电大实变函数试题及答案

电大实变函数试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{3,4,5\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{3\}\)C.\(\{4,5\}\)D.\(\{1,2,3,4,5\}\)2.若\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)中的可测集，则（）A.\(m(E)\lt0\)B.\(m(E)\)可能不存在C.\(m(E)\geq0\)D.\(m(E)=+\infty\)3.函数列\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)，则（）A.一定几乎处处收敛B.不一定几乎处处收敛C.一定一致收敛D.一定有界4.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可积，则（）A.\(f(x)\)一定勒贝格可积B.\(f(x)\)不一定勒贝格可积C.\(f(x)\)勒贝格积分与黎曼积分一定相等D.\(f(x)\)无界5.设\(E_1,E_2\)是可测集，则\(m(E_1\cupE_2)=(\)\)A.\(m(E_1)+m(E_2)\)B.\(m(E_1)+m(E_2)-m(E_1\capE_2)\)C.\(m(E_1)-m(E_2)\)D.\(m(E_2)-m(E_1)\)6.若\(f(x)\)在可测集\(E\)上有界可测，则（）A.\(f(x)\)在\(E\)上勒贝格可积B.\(f(x)\)在\(E\)上不可积C.\(f(x)\)的积分值为\(0\)D.\(f(x)\)几乎处处为\(0\)7.设\(A_n=\left[0,1+\frac{1}{n}\right]\)，\(n=1,2,\cdots\)，则\(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=(\)\)A.\([0,1]\)B.\([0,1)\)C.\((0,1]\)D.\((0,1)\)8.下面哪个不是可测函数的性质（）A.连续函数是可测函数B.可测函数的和是可测函数C.可测函数的极限是可测函数D.有界函数一定可测9.设\(f(x)\)在\(E\)上非负可测，则\(\int_Ef(x)dm\geq0\)，等号成立当且仅当（）A.\(f(x)=0\)B.\(f(x)\)几乎处处为\(0\)C.\(E\)测度为\(0\)D.以上都不对10.实变函数研究的空间是（）A.欧几里得空间B.拓扑空间C.巴拿赫空间D.希尔伯特空间多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些集合运算性质正确（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\(A\capB=B\capA\)C.\((A\cupB)^c=A^c\capB^c\)D.\((A\capB)^c=A^c\cupB^c\)2.关于可测集，下列说法正确的是（）A.开集是可测集B.闭集是可测集C.可数个可测集的并是可测集D.可数个可测集的交是可测集3.函数列\(\{f_n(x)\}\)几乎处处收敛于\(f(x)\)的等价条件有（）A.存在零测集\(Z\)，在\(E-Z\)上\(f_n(x)\)收敛于\(f(x)\)B.对任意\(\epsilon\gt0\)，\(\lim_{n\to\infty}m(\{x\inE:|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\})=0\)C.存在子列\(\{f_{n_k}(x)\}\)几乎处处收敛于\(f(x)\)D.积分\(\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dm=0\)4.勒贝格可积函数具有以下哪些性质（）A.绝对值可积B.线性组合可积C.乘积可积D.与有界可测函数乘积可积5.以下哪些函数是可测函数（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.狄利克雷函数6.关于集合的基数，下列说法正确的是（）A.自然数集与整数集基数相同B.实数集与自然数集基数不同C.有理数集与自然数集基数相同D.无理数集与实数集基数相同7.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上勒贝格可积，则（）A.\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上勒贝格可积B.\(f^2(x)\)在\([a,b]\)上勒贝格可积C.\(\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)）在\([a,b]\)上勒贝格可积D.\(cf(x)\)（\(c\)为常数）在\([a,b]\)上勒贝格可积8.