河南省高考综合性改革2025届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省高考综合性改革2025届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知，，.则是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即，则，所以，又，.故选：D.2.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（）A.π B.2π C.3π D.4π【答案】C【解析】令且，则，所以，即对应区域是圆心为，半径分别为1，2两个同心圆的面积差，所以区域的面积为.故选：C3.已知，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】根据已知，所以.故选：.4.已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】椭圆对应的，所以对于双曲线，有，所以双曲线的离心率为.故选：A5.已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故，而方程在区间上有两个不相等的实数根，且令，则在区间上有两个不相等的实数根，故，，两个根为，则与在区间上有两个不同的交点，记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称，则，解得，而，得到，即，故C正确.故选：C6.已知，，则（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】因为，所以，故，因为，所以，令，定义域为，而，而，故，而，故，得到，由对数函数性质得在上单调递增，由一次函数性质得在上单调递增，故在上单调递增，得到，代入中得到，即，故，故B正确.故选：B7.已知函数有零点，那么实数的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由，得，即，则，令函数，则有，而函数都是R上的增函数，于是函数是R上的增函数，因此，即，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在时取得最大值，所以实数的最大值为.故选：D8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面，在中，，过做垂足为，则，即，所以，因为，，在中，，所以，则，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以中，，过作，，即，可得，则过作，因为是中点，所以，所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，则点的轨迹长度为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（）A.图中的值为0.025B.样本中底部周长不小于110cm的树木有12株C.估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115D.估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）【答案】AC【解析】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以A正确；对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110cm频数为，所以不小于110cm的树木有株，所以B错误；对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为，前四个矩形的面积为，所以分位数位于区间，则，所以C正确；对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：，所以D错误；故选：AC.10.已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（）A.B.当时，的最小值为C.点到直线的距离的最小值为2D.当时，直线ON的斜率的最大值为【答案】ABD【解析】根据抛物线的定义，的准线为，由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，对于B选项，当时，；当时，当且仅当时，等号成立.选项B正确；对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：到直线的距离，当时，.选项C错误；对于D选项，可根据向量共线作出示意图：根据定义求出抛物线的焦点，由得，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立.选项D正确.故选：ABD11.在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（）.A曲线关于直线对称B.若，则时到轴距离的最大值为C.若，如图，则D.若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内【答案】BCD【解析】设点，则，对于A选项，点关于直线的点为，因为，即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错；对于B选项，当时，曲线的方程为，当时，则，则，所以，，可得，可得，对于不等式，即，显然该不等式恒成立，对于不等式，即，解得，因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对；对于C选项，点关于直线的对称点为，因为，即点在曲线上，故曲线关于直线对称，如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，则曲线与线段相切，由，可得，则，可得，且当时，方程为，解得，合乎题意，综上所述，，C对；对于D选项，若曲线与轴正半轴交于，则，则有，当时，令可得，整理可得，即，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，因为，，则，所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若等比数列满足：，，则数列的公比______.【答案】【解析】因为等比数列满足：，，则，解得.故答案为：.13.已知函数的图象关于点对称，则______．【答案】【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.14.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____.【答案】【解析】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，记边上的切点分别为，由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又.则，又，则，即.同理可得，的内切圆也与轴相切于点.连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接，过点作，记垂足为，则.设直线倾斜角为，则.在四边形中，注意到，又四边形内角和为，则，在中，，，则，则直线斜率，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角，，的对边分别为，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）在中，，由正弦定理得.（2）由及正弦定理，得，即，则，即，而，则，又，即，解得，，，由的面积为，得，则，又，解得，又，则，解得，所以的周长为.16.在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．（1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；（2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．解：（1）由从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为，得，解得，盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个，所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率.（2）依题意，的可能值为，则，所以的分布列为：012数学期望.17.如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.（1）证明：，，所以又，，又，，，.（2）证明：在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，.，，，设为平面一个法向量，令，得，.设平面的一个法向量，则，取.，又平面与平面不重合，平面平面.（3）解：当时，为平面的一个法向量，，则，设，，，设直线与平面所成角为，，当且仅当时，等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.18.已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.（1）求的方程；（2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.解：（1）设双曲线的方程为，将点代入得，即，双曲线的方程为（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.由消去整理得，依题意得：，且，即且，，.易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.令，得.直线EG过定点.当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，综上，直线EG过定点.（3）考虑以为圆心的“子圆”，由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.依题意，该方程的判别式，.对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，设，，的半径分别为，，不妨设，的圆心分别为，.则，.两式相减得：，而，.，整理得：.，点.，故.19.已知函数，．（1）若在处取得极值，讨论的单调性；（2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；（3）设，证明：．（1）解：，，，由在处取得极值，得，解得.当时，，设，则在上单调递减，且.则当时，，即，故在单调递增；当时，，即，故在单调递减；故在处取到极大值，满足题意.在单调递增；在单调递减.（2）证明：，，，曲线