdaE)x=0\)B.\(Ax=\lambdax\)C.对于任意常数\(k\)，\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值D.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值10.线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是（）A.\(r(A)=r(A\vertb)\)B.\(b\)可由\(A\)的列向量组线性表示C.\(r(A)<n\)D.\(A\)的列向量组线性无关三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^T=A^TB^T\)。（）2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。（）3.矩阵的秩等于它的非零行的行数。（）4.若\(A\)为可逆矩阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆。（）5.相似矩阵一定有相同的特征向量。（）6.对于任意向量\(\alpha\)，\(\beta\)，有\((\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\)。（）7.若\(A\)是正交矩阵，则\(A\)的行向量组是正交单位向量组。（）8.线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(r(A)<n\)（\(n\)为未知数个数）。（）9.矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)一定满足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)。（）10.若\(A\)，\(B\)为同阶方阵且\(r(A)=r(B)\)，则\(A\)与\(B\)相似。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充要条件。答：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)，或\(A\)满秩\(r(A)=n\)，或\(A\)与单位矩阵\(E\)等价。2.如何判断向量组的线性相关性？答：可通过定义，看是否存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)成立；也可求向量组构成矩阵的秩，若秩小于向量个数则线性相关。3.什么是矩阵的特征值和特征向量？答：设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在数\(\lambda\)和非零向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，则\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是\(A\)对应于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.简述正交矩阵的性质。答：正交矩阵\(A\)满足\(A^TA=E\)，\(\vertA\vert=\pm1\)，其行、列向量组都是正交单位向量组，且\(A\)可逆，\(A^{-1}=A^T\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论矩阵的等价、相似、合同之间的关系。答：等价是最宽泛的关系，相似和合同的矩阵一定等价；相似矩阵有相同特征值，合同矩阵有相同的正负惯性指数；正交相似则既相似又合同；但相似不一定合同，合同也不一定相似。2.在线性代数中，线性方程组解的结构是怎样的？答：对于齐次线性方程组\(Ax=0\)，若有非零解，其通解由基础解系的线性组合构成；对于非齐次线性方程组\(Ax=b\)，其通解等于对应的齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。3.如何求矩阵的标准形？答：可通过初等行变换和初等列变换，将矩阵逐步化为左上角是单位矩阵，其余元素为\(0\)的形式，即标准形。具体步骤是用初等变换把矩阵化为行阶梯形，再进一步化为行最简形，最后化为标准形。4.特征值和特征向量在实际中有哪些应用？答：在物理中用于分析振动、稳定性；在工程领域用于结构力学分析；在数据分析中用于主成分分析降维等。能简化复杂的计算和模型分析，抓住关键因素和特征。答案一、单项选择题1.A