河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且注意到，从而.故选：A.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数、函数与函数在上单调递增，函数在上单调递减.故选：C.3.已知命题p：，；命题q：，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数在上单调递增，且，则，由函数在上单调递增，且，则，所以，即.故选：A.5.已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解得0<x<2.对于选项A，，反之不能推出，所以是命题p的一个充分不必要条件，故A错误；对于选项B，，反之不能推出，所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确；对于选项C，0<x<2不能推出，反之也不能推出，所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故C错误；对于选项D，0<x<2是命题p的充要条件，故D错误.故选：B6.设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数的定义域为，满足，即，则函数奇函数，且，由函数在上单调递增，且，则函数在上单调递增，且，可得下表：所以不等式的解集为.故选：B.7.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为在上单调递增，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以，即；同时，在处，，即，即，因为，所以，即，解得或（舍去），综上：，即.故选：B.8.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A.2千克/小时 B.3千克/小时C.4千克/小时 D.6千克/小时【答案】C【解析】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，令，，则，故当时，最大，此时.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.命题：“，”的否定是“，”B函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数，则【答案】BCD【解析】A选项，“”的否定是“”，A错误；B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确；C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确；D选项，，且，故，D正确.故选：BCD.10.已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（）A.直线是的对称轴B.是的对称中心C.D.不等式的解集为【答案】AD【解析】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象对称轴为直线，故A正确，B错误；又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，故选：AD．11.已知函数，有如下四个结论：①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根.其中所有正确结论的序号是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】CD【解析】对于①，由题意得的定义域为，，所以在上递增，①错误；对于②，由于，则，，，，所以的值域为，②错误；对于③，由于，所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确；对于④，由得，，构造函数，则在上单调递增，又当，此时；当，此时，所以的图象与x轴只有一个交点，即方程有且只有一个实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是③④.故答案选：CD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________．【答案】（答案不唯一）【解析】依题意可知是偶函数，且最大值为，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）13.已知正数m，n满足，则的最小值是__________.【答案】4【解析】由，可得，，当且仅当，即，因为正数m，n，所以，又因为，即时等号成立，的最小值是.故答案为：.14.已知函数若，则的取值范围为______.【答案】【解析】对于函数（i）当，则，解得，故此时不存在；（ii）当，则，解得或，故此时的取值范围为；（iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为.综上，的取值范围为.故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.分别求解下面两个问题.（1）化简求值：；（2）函数为偶函数，当时，，求：当时，的解析式.解：（1）,,.（2）当时，，则，由函数为偶函数，则，所以当时，.16.已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10.（1）求，的值；（2）设，利用定义证明：函数在上是增函数.（1）解：因为，二次函数对称轴为，所以在上为减函数，在上为增函数，从而得，解得；（2）证明：由(1)得，则，设任意的，且，则，，因为，，，所以，，所以，所以在上的增函数.17.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系.x…30404550…y…6030150…（1）根据表中提供数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：（1）如图，猜想y与x是一次函数关系，设.将代入得,解得.∴y与x的一次函数解析式为.（2），当时，.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.18.已知函数为偶函数.（1）求出a的值，并写出单调区间；（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.解：（1）因为，所以，由偶函数知，解得；即，由对勾函数知，当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意可得，即，令，；解一：，则在上有解，即.若，即，此时，解得，∴；若，即，此时，解得，此时无解；综上，；解二：由得，令，则.，所以.解三：由得，令，则，，所以.19.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．（1）若对任意实数，