江苏专用2024年高考数学一轮复习考点30数列求和必刷题含解析

PAGEPAGE1考点30数列求和1．（江苏省南京市、盐城市2025届高三其次次模拟考试）等差数列中，，前项的和，则的值为______.【答案】【解析】由题得.故答案为：-42．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）若数列的首项，且，则=________.【答案】【解析】得且所以即是以2为首项，1为公差的等差数列。=n+1，从而3．（江苏省苏北六市2025届高三其次次调研测试）设等差数列{}的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的值为_______．【答案】【解析】由题意可得解得则4．（江苏省淮安市等四市2025届高三上学期第一次模拟）已知等差数列满意，，则的值为____．【答案】【解析】由题意，，，，所以．5．（江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次模拟考试）已知等差数列满意，则的值为___________．【答案】11【解析】等差数列满意,故答案为：11.6．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小起先取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22旁边取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为447．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满意：，.若成等差数列，，，则=__________.【答案】1【解析】依据题意,数列{an}满意：a1=3,(n⩾2)，则a2=2a1−3=2×3−3=3，a3=2a2−3=2×3+3=9，a4=2a3+3=2×9−3=15，其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，又由{a

k1}是等差数列,且k1=1，则有k2=3,k3=4，则k3−k2=1．8．（江苏省南通市2024年高考数学模拟）已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的全部可能值为______【答案】【解析】因为，所以，所以，将以上各式相加，得，又，所以，解得或.9．（江苏省南京师大附中2025届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且随意连续三项的和都是15，则a2024＝______．【答案】9【解析】由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.10．（江苏省南京师范高校附属中学2025届高三5月模拟考试）在数列中，，且随意连续三项的和都是15，则____．【答案】9【解析】由题意可得，将换为，可得，可得数列为周期为的数列，，即有，由随意连续三项的和都是可得可得，故答案为.11．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2025届高三年级第一次质量检测）已知数列满意对随意的，都有，且，其中，．记．（1）若，求的值；（2）设数列满意．①求数列的通项公式；②若数列满意，且当时，，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求出全部的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1011（2）①；②，满意题意【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以．（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以，，所以．②由题意，得，，因为，，成等比数列，所以，即，所以，即．由于，所以，即．当时，，得．当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，此时无正整数解．综上，，．12．（江苏省淮安市淮安区2025届高三第一学期联合测试）已知数列的前n项和为，且()．（1）求；（2）设函数，()，求数列的前n项和；（3）设为实数，对满意且的随意正整数m，n，k，不等式恒成立，试求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）当时，.当时，，满意上式，所以；（2）由分段函数可以得到：，，当，时，，故当，时，,，所以；（3）由，及得，∵，∴，∵，∴，要恒成立，只要，∴的最大值为.13．（江苏省清江中学2025届高三学情调研考试）数列中，，，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设（），，是否存在最大的整数，使得随意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)7.【解析】（1）∵，∴（），∴等差数列.设公差为，又，，∴，∴.（2），∴假设存在整数满意总成立，又∴数列是单调递增的∴的最小值，故，即又∴适合条件的的最大值为7.14．（江苏省南京师范高校附属中学、天一、海门、淮阴四校2025届高三联考数学调研测试）设数列的首项为1，前n项和为，若对随意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，，设，证明：．【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】（1）因为数列为“数列”，则故，两式相减得：，又时，，所以，故对随意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为.（2）假设存在这样的数列，则有，故有两式相减得：，故有，同理由是“数列”可得，所以对随意恒成立．所以，即，又，即，两者冲突，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．（3）因为数列为“数列”，所以，所以，故有，，又时，，故，满意，所以对随意正整数恒成立，数列的前几项为：．故，所以，两式相减得，明显，故，即.15．（2024-2025学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴中学三校联考高三数学）已知数列、，其中，，数列满意,，数列满意．