河南部分高中2025届高三下学期4月青桐鸣大联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南部分高中2025届高三下学期4月青桐鸣大联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B.2.已知为偶函数，则实数（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立，可得，故.故选：C3.已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（）A.甲是乙充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】，，或，充分性不成立；，，和相交、平行或异面，必要性不成立.故选：D.4.已知随机事件满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，；，，.故选：A.5.记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，由抛物线的定义可得，解得，代入的方程可得，故直线的斜率为.故选：D6.已知，且，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因为，所以，令，则，解得或，即或（舍去），所以.故选：C.7.已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：234561.021.201.421.621.84由上表可得经验回归方程为，则（）A.0.206 B. C.0.596 D.【答案】D【解析】由表格中数据得，，代入方程得，，解得，因此.由两边取对数，得.又，所以，，即.故选：D8.函数在上的零点和极值点的个数分别为（）A.5，3 B.5，4 C.3，4 D.3，2【答案】B【解析】令，所以或，又，所以，即在上有5个零点；，令，解得或，又，所以在区间上有2个解，在区间上有2个解，故在上有4个变号零点，即在上有4个极值点.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.若为纯虚数，则B.若在复平面内所对应的点位于第一象限，则C.的最小值为D.为定值【答案】AC【解析】；对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，即，B错误；对于C，，C正确；对于D，，不是定值，D错误.故选：AC.10.已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.和的面积之和的最大值为1D.若，则【答案】ABD【解析】对于A：由题意得，，故A正确；对于B：若，则，又因为，所以或，若，则，此时，若，则，此时，故B正确；对于C：，，，所以，整理得，所以和的面积之和的最大值为，故C错误；对于D：若，注意到在单位圆上，当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，故为以为斜边的等腰直角三角形，所以，故D正确.故选：ABD.11.记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（）A.B.存在正整数，对于任意的正整数，均有C.对于任意的正整数，均有D.存正整数，使得【答案】AC【解析】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即.因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即，代入，得，即，也即，所以或.若，那么，所以，但不为等比数列，所以假设不成立，则，得，检验得为等差数列，为等比数列，故A正确.对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大项，令，即解得，令，解得，又，所以，即最大项不唯一､因此不存在符合题意的正整数，故B错误.对于C，D，因为.记，注意到，所以，于是，因此对于任意的正整数，均有，故C正确，D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为椭圆上一点，且直线与有且仅由一个交点，则的焦距为__________.【答案】【解析】将代入椭圆方程，得到，又因为直线与仅有一个交点，所以，进而解得，所以的焦距为.故答案为：.13.设函数，若，，则当取得最小值时，__________.【答案】【解析】，（当且仅当，即时取等号），，则，即（当且仅当时取等号），.故答案为：.14.已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为__________.【答案】【解析】，因，所以，解得，故，故在处的切线方程为，故坐标原点到曲线在点处的切线的距离为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异.睡眠时长/小时人数5122836172（1）估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为.（i）求的值；（ii）求的分布列和期望.解：（1）这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时，则（小时），故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时.（2）（i）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”，则表示“近期压力过大”的频率为，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故，则，，故.（ii）因，则，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16.如图，在三棱柱中，四边形为正方形，，.点满足，，.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：四边形是正方形，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）解：上一点满足，连接，，，且，四边形为平行四边形，，，又，，平面平面，平面平面，平面，平面.，，平面，，平面.则以为坐标原点，的方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，由可知：，解得：，，（3）解：由（2）得：，，，记平面的法向量为，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.17.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求的面积.（2）若.（i）求的值；（ii）求内切圆的半径.解：（1）由正弦定理得：，，，.（2）（i），，，，，，，解得：；（ii）由（i）得：，，，，内切圆半径.18.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有.（1）求的离心率；（2）若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点.（1）解：设，则，当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为，代入方程，得，则，则，因，则，即，解得（负值舍去），故的离心率为.（2）证明：由（1）可知，，因直线不与轴平行，故设直线，设，联立，得，则，因为，且是线段的中点，则，所以，即，因，，所以，即，即即，得，解得或，若，则直线，过点，不符合题意；若，则直线，满足，则过定点，则直线过定点.19.若，则称是和的减比中项.（1）若是和的减比中项，求的取值范围.（2）已知数列满足，，数列满足，，存在正