概率论与数理统计A考试题及答案

概率论与数理统计A考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，则\(P(A-B)\)为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.52.随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.设\(X\simN(1,4)\)，\(\varPhi(x)\)是标准正态分布函数，则\(P(X\leqslant3)\)等于（）A.\(\varPhi(1)\)B.\(\varPhi(2)\)C.\(\varPhi(3)\)D.\(\varPhi(4)\)4.二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数\(F(x,y)\)，则\(F(+\infty,+\infty)\)等于（）A.0B.0.5C.1D.不存在5.设\(X\)和\(Y\)相互独立，\(X\simB(10,0.3)\)，\(Y\simB(15,0.4)\)，则\(E(X+Y)\)为（）A.9B.10C.11D.126.样本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)来自总体\(X\)，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，则样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的方差\(D(\overline{X})\)为（）A.\(\sigma^2\)B.\(\frac{\sigma^2}{n}\)C.\(n\sigma^2\)D.\(\frac{\sigma^2}{n^2}\)7.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是样本，\(\overline{X}\)为样本均值，则\(\mu\)的置信水平为\(1-\alpha\)的置信区间为（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)8.假设检验中，第一类错误是指（）A.原假设\(H_0\)为真，拒绝\(H_0\)B.原假设\(H_0\)为假，接受\(H_0\)C.备择假设\(H_1\)为真，拒绝\(H_1\)D.备择假设\(H_1\)为假，接受\(H_1\)9.设\(X\)是随机变量，\(E(X)=2\)，\(E(X^2)=5\)，则\(D(X)\)等于（）A.1B.2C.3D.410.设\(X\)和\(Y\)为两个随机变量，\(Cov(X,Y)=0\)，则下列说法正确的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互独立B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(P(XY=0)=1\)D.\(E(XY)=0\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于概率的性质正确的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)（\(A\)、\(B\)互斥）2.若随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则以下说法正确的是（）A.概率密度函数\(f(x)\)关于\(x=\mu\)对称B.\(E(X)=\mu\)C.\(D(X)=\sigma^2\)D.\(P(X\lt\mu)=0.5\)3.二维离散型随机变量\((X,Y)\)的联合分布律\(P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\)，则（）A.\(p_{ij}\geqslant0\)B.\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}=1\)C.\(P(X=x_i)=\sum_{j}p_{ij}\)D.\(P(Y=y_j)=\sum_{i}p_{ij}\)4.下列关于期望和方差的性质正确的有（）A.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)（\(a,b\)为常数）B.\(D(aX+b)=a^2D(X)\)（\(a,b\)为常数）C.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)（\(X\)、\(Y\)相互独立）5.设总体\(X\)的分布函数\(F(x;\theta)\)含有未知参数\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是样本，则以下是统计量的有（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(X_1+\theta\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-E(X))^2\)6.关于矩估计法，下列说法正确的是（）A.用样本矩估计总体矩B.计算相对简便C.不需要知道总体的分布类型D.估计结果唯一7.假设检验中，影响犯两类错误概率的因素有（）A.样本容量\(n\)B.显著性水平\(\alpha\)C.原假设\(H_0\)的设定D.检验统计量的选择8.若随机变量\(X\)和\(Y\)满足\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，则（）A.\(Cov(X,Y)=0\)B.\(X\)和\(Y\)不相关C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)D.\(X\)和\(Y\)相互独立9.设\(X\)是离散型随机变量，其分布律为\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)，则（）A.\(p_k\geqslant0\)B.\(\sum_{k}p_k=1\)C.\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)D.\(D(X)=\sum_{k}(x_k-E(X))^2p_k\)10.以下哪些分布是离散型分布（）A.二项分布B.泊松分布C.均匀分布D.正态分布三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)和\(B\)是两个事件，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.连续型随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)\)满足\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)。（）3.二维随机变量\((X,Y)\)相互独立，则\(P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\)。（）4.样本均值\(\overline{X}\)是总体均值\(E(X)\)的无偏估计。（）5.若\(X\)和\(Y\)相互独立，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，则\(D(X-Y)=-5\)。（）6.假设检验中，显著性水平\(\alpha\)是犯第二类错误的概率。（）7.总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知时，\(\mu\)的置信区间用\(t\)分布构造。（）8.对于任意随机变量\(X\)，\(E(X^2)=[E(X)]^2\)。（）9.若\(X\)服从参数为\(n,p\)的二项分布\(B(n,p)\)，则\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。（）10.相关系数\(\rho_{XY}=0\)时，\(X\)和\(Y\)一定相互独立。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述概率的公理化定义。答案：设\(E\)是随机试验，\(\Omega\)是样本空间，对于\(E\)的每个事件\(A\)赋予一个实数\(P(A)\)，若\(P(A)\)满足：非负性\(P(A)\geqslant0\)；规范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，对两两互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，则称\(P(A)\)为事件\(A\)的概率。2.简述二维随机变量相互独立的定义及判定方法。答案：定义：若二维随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)，则\(X\)与\(Y\)相互独立。判定方法：离散型看联合分布律\(P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)\)；连续型看联合概率密度\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。3.简述矩估计法的步骤。答案：首先设总体\(X\)的分布含有\(k\)个未知参数\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\)，求出总体的前\(k\)阶矩\(E(X^l)\)，\(l=1,2,\cdots,k\)。然后令样本的\(l\)阶矩等于总体的\(l\)阶矩，得到关于未知参数的方程组，解方程组得到未知参数的矩估计量。4.简述假设检验的基本步骤。答案：第一步，提出原假设\(H_0\)和备择假设\(H_1\)；第二步，选择合适的检验统计量；第三步，给定显著性水平\(\alpha\)，确定拒绝域；第四步，根据样本值计算检验统计量的值；第五步，将统计量的值与拒绝域比较，作出拒绝或接受\(H_0\)的决策。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论在实际生活中，哪些情况可以用泊松分布来近似描述。答案：如一段时间内某商场的顾客到达人数、某医院急诊室在一定时间内接收的急诊病人数、一本书中错别字的个数等。这些情况往往满足在充分小的时间段或空间内，事件发生的概率很小，但在大量的时间段或空间下，事件有发生的可能，就可用泊松分布近似描述。2.讨论样本容量\(n\)对参数估计和假设检验的影响。答案：样本容量\(n\)越大，参数估计越精确，估计值越接近真实值，置信区间越窄。在假设检验中，增大\(n\)可以降低犯两类错误的概率，提高检验的功效，使我们更有可能正确判断原假设是否成立，减少误判。3.讨论相关系数\(\rho_{XY}\)的意义及其取值范围的含义。答案：\(\rho_{XY}\)衡量\(X\)与\(Y\)线性相关程度。取值范围\([-1,1]\)，\(\rho_{XY}=1\)表示\(X\)与\(Y\)完全正线性相关；\(\rho_{XY}=-1\)表示完全负线性相关；\(\rho_{XY}=0\)表示\(X\)与\(Y\)不相关，即无线性关系，但可能有其他非线性关系。4.讨论在进行假设检验时，如何选择合适的检验方法。答案：要考虑总体分布类型，若总体正态