（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于随意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满意，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）存在，；（3）．【解析】（1）由，即．又，所以.当时，上式成立，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故.(2)由（1）知，则.假设存在自然数，使得对于随意有恒成立，即恒成立，由，解得．所以存在自然数，使得对于随意有恒成立，此时，的最小值为16.（3）当为奇数时，；当为偶数时，.因此．16．（江苏省扬州树人学校2025届高三模拟考试四）已知无穷数列的各项都不为零，其前n项和为，且满意，数列满意，其中t为正整数．求；若不等式对随意都成立，求首项的取值范围；若首项是正整数，则数列中的随意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．【答案】(1).(2).(3)数列中的随意一项总可以表示为数列中的其他两项之积.理由见解析.【解析】（1）令，则，即，又，所以；由，得，两式相减得，又，故，所以．（2）由（1）知数列是首项为，公差为1的等差数列；数列是首项为，公差为1的等差数列．故所以①当时奇数时，，即，即对随意正奇数恒成立，所以，解得．②当时偶数时，，即，即对随意正偶数恒成立，所以，解得．综合①②得．（3）由数列是首项为1，公差为1的等差数列；数列是首项为正整数，公差为1的等差数列知，数列的各项都是正整数．设，即，所以，取，取，故，不妨设是偶数，则肯定是整数，故当是偶数时，方程的一组解是当是奇数时，方程的一组解是所以数列中的随意一项总可以表示为数列中的其他两项之积．17．（江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次模拟考试）已知数列，其前项和为，满意，其中，.（1）若，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求的值；（3）若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）依据题意得到，即，所以，故数列是等比数列；（2）是等比数列，设其公比为，依据，，，可构造方程进而求得参数值；（3）先求得，由，得，两式相减得：，化简得到，再由迭代的方法得到数列进而证得数列是等差数列.解析：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②当时，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此时()，所以，是公比为１的等比数列，故．（3）证明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以相减得：所以所以，因为，所以，即数列是等差数列.18．（江苏省南通市2025届高三上学期第一次调研测试）若数列同时满意：①对于随意的正整数n，恒成立；②若对于给定的正整数k，对于随意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．（1）已知，推断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）依据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）依据定义数列隔项成等差，再依据单调性确定公差相等，最终求各项通项，依据通项关系得数列通项，依据等差数列证结论试题解析：（1）当为奇数时，，所以..当为偶数时，，所以..所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以①，②.若，则当时，①不成立；若，则当时，②不成立；若，则①和②都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以.所以是等差数列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，数列是等差数列.19．（江苏省兴化市楚水试验学校、黄桥中学、口岸中学三校2025届高三12月联考）已知数列的满意，前项的和为，且.（1）求的值；（2）设，证明：数列是等差数列；（3）设，若，求对全部的正整数都有成立的的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)令得(2)因为，所以①.所以②，由②-①，得.因为，所以.所以，即，即即可得证（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.因为，所以，所以，所以数列是常数列.由，所以.所以.探讨数列的单调性求出最小值，变量分别即可得解.试题解析：（1）令得.（2）因为，所以①.所以②，由②-①，得.因为，所以.所以，即，即，所以数列是公差为1的等差数列.（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.因为，所以，所以，所以数列是常数列.由，所以.所以.因为所以数列为单调递增数列当时，，即的最小值为由，所以，而当时，在递减，递增，所以，当且仅当或时取得，故.20．（江苏省苏州市2025届高三调研测试理）在正整数集上定义函数，满意，且．（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对随意正整数n恒成立，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，整理得，由，代入得，，所以．（2）由，，可得．以下用数学归纳法证明存在实数，，使成立．①当时，明显成立．②当时，假设存在，使得成立，那么，当时，，即当时，存在，使得成立．由①，②可知，存在实数，，使对随意正整数n恒成立．21．（江苏省南通市2025届高三最终一卷）已知等差数列与等比数列是特别数的实数列，设.（1）请举出一对数列与，使集合中有三个元素；（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论；【答案】(1).(2)3个，证明见解析.【解析】（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解当时，考虑函数，则假如，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；假如，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解当时，假如假如为奇数，则方程①变为明显方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满意方程①假如为偶数，则方