山东专用2024年高考数学一轮复习专题08指数与指数函数含解析

PAGEPAGE1专题08指数与指数函数一、【学问精讲】1.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[微点提示]1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.二、【典例精练】考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ab))(－6ab)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3ab)).【解析】(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\s\up6(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.【解法小结】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应留意：(1)必需同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后依次.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围________．【答案】(－∞，－2]【解析】y＝21－x＋m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1＋m，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.故m的取值范围为(－∞，－2]．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.【答案】(0，2)【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【解法小结】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特殊地，当底数a与1的大小关系不确定时应留意分类探讨.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.考点三指数函数的性质及应用角度1指数函数的单调性【例3－1】(1)(2024·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.【答案】(1)A(2)(－3，1)【解析】(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.[答案]A(2)当a<0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7<1，则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.当a≥0时，则eq\r(a)<1，0≤a<1.综上知，实数a的取值范围是(－3，1).角度2与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.(2)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2+2x+3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________.【答案】(1)(－∞，4](2)(－∞，－1]【解析】(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上是增加的，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上是削减的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞).因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2＋2x＋3).由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].角度3函数的最值问题【例3－3】假如函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.【答案】3或eq\f(1,3)【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上单调递增，则ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)(负值舍去).综上，a＝3或a＝eq\f(1,3).【解法小结】1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析推断.易错警示在探讨指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类探讨.【思维升华】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.推断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得究竟数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种状况分类探讨.【易错留意点】1.对与复合函数有关的问题，要弄清晰复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且肯定要留意函数的定义域.2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应留意换元后“新元”的范围.三、【名校新题】1.(2024·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一样的是()A.y＝sinx B.y＝x3C.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D.y＝log2x【答案】B【解析】y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sinx不是单调递增函数，不符合题意；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是非奇非偶函数，不符合题意；y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2.(2024·衡水中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒过定点，则这个定点的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))【答案】C【解析】(1)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq\f(1,2)＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).3.(2024·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y＝eq\r(1－x) B.y＝|x－2|C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)【答案】A【解析】f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝eq\r(1－x)的图象不过点A(1，1).4.(2024·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)【答案】A【解析】由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．5.(2024·南宁调研)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的单调递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【答案】D【解析】令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故选D.6.(2024·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))∪(2，＋∞)D．(－∞，2)【答案】B【解析】函数f(x)＝ex－eq\f(1,ex)的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－eq\f(1,e－x)＝eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．7.(2024·西安市质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预料经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()【答案】D【解析】设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝eq\f(z,b)＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.8.(2024·合肥检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)【答案】D【解析】原不等式变形为m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(－∞，－1]上是减函数，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2.故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.9.化简eq\f(（a\f(2,3)·b－1）－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))＝________.【答案】eq\f(1,a)【解析】原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).10.(2024·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中全部具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.【答案】①④【解析】：设g(x)＝exf(x)，对于①，g(x)＝ex·2－x，则g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln2)>0，所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，g(x)＝ex·3－x，则g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln3)<0，所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，明显函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M性质的函数的序号为①④.11.(2024·西安质检)若偶函数f(x)满意f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．【答案】{x|x>4或x<0}【解析】∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x＜0，))当f(x－2)＞0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0，))解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．12.(2024·长沙一中月考)已知函数f(x)＝eq\f(3x＋a,3x＋1)为奇函数.(1)求a的值；(2)推断函数f(x)的单调性，并加以证明.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝eq\f(1＋a,1＋1)＝0，所以a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明：设x1<x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2（3x1－3x2）,（3x1＋1）（3x2＋1）).因为x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定