可测函数列\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛的性质有（）A.若\(f_n(x)\)依测度收敛于\(f(x)\)，\(g_n(x)\)依测度收敛于\(g(x)\)，则\(f_n(x)+g_n(x)\)依测度收敛于\(f(x)+g(x)\)B.若\(f_n(x)\)依测度收敛于\(f(x)\)，\(c\)为常数，则\(cf_n(x)\)依测度收敛于\(cf(x)\)C.依测度收敛具有唯一性D.若\(f_n(x)\)依测度收敛于\(f(x)\)，则存在子列几乎处处收敛于\(f(x)\)9.下列关于测度的说法正确的是（）A.零测集的子集是零测集B.可数个零测集的并是零测集C.可测集的测度一定大于零D.测度具有单调性10.设\(E\)是可测集，\(f(x)\)在\(E\)上可测，若\(\int_Ef(x)dm=0\)，则（）A.\(f(x)\)在\(E\)上几乎处处为\(0\)B.存在\(E\)的子集\(E_0\)，\(m(E_0)=0\)，在\(E-E_0\)上\(f(x)=0\)C.不能确定\(f(x)\)几乎处处为\(0\)D.若\(f(x)\)非负，则\(f(x)\)几乎处处为\(0\)判断题（每题2分，共10题）1.任意多个开集的交一定是开集。（）2.若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上几乎处处连续。（）3.可测集的补集一定是可测集。（）4.函数列\(\{f_n(x)\}\)几乎处处收敛一定能推出依测度收敛。（）5.若\(f(x)\)在可测集\(E\)上勒贝格可积，则\(f(x)\)在\(E\)上有界。（）6.零测集上的函数一定勒贝格可积。（）7.两个可测函数的商一定是可测函数（分母不为\(0\)）。（）8.集合\(A\)的基数小于集合\(B\)的基数，集合\(B\)的基数小于集合\(C\)的基数，则集合\(A\)的基数小于集合\(C\)的基数。（）9.若\(f(x)\)在\(E\)上可测，\(E_1\subsetE\)是可测子集，则\(f(x)\)在\(E_1\)上可测。（）10.勒贝格积分一定比黎曼积分优越。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述可测函数的定义。答案：设\(f(x)\)是定义在可测集\(E\subset\mathbb{R}^n\)上的实值函数，若对于任意实数\(a\)，集合\(\{x\inE:f(x)\gta\}\)是可测集，则称\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数。2.说明勒贝格积分与黎曼积分的关系。答案：黎曼可积函数一定勒贝格可积，且积分值相等。但勒贝格可积函数不一定黎曼可积。勒贝格积分拓宽了可积函数的范围，处理一些复杂函数更有效。3.什么是几乎处处相等的函数？答案：设\(f(x)\)与\(g(x)\)定义在可测集\(E\)上，若存在\(E\)的零测子集\(Z\)，使得在\(E-Z\)上\(f(x)=g(x)\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)在\(E\)上几乎处处相等。4.简述集合的外测度定义。答案：设\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(E\)的外测度\(m^(E)\)是一切包含\(E\)的可数个开区间覆盖的体积和的下确界，即\(m^(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|:E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i,I_i为开区间\right\}\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数列依测度收敛和几乎处处收敛的联系与区别。答案：联系：依测度收敛的函数列，存在子列几乎处处收敛。几乎处处收敛在一定条件下（如\(E\)测度有限）可推出依测度收敛。区别：依测度收敛不要求函数列在每一点都趋近，几乎处处收敛强调在除去一个零测集外点点收敛。2.谈谈实变函数中测度理论的重要性。答案：测度理论是实变函数基础。它定义了集合的“长度”“面积”等概念，为积分理论奠定基础。通过测度可区分不同集合性质，判断函数可积性，使积分研究更深入全面，是理解和研究实变函数各种问题的关键工具。3.举例说明可测函数与连续函数的关系。答案：连续函数一定是可测函数，如\(y=x\)在\(\mathbb{R}\)上连续且可测。但可测函数不一定连续，狄利克雷函数在\(\mathbb{R}\)上可测却处处不连续。说明可测函数范围更广，连续函数是可测函数的一部分特殊情况。4.讨论勒贝格积分在实际问题中的应用。答案：勒贝格积分在概率论、信号处理等领域有应用。在概率论中用于计算随机变量的期望等数字特征；在信号处理里处理非连续、复杂信号，能更准确描述信号能量等，比黎曼积分处理实际问题更具